PAGE1-5.1.4用樣本估計(jì)總體[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn是上海一般職工n(n≥3，n∈N*)個(gè)人的年收入，設(shè)這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，假如再加上世界首富的年收入xn＋1，則這n＋1個(gè)數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是()A．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)肯定變大，方差可能不變B．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大C．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變D．年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變解析：選B.插入大的極端值，平均數(shù)增加，中位數(shù)可能不變，方差也因?yàn)閿?shù)據(jù)更加分散而變大．2．在某次中學(xué)學(xué)科競(jìng)賽中，4000名考生的參賽成果統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表，則下列說法中有誤的是()A．成果在[70，80)分的考生人數(shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000C．考生競(jìng)賽成果的平均分為70.5分D．考生競(jìng)賽成果的中位數(shù)為75分解析：選D.A選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得成果在[70，80)的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；B選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得成果在[40，60)的頻率為0.25，因此，不及格的人數(shù)為4000×0.25＝1000，故B正確；C選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得平均分等于45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)槌晒赱40，70)的頻率為0.45，成果在[70，80)的頻率為0.3，所以中位數(shù)為70＋10×eq\f(0.05,0.3)≈71.67，故D錯(cuò)誤．故選D.3.(2024·廣東省惠州市期末考試)某班有50名學(xué)生，男女人數(shù)不相等．隨機(jī)詢問了該班5名男生和5名女生的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成果，用莖葉圖記錄如圖所示，則下列說法肯定正確的是()A．這5名男生成果的標(biāo)準(zhǔn)差大于這5名女生成果的標(biāo)準(zhǔn)差B．這5名男生成果的中位數(shù)大于這5名女生成果的中位數(shù)C．該班男生成果的平均數(shù)大于該班女生成果的平均數(shù)D．這種抽樣方法是一種分層抽樣解析：選A.5名男生成果的平均數(shù)為eq\f(90＋92＋94＋86＋88,5)＝90，5名女生成果的平均數(shù)為eq\f(93＋93＋93＋88＋88,5)＝91，這5名男生成果的方差為eq\f(1,5)×(22＋42＋22＋42)＝8，女生成果的方差為eq\f(1,5)×(22×3＋32×2)＝6，男生方差大于女生方差，所以男生標(biāo)準(zhǔn)差大于女生標(biāo)準(zhǔn)差，所以A對(duì)；這5名男生成果的中位數(shù)是90,5名女生成果的中位數(shù)為93，所以B錯(cuò)；該班男生和女生成果的平均數(shù)可通過樣本估計(jì)，但不能通過樣本計(jì)算得到平均數(shù)精確值，所以C錯(cuò)；若抽樣方法是分層抽樣，因?yàn)槟猩坏?，所以分別抽取的人數(shù)不等，所以D錯(cuò)．故選A..4．為了解我國(guó)13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個(gè)男孩，平均身高為1.60m；從南方抽取了200個(gè)男孩，平均身高為1.50m．由此可估計(jì)我國(guó)13歲男孩的平均身高為()A．1.57m B．1.56mC．1.55m D．1.54m解析：選B.從北方抽取了300個(gè)男孩，平均身高為1.60m，從南方抽取了200個(gè)男孩，平均身高為1.50m，則這500個(gè)13歲男孩的平均身高是eq\f(1.6×300＋1.5×200,500)＝1.56，據(jù)此可估計(jì)我國(guó)13歲男孩的平均身高為1.56m，故選B.5．甲、乙兩位同學(xué)某學(xué)科的連續(xù)五次考試成果用莖葉圖表示如圖所示，則平均分?jǐn)?shù)較高的是________，成果較為穩(wěn)定的是________．解析：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝70，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝68，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×(22＋12＋12＋22)＝2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×(52＋12＋12＋32)＝7.2.答案：甲甲6.某校從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成果分成6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高二年級(jí)共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成果不少于60分的學(xué)生人數(shù)為________．答案：4807.某中學(xué)隨機(jī)抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需時(shí)間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)頻率分布直方圖中x的值為________；(2)假如上學(xué)路上所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，若招生1200名，估計(jì)新生中可以申請(qǐng)住校的學(xué)生有________名．解析：(1)由頻率分布直方圖，可得20x＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.0125.(2)新生上學(xué)路上所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為0.003×2×20＝0.12，因?yàn)?200×0.12＝144，所以1200名新生中約有144名學(xué)生可以申請(qǐng)住校．答案：(1)0.0125(2)1448．為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果狀況，用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成果(百分制)作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖：(1)若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果的及格率(60分及60分以上為及格)；(2)設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成果分別為eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，估計(jì)eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－))2的值．解：(1)設(shè)甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為n.由題意知eq\f(30,n)＝0.05，解得n＝600.樣本中甲校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成果不及格人數(shù)為5，據(jù)此估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果的及格率為1－eq\f(5,30)＝eq\f(5,6).(2)設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))1′，eq\o(x,\s\up6(－))2′.依據(jù)樣本莖葉圖可知30(eq\o(x,\s\up6(－))1′－eq\o(x,\s\up6(－))2′)＝30eq\o(x,\s\up6(－))1′－30eq\o(x,\s\up6(－))2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此eq\o(x,\s\up6(－))1′－eq\o(x,\s\up6(－))2′＝0.5.故eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－))2的估計(jì)值為0.5分．9．某校高二期末統(tǒng)一測(cè)試，隨機(jī)抽取一部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成果，分組統(tǒng)計(jì)如下表．(1)求出表中m，n，M，N的值，并依據(jù)表中所給數(shù)據(jù)在給出的坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖；分組頻數(shù)頻率[0，30]30.03(30，60]30.03(60，90]370.37(90，120]mn(120，150]150.15合計(jì)MN(2)若全校參與本次考試的學(xué)生有600人，試估計(jì)這次測(cè)試中全校成果在90分以上的人數(shù)．解：(1)由頻率分布表得M＝eq\f(3,0.03)＝100，所以m＝100－(3＋3＋37＋15)＝42，n＝eq\f(42,100)＝0.42，N＝0.03＋0.03＋0.37＋0.42＋0.15＝1.頻率分布直方圖如圖所示．(2)由題意，知全校成果在90分以上的學(xué)生的人數(shù)約為eq\f(42＋15,100)×600＝342.[B實(shí)力提升]10．設(shè)矩形的長(zhǎng)為a，寬為b，其比滿意b∶a＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形．黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中．下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長(zhǎng)度的比值樣本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620依據(jù)上述兩個(gè)樣原來估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確的結(jié)論是()A．甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近B．乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近C．兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同D．兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定解析：選A.計(jì)算可得甲批次樣本的平均數(shù)為0.617，乙批次樣本的平均數(shù)為0.613，由此估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)分別為0.617，0.613，則甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近．故選A.11．將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場(chǎng)作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法分辨，在圖中以x表示：則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為()A.eq\f(116,9) B.eq\f(36,7)C．36 D.eq\f(6\r(7),7)解析：選B.依據(jù)莖葉圖，去掉1個(gè)最低分87，1個(gè)最高分99，則eq\f(1,7)[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，所以x＝4.所以s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(36,7).12．某校從參與高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成果(均為整數(shù))分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如圖所示的部分頻率分布直方圖．在統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，視察圖形的信息，據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分為________．解析：在頻率分布直方圖中，全部小長(zhǎng)方形的面積和為1，設(shè)[70，80)的小長(zhǎng)方形面積為x，則(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.3，即該組頻率為0.3，所以本次考試的平均分為45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：7113．某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數(shù)如下：[0，0.5)，4；[0.5，1)，8；[1，1.5)，15；[1.5，2)，22；[2，2.5)，25；[2.5，3)，14；[3，3.5)，6；[3.5，4)，4；[4，4.5)，2.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖，并依據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(3)當(dāng)?shù)卣贫巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn)，若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi)，當(dāng)?shù)卣f，85%以上的居民不超過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)說明對(duì)嗎？為什么？解：(1)頻率分布表分組頻數(shù)頻率[0，0.5)40.04[0.5，1)80.08[1，1.5)150.15[1.5，2)220.22[2，2.5)250.25[2.5，3)140.14[3，3.5)60.06[3.5，4)40.04[4，4.5)20.02合計(jì)1001(2)頻率分布直方圖如圖：眾數(shù)：2.25，中位數(shù)：2.02，平均數(shù)：2.02.(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例為6%＋4%＋2%＝12%，即大約有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的說明是正確的．[C拓展探究]14．為提倡節(jié)能減排，同時(shí)減輕居民負(fù)擔(dān)，廣州市主動(dòng)推動(dòng)“一戶一表”工程．非一戶一表用戶電費(fèi)采納“合表電價(jià)”收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：0.65元/度．“一戶一表”用戶電費(fèi)采納階梯電價(jià)收取，其11月到次年4月起執(zhí)行非夏季標(biāo)準(zhǔn)如下：第一檔其次檔第三檔每戶每月用電量(單位：度)[0，200](200，400](400，＋∞)電價(jià)(單位：元/度)0.610.660.91例如：某用戶11月用電410度，采納合表電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)交電費(fèi)410×0.65＝266.5(元)，若采納階梯電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)交電費(fèi)200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)．為調(diào)查階梯電價(jià)是否能取到“減輕居民負(fù)擔(dān)”的效果，隨機(jī)調(diào)查了該市100戶居民的11月用電量，工作人員已經(jīng)將90戶的月用電量填在下面的頻率分布表中，最終10戶的月用電量(單位：度)為88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.組別月用電量頻數(shù)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)頻率①[0，100]②(100，200]③(200，300]④(300，400]⑤(400，500]⑥(500，600]合計(jì)(1)完成頻率分布表，并繪制頻率分布直方圖；(2)依據(jù)已有信息，試估計(jì)全市住戶11月的平均用電量(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)設(shè)某用戶11月用電量為x度(x∈N)，依據(jù)合表電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)交y1元，依據(jù)階梯電價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)交y2元，請(qǐng)用x表示y1和y2，并求當(dāng)y2≤y1時(shí)，x的最大值，同時(shí)依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)“階梯電價(jià)”能否給不低于75%的用戶帶來實(shí)惠？解：(1)頻率分布表如下：組別月用電量頻數(shù)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)頻率①[0，100]40.04②(100，2