第4章函數(shù)插值4.1引言4.2拉格朗日插值法4.3牛頓插值法4.4埃爾米特插值4.5分段插值4.6三次樣條插值 4.1引言

科學(xué)研究和工程計(jì)算中，在計(jì)算自變量的函數(shù)值時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題：

(1)y=f(x)的關(guān)系式未知或難以得到，但可以得到自變量x的一些點(diǎn)及與之相應(yīng)的函數(shù)值;

(2)雖有y=f(x)的關(guān)系式，但關(guān)系式復(fù)雜，不便于應(yīng)用計(jì)算機(jī)計(jì)算函數(shù)值。在上述問題中，難以得到自變量任意取值時(shí)的函數(shù)值，如果能夠得到y(tǒng)=f(x)的一個(gè)表達(dá)簡單、易于求函數(shù)值的關(guān)系式，問題就可以解決，如何才能得到這樣的關(guān)系式呢？最簡單實(shí)用的方法就是用插值法實(shí)現(xiàn)函數(shù)的近似。函數(shù)插值就是構(gòu)造某個(gè)簡單函數(shù)來近似不方便處理或計(jì)算的函數(shù)，然后通過該簡單函數(shù)獲得原函數(shù)的近似結(jié)果，此過程中要求近似函數(shù)的結(jié)果與給定的離散數(shù)據(jù)一致相同。4.1.1插值問題及相關(guān)概念

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上的關(guān)系式未知，但已知其一系列離散點(diǎn)上的函數(shù)值：其中，a≤x0<x1<…<xn≤b。從插值問題及插值的概念可以看出,插值的任務(wù)是由已知的觀測點(diǎn)為物理量(未知量)建立一個(gè)簡單、連續(xù)的解析模型，以便能根據(jù)該模型推測該物理量在非觀測點(diǎn)處的特性。圖4.1插值過程示意圖4.1.2多項(xiàng)式插值及其唯一性

定理4.1滿足插值條件(4.1)的n次插值多項(xiàng)式Pn(x)是存在且唯一的。

證明設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上的n次插值多項(xiàng)式為(4.2)由于Pn(x)是函數(shù)f(x)的插值多項(xiàng)式，則必滿足即多項(xiàng)式Pn(x)的系數(shù)a0，a1，a2，…，an滿足線性方程組：(4.3)可以看出,方程組(4.3)的系數(shù)行列式V為n+1階的范德蒙(Vandermonde)行列式，即(4.4)由于xi(i=0，1，2，…，n)互異，所以V不為零，則根據(jù)克萊姆法則，方程組(4.3)有唯一解a0，a1，…，an，即滿足條件的插值多項(xiàng)式存在且唯一。

根據(jù)定理4.1的證明，通過求解線性方程組(4.3)可以得到插值多項(xiàng)式，然而通過解線性方程組求插值多項(xiàng)式卻不是好的方法，因?yàn)楫?dāng)n較大時(shí)，不僅方程組的計(jì)算復(fù)雜，而且方程組(4.3)是病態(tài)方程組，不宜采用該方法計(jì)算插值多項(xiàng)式，因此需從另外的途徑來尋求獲得Pn(x)的方法。 4.2拉格朗日插值法

4.2.1線性插值多項(xiàng)式

在僅已知函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)點(diǎn)x0、x1及其函數(shù)值y0和y1的情況下，求得的插值多項(xiàng)式必為一次多項(xiàng)式，令其為P1(x)，則滿足的插值條件為

針對(duì)該插值問題，可設(shè)一次插值多項(xiàng)式P1(x)=a0+a1x，根據(jù)需滿足的條件有(4.5)解此方程組可得由此得該插值方法在幾何上可理解為：在已知曲線兩個(gè)點(diǎn)的情況下，用一條過這兩點(diǎn)的直線近似該曲線。過兩點(diǎn)的直線方程可以方便求得，即為式(4.6)。該插值方法被稱為線性插值，圖4.2所示為其幾何意義。圖4.2線性插值的幾何意義

由4.1節(jié)的內(nèi)容可知：通過解方程組的方式獲得插值多項(xiàng)式不是好的方法。下面對(duì)線性插值多項(xiàng)式進(jìn)行分析，以尋求其他得到插值多項(xiàng)式的方法。

式(4.6)可恒等變換為(4.7)可以看出,式(4.7)是兩個(gè)線性函數(shù)和的線性組合，將這兩個(gè)線性函數(shù)分別記為(4.8)觀察可以發(fā)現(xiàn)l0(x)和l1(x)具有如下性質(zhì)：即(4.9)(4.10)根據(jù)線性插值問題的求解，如果將二次插值多項(xiàng)式P2(x)也表示為插值基函數(shù)的形式，并求出插值基函數(shù)的表達(dá)式，即可得到該插值多項(xiàng)式。將P2(x)表示為插值基函數(shù)的形式：(4.11)根據(jù)插值基函數(shù)的性質(zhì)：即

從中可以看出,l0(x)含有x－x1和x－x2兩個(gè)因子，因此令l0(x)=λ(x－x1)(x－x2)，其中λ為未知數(shù)，利用l0(x0)=1，可得未知數(shù)從而得同理可得則根據(jù)式(4.11)可得可以驗(yàn)證式(4.12)滿足插值條件，是要求的二次插值多項(xiàng)式。

例4－2已測得某地大氣壓強(qiáng)隨高度變化的一組數(shù)據(jù)如表4.1所示，試用二次插值多項(xiàng)式求1200m處的壓強(qiáng)值。表4.1某地大氣壓強(qiáng)隨高度變化數(shù)據(jù)

解設(shè)x表示高度，y表示大氣壓強(qiáng)的值，選取(1000，0.8515)、(1500，0.7984)、(2000，0.7485)三點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式，即將已知數(shù)據(jù)代入得4.2.3拉格朗日插值多項(xiàng)式

將線性插值和二次插值推廣到一般情況，有n+1個(gè)插值點(diǎn)時(shí)，插值多項(xiàng)式為n次多項(xiàng)式，令其為Pn(x)，滿足的條件為將Pn(x)表示為插值基函數(shù)的形式：(4.13)根據(jù)線性和二次插值多項(xiàng)式插值基函數(shù)的推導(dǎo)方法，可得(4.14)將式(4.14)代入式(4.13)，并用符號(hào)Ln(x)代替Pn(x)即得到n次拉格朗日插值多項(xiàng)式：(4.15)其中Ln(x)為常用的表示拉格朗日插值多項(xiàng)式的符號(hào)，n表示多項(xiàng)式的次數(shù)，插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n+1。 顯然，式(4.15)中n=1和n=2時(shí)即為線性插值和二次插值多項(xiàng)式。4.2.4拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)

在區(qū)間［a，b］上，用拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x)表示函數(shù)f(x)，則在插值節(jié)點(diǎn)外必然存在誤差，即截?cái)嗾`差，也稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。設(shè)拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為Rn(x)，則有Rn(x)=f(x)－Ln(x)。實(shí)際中需要知道Rn(x)的具體值或估計(jì)值，下面通過定理給出Rn(x)的具體表達(dá)式。

定理4.2設(shè)f(n)(x)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，f(n+1)(x)在(a，b)上存在，Ln(x)是過節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn的n次拉格朗日插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意給定的x∈［a，b］，插值余項(xiàng)為(4.16)其中ωn+1(x)=(x－x0)(x－x1)…(x－xn);ξ∈(a，b),依賴于x。

證明根據(jù)插值多項(xiàng)式的條件有設(shè)Rn(x)=Kωn+1(x)，其中K是待定系數(shù)，有為了得到K的具體表達(dá)式，做輔助函數(shù)：(4.17)則t為x0，x1，…，xn和x時(shí)，g(t)的值都為零，即函數(shù)g(t)在區(qū)間［a，b］上至少有n+2個(gè)零點(diǎn)。對(duì)g(t)應(yīng)用羅爾定理可得g′(t)在區(qū)間［a，b］上至少有n+1個(gè)零點(diǎn)，如此反復(fù)地應(yīng)用羅爾定理，最后可以推知g(n+1)(t)在區(qū)間［a，b］上至少有1個(gè)零點(diǎn)，并設(shè)該零點(diǎn)為ξ，即有(a<

<b)對(duì)式(4.17)兩邊取n+1階導(dǎo)數(shù)，并令t=ξ代入g(n+1)(t)得(4.18)因?yàn)長n(x)為n次多項(xiàng)式，所以，而，代入式(4.18)得由此得所以即為式(4.16)，定理得證。應(yīng)當(dāng)指出，定理4.2給出的余項(xiàng)表達(dá)式只有在f(x)的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用，同時(shí)式(4.16)中的ξ在(a，b)區(qū)間內(nèi)，但具體位置通常不能得到。實(shí)際應(yīng)用中，若可求出f

(n+1)(x)|在區(qū)間上的最大值，即可對(duì)Rn(x)進(jìn)行估計(jì)。若令則拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x)近似函數(shù)f(x)的誤差估計(jì)為(4.19)據(jù)此可得

(1)當(dāng)n=1時(shí)，線性插值的誤差估計(jì)(4.20)(2)當(dāng)n＝2時(shí)，二次插值的誤差估計(jì)(4.21)

例4－3已知sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，用線性插值及二次插值計(jì)算sin0.3367的值,并估計(jì)截?cái)嗾`差。

解根據(jù)題意令x0=0.32，y0=0.314567，x1=0.34，y1=0.333487，x2=0.36，y2=0.352274。

(1)用線性插值計(jì)算，取x0=0.32及x1=0.34。將相應(yīng)數(shù)據(jù)代入線性插值公式得其截?cái)嗾`差為因此

(2)若取x1=0.34，x2=0.36為插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行線性插值計(jì)算，則有其截?cái)嗾`差為其中，，例中f(x)=sinx，則f″(x)=－sinx，可取因此

(2)若取x1=0.34，x2=0.36為插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行線性插值計(jì)算，則有其截?cái)嗾`差為其中，

(3)用二次插值進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)拉格朗日插值公式可得二次插值多項(xiàng)式為將相應(yīng)數(shù)據(jù)代入得其截?cái)嗾`差為而因此 4.3牛頓插值法

4.3.1差商

1.差商的定義

已知函數(shù)f(x)在自變量一系列互不相等的點(diǎn)(4.22)為f(x)在點(diǎn)xi和xj處的一階差商，并記做f［xi，xj］。一階差商f［xi，xj］和f［xj，xk］的差商稱為f(x)在點(diǎn)xi、xj和xk處的二階差商，并記做f［xi，xj，xk］。(4.23) 一般稱k-1階差商的差商為k階差商，即(4.24)為f(x)在點(diǎn)x0，x1，…，xk處的k階差商。約定f(xi)的函數(shù)值即為f(x)在點(diǎn)xi處的零階差商，并記做f［xi］。

例4－4已知一系列點(diǎn)xi及其相應(yīng)的函數(shù)值f(xi)，如表4.2所示，根據(jù)差商的定義計(jì)算f(x)在點(diǎn)x0、x2和x3處的二階差商。

解根據(jù)差商定義得所以2.差商的性質(zhì)

性質(zhì)1差商與函數(shù)值的關(guān)系為(4.25)其中其一階導(dǎo)數(shù)例如:

性質(zhì)2差商具有對(duì)稱性，即在k階差商中任意調(diào)換兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的順序，其值不變，如：

性質(zhì)3設(shè)f(x)在區(qū)間［a，b］上有n階導(dǎo)數(shù)，且x

0

，x1，…，xn為區(qū)間上的互異點(diǎn)，則存在ξ∈［a，b］，使得(4.26)

3.差商表

從差商的定義可以看出，如要計(jì)算高階差商需要先計(jì)算低階差商，如n+1個(gè)點(diǎn)的n階差商的計(jì)算，則需要計(jì)算2個(gè)n-1階差商，3個(gè)n-2階差商，……，直到n個(gè)1階差商。其整個(gè)的計(jì)算過程可以用一個(gè)表來清晰地表示，稱該表為差商表。表4.3所示為計(jì)算n階差商的差商表。表4.3差商表

例4－5基于例4－4中所給數(shù)據(jù)計(jì)算其差商表。

解根據(jù)所給數(shù)據(jù)，計(jì)算各階差商：同理得則同理得則表4.4例4－5的差商表4.3.2牛頓插值多項(xiàng)式

假設(shè)已知區(qū)間［a，b］上的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a≤x0<x1<…<x

n≤b及其相應(yīng)的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0，1，2，…，n)。設(shè)x∈［a，b］，且x≠xi(i=0，1，…，n)，則根據(jù)差商的定義有

f(x)在x和x0點(diǎn)的一階差商:f(x)在x、x0和x1點(diǎn)的二階差商：…f(x)在x、x0、x1、…、xn－1點(diǎn)的n階差商：f(x)在x、x0、x1、…、xn點(diǎn)的n+1階差商：則由f(x)在x和x0點(diǎn)的一階差商變形可得由f(x)在x、x0和x1點(diǎn)的二階差商變形可得依次類推，直到由f(x)在x、x0、x1、…、xn點(diǎn)的n+1階差商變形可得整理后即為（4.27）從式(4.27)中的最后一式開始，依次代入前一式，可以得到(4.28)記(4.29)(4.30)則式(4.28)可表示為(4.31)顯然，Nn(x)為次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，而且有由此可知，如此得到的多項(xiàng)式Nn(x)就是具有n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的插值問題的解，該方法被稱為牛頓插值法。Nn(x)，即式(4.29)，被稱為牛頓插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的Rn(x)，即式(4.30),被稱為牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。注意，由函數(shù)f(x)插值多項(xiàng)式的唯一性可知，函數(shù)f(x)的牛頓插值多項(xiàng)式與拉格朗日插值多項(xiàng)式實(shí)為同一個(gè)多項(xiàng)式，即Nn(x)≡Ln(x)，兩者不過是表現(xiàn)形式不同而已。由此，若x∈［a，b］，則有，這就是差商的性質(zhì)3。

例4－6

已知f(x)=shx的數(shù)據(jù)如表4.5所示，用牛頓插值法計(jì)算f(0.596)的值。表4.5例4－6的數(shù)據(jù)表

解先計(jì)算差商表，差商的計(jì)算過程略，結(jié)果如表4.6所示。例4－6的差商表由牛頓插值多項(xiàng)式公式得四次插值多項(xiàng)式為將x=0.596代入上式得

例4－7給定f(x)=lnx的數(shù)據(jù)表，如表4.7所示，寫出四次牛頓插值多項(xiàng)式N4(x)。解計(jì)算差商表，結(jié)果如表4.8所示。

表4.8例4－7的差商表則由牛頓插值多項(xiàng)式公式得四次插值多項(xiàng)式為 4.4埃爾米特插值

(4.32)稱該問題為埃爾米特插值問題，插值多項(xiàng)式P(x)被稱為埃爾米特插值多項(xiàng)式，常常用符號(hào)H(x)來表示。

從式(4.32)可以看出，對(duì)于n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的埃爾米特插值問題，如果用多項(xiàng)式進(jìn)行插值，則可表示為(4.33)即共可建立2n+2個(gè)方程，需確定2n+2個(gè)待定系數(shù)，因此H(x)的最高次數(shù)可以為2n+1次。當(dāng)n=1，即有兩個(gè)插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，可得到3次插值多項(xiàng)式。關(guān)于埃爾米特插值多項(xiàng)式的推導(dǎo)，可采用類似于拉格朗日插值多項(xiàng)式的方式來構(gòu)造。設(shè)αi(x)和βi(x)(i=0，1，…，n)為次數(shù)不超過2n+1次的多項(xiàng)式，且滿足：(4.34)(4.35)則記(4.36)下面利用拉格朗日插值基函數(shù)li(x)(i=0，1，…，n)來構(gòu)造αi(x)和βi(x)。由插值節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn的拉格朗日插值基函數(shù)li(x)可得其中為2n次多項(xiàng)式，而根據(jù)式(4.34)，可設(shè)αi(x)為其中a和b為待定常數(shù)，并且即(4.37)同時(shí)也可得而要求滿足當(dāng)時(shí)結(jié)合可得即(4.38)由式(4.37)和式(4.38)可以解得而所以有(4.39)同理可得(4.40)從而得到埃爾米特插值多項(xiàng)式為(4.41)

定理4.3滿足條件(4.32)的埃爾米特插值多項(xiàng)式是唯一的。

證明假設(shè)存在另一個(gè)H2n+1(x)也滿足條件(4.32)，令(ξ∈(a，b),與x有關(guān))其中ωn+1(x)的意義與拉格朗日插值多項(xiàng)式余項(xiàng)中相同。4.4.2兩點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式

對(duì)于埃爾米特插值問題，最簡單的情況是只有兩個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，即n=1，此時(shí)已知的條件是x0和x1、相應(yīng)的函數(shù)值y0和y1及一階導(dǎo)數(shù)值y0′和y1′。此時(shí),根據(jù)式(4.41)可得一個(gè)三次插值多項(xiàng)式：因?yàn)樵摬逯祮栴}只有兩個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，故式(4.43)被稱為兩點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。(4.44)

例4－8已知f(x)在節(jié)點(diǎn)x0=1和x1=2處的函數(shù)值f(x0)=2和f(x1)=3及導(dǎo)數(shù)值f′(x0)=0和f′(x1)=－1，求f(x)的埃爾米特插值多項(xiàng)式，并計(jì)算f(x)在1.5處的函數(shù)值。

解根據(jù)兩點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式可得所以

例4－9

給定f(1.2)=0.6、f(1.4)=0.9、f′(1.2)=0.5和f′(1.4)=0.7，求埃爾米特插值多項(xiàng)式，并計(jì)算f(1.3)的值。

解此為兩點(diǎn)埃爾米特插值問題，根據(jù)兩點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式可得則 4.5分段插值

4.5.1高次插值的缺點(diǎn)

在給定n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值后，可應(yīng)用拉格朗日插值或牛頓插值法來構(gòu)造n次插值多項(xiàng)式，并給出插值余項(xiàng)通常，當(dāng)f(n+1)(ξ)有確定的上界時(shí)，插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)的誤差與節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)，節(jié)點(diǎn)越多誤差越小，插值函數(shù)與被插值函數(shù)近似程度越好。然而，并非完全如此。當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多，多項(xiàng)式的次數(shù)增大,但不能保證非插值節(jié)點(diǎn)處的插值精度提高，有時(shí)反而更差，出現(xiàn)插值多項(xiàng)式振蕩和不穩(wěn)定現(xiàn)象。例如，設(shè)給定的函數(shù)為圖4.3

f(x)、L5(x)及L10(x)的圖形比較

從圖4.3中可以看出，在插值區(qū)間的中間部分，10次拉格朗日插值多項(xiàng)式比5次插值多項(xiàng)式更好的逼近了函數(shù)f(x)。然而其他區(qū)域，特別是在端點(diǎn)附近，10次插值多項(xiàng)式產(chǎn)生的誤差比5次插值多項(xiàng)式要大的多，產(chǎn)生了振蕩，該現(xiàn)象被稱為龍格(Runge)現(xiàn)象,這說明不是插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好。應(yīng)該避免龍格現(xiàn)象的發(fā)生，方法就是盡量避免使用高次插值，而采用分段低次插值。4.5.2分段線性插值和三次埃爾米特插值

1.分段線性插值

分段線性插值是最簡單的分段低次插值，就是將插值區(qū)間分成若干個(gè)以節(jié)點(diǎn)為端點(diǎn)的小區(qū)間［xi，xi+1］，在每個(gè)小區(qū)間上用線性插值多項(xiàng)式逼近函數(shù)，最后得到一個(gè)分段的函數(shù)來近似被插值函數(shù)。具體描述如下。從而得到n個(gè)小區(qū)間上的線性插值函數(shù)，繼而得到整個(gè)區(qū)間［a，b］上的分段線性插值函數(shù):(4.46)圖4.4分段線性插值的幾何意義

2.分段兩點(diǎn)三次埃爾米特插值

針對(duì)埃爾米特插值問題，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)較多時(shí)，高次的插值多項(xiàng)式同樣會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，可以采用分段低次插值避免該現(xiàn)象的發(fā)生。最簡單的分段埃爾米特插值為分段兩點(diǎn)三次埃爾米特插值。(4.47)在每個(gè)小區(qū)間上進(jìn)行兩點(diǎn)三次埃爾米特插值可得整個(gè)區(qū)間［a，b］上的分段兩點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式為

4.6三次樣條插值

如何得到樣條插值函數(shù)呢？根據(jù)樣條插值函數(shù)的定義可得(4.49)由式(4.49)可得S(x)滿足4n-2個(gè)條件，而S(x)在每個(gè)小區(qū)間上都是三次多項(xiàng)式，則應(yīng)有4n個(gè)待定系數(shù)需要求解。因此,如果在已有的4n-2個(gè)條件的基礎(chǔ)上，再有兩個(gè)條件就可以得到S(x)。通常對(duì)插值多項(xiàng)式在區(qū)間兩端點(diǎn)的狀態(tài)加以要求，即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)x0=a和xn=b處附加條件，這些條件被稱為邊界條件，由此構(gòu)成4n個(gè)方程，從而確定S(x)。常見的邊界條件有如下兩類：第一類邊界條件為轉(zhuǎn)角邊界條件，即給定端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)：(4.51)(4.50)第二類邊界條件為彎矩邊界條件，即給定端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)：在這兩類邊界條件中，第二類最為常用，特別地,第二類邊界條件的特例，即S″(x0)=S″(xn)=0，被稱為自然邊界條件。在式(4.49)的基礎(chǔ)上，增加邊界條件可得(4.52)由于樣條插值函數(shù)S(x)為分段函數(shù)，即其形式為故式(4.52)可以具體描述為(4.54)其中Sk(x)是區(qū)間［xk，xk+1］上的三次樣條插值多項(xiàng)式。4.6.2三次樣條插值函數(shù)的計(jì)算

可利用埃爾米特插值多項(xiàng)式獲得三次樣條插值函數(shù)。通過比較三次樣條插值函數(shù)與埃爾米特插值多項(xiàng)式可以看出，埃爾米特插值多項(xiàng)式只有一個(gè)條件不滿足三次樣條插值函數(shù)的要求，即二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。同時(shí)三次樣條插值函數(shù)要求一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但是一階導(dǎo)數(shù)值并未給出。因此，可以設(shè)三次樣條插值函數(shù)在小區(qū)間［xk，xk+1］上的插值多項(xiàng)式Sk(x)為(k=0，1，2，…，n－1)同時(shí)根據(jù)式(4.48)可知式(4.55)中，只要通過求解得到mk和mk+1即可得到三次樣條插值多項(xiàng)式。可利用其滿足二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件進(jìn)行求解。令hk=xk+1－xk(k=0，1，…，n－1)，對(duì)式(4.55)進(jìn)行整理后可得(4.56)對(duì)式(4.56)求二階導(dǎo)數(shù)，并整理可得(4.57)進(jìn)一步可得(4.58)(4.59)由三次樣條插值函數(shù)滿足的條件可得（4.60）對(duì)式(4.6