第七章立體幾何與空間向量補(bǔ)上一課幾何法求距離及線(xiàn)面角、二面角利用幾何法求線(xiàn)面角、二面角、距離的難點(diǎn)在于找到所求的角或距離，相對(duì)于向量法，幾何法運(yùn)算簡(jiǎn)單、不易出錯(cuò).題型一求距離A解析如圖，取PA的中點(diǎn)M，連接BM，CM，因?yàn)镻B⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以PB⊥BC，又因?yàn)锳B⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB，因?yàn)镸是PA的中點(diǎn)，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC?平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM?平面BCM，所以CM⊥PA，即CM為點(diǎn)C到直線(xiàn)PA的距離.(2)(2024·安慶模擬)一底面半徑為1的圓柱，被一個(gè)與底面成45°角的平面所截(如圖)，O為底面圓的中心，O1為截面的中心，A為截面上距離底面最小的點(diǎn)，A到圓柱底面的距離為1，B為截面圖形弧上的一點(diǎn)，且∠AO1B＝60°，則點(diǎn)B到底面的距離是________.解析圓柱半徑為1，截面與底邊所成角為45°，作BC⊥AO1于C，感悟提升1.求點(diǎn)線(xiàn)距一般要作出這個(gè)距離，然后利用直角三角形求解，或利用等面積法求解.2.求點(diǎn)面距時(shí)，若能夠確定過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線(xiàn)，即作出這個(gè)距離，可根據(jù)條件求解，若不易作出點(diǎn)面距，可借助于等體積法求解.D解析如圖，連接CB1，設(shè)AC的中點(diǎn)為D，連接B1D，則B1D⊥AC，設(shè)點(diǎn)C到直線(xiàn)AB1的距離為h，(2)(2024·威海模擬)已知圓柱的高和底面半徑均為4，AB為上底面圓周的直徑，點(diǎn)P是上底面圓周上的一點(diǎn)且AP＝BP，PC是圓柱的一條母線(xiàn)，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為_(kāi)_______.解析由題可得AB＝8，因?yàn)锳P＝BP，題型二求線(xiàn)面角B解析因?yàn)镺，D分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AC，又OD?平面O1OD，AC

平面O1OD，所以AC∥平面O1OD，AC?平面O1AC，平面O1AC∩平面O1OD＝l，所以AC∥l，OD∥AC，所以O(shè)D∥l，所以直線(xiàn)l與平面O1BC所成角即直線(xiàn)OD與平面O1BC所成角，因?yàn)锳B為直徑，所以AC⊥BC，因?yàn)镺D∥AC，所以O(shè)D⊥BC，又因?yàn)镺O1⊥平面ACB，BC?平面ACB，所以O(shè)O1⊥BC，OO1∩OD＝O，OO1，OD?平面O1OD，所以BC⊥平面O1OD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥O1D交O1D于點(diǎn)H，因?yàn)镺H?平面O1OD，所以BC⊥OH，OH⊥O1D，BC∩O1D＝D，BC，O1D?平面O1BC，所以O(shè)H⊥平面O1BC，所以∠ODH為OD與平面O1BC所成角，感悟提升求線(xiàn)面角的三個(gè)步驟：一作(找)角，二證明，三計(jì)算，其中作(找)角是關(guān)鍵，先找出斜線(xiàn)在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線(xiàn)，找垂足，然后把線(xiàn)面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.C解析取BC的中點(diǎn)E，連接DE，AE，如圖.依題意三棱柱ABC－A1B1C1為正三棱柱，因?yàn)镈，E分別是BC1和BC的中點(diǎn)，所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥AE，因?yàn)锳E⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，BC，DE?平面BB1C1C，所以AE⊥平面BB1C1C，所以∠ADE是AD與平面BB1C1C所成的角，題型三求二面角B解析取MN的中點(diǎn)E，連OE，PE，因?yàn)镺M＝ON，所以O(shè)E⊥MN，因?yàn)镻M＝PN，所以PE⊥MN，所以∠PEO是二面角P－MN－O的平面角，因?yàn)镻O⊥平面OMN，OE?平面OMN，所以PO⊥OE，感悟提升作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線(xiàn)，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.訓(xùn)練3

我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”中，AC＝CB＝CC1，則二面角C1－AB－C的正切值為(

)D解析由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中點(diǎn)M，連接C1M，CM，由條件，可知∠C1MC即為二面角C1－AB－C的平面角，課時(shí)分層精練KESHIFENCENGJINGLIANA解析根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)知：AA1⊥平面ABCD，故∠ACA1為直線(xiàn)A1C與平面ABCD所成的角，且AA1＝1，B解析如圖，連接B1H，由題可知B1C1∥BC，又∵B1C1

平面ABCD，BC?平面ABCD，∴B1C1∥平面ABCD，∴點(diǎn)C1到平面ABCD的距離與點(diǎn)B1到平面ABCD的距離B1H相等.B解析如圖所示，在正四棱錐P－ABCD中，取AB的中點(diǎn)為H，底面正方形的中心為O，連接OH，PH，因?yàn)镻H⊥AB，OH⊥AB，所以∠PHO為側(cè)面與底面所成的角，因?yàn)镻O為高，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OH.B解析取BC的中點(diǎn)M，連接AM，A1M，由正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長(zhǎng)都相等，可得AM⊥BC，A1M⊥BC，所以二面角A1－BC－A的平面角為∠AMA1，BA解析由圖所示，易知三棱錐D－ABC的外接球球心為AC的中點(diǎn)O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥平面OBC，D解析在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以∠A1CA是A1C與平面ABCD所成的角，連接AC，且AC?平面ABCD，則AA1⊥AC，又AB＝1，BC＝2，AA1＝5，8.如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥平面⊙O，C為圓周上一點(diǎn)，AB＝5cm，AC＝2cm，則B到平面PAC的距離為_(kāi)_______.解析由PA⊥平面⊙O，可得PA⊥平面ABC，因?yàn)锽C?平面ABC，所以PA⊥BC，又由AB是⊙O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，可得AC⊥BC，又PA∩AC＝A且AC，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC為點(diǎn)B到平面PAC的距離，在直角△ABC中，AB＝5cm，AC＝2cm，9.如圖，三棱錐P－ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6，則二面角P－BC－A的正弦值為

________.解析取BC的中點(diǎn)D，連接PD，AD，因?yàn)镻B＝PC，所以PD⊥BC，因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，因?yàn)镻D，PA?平面PAD，PA∩PD＝P，所以BC⊥平面PAD，因?yàn)锳D?平面PAD，所以BC⊥AD，所以∠PDA即為二面角P－BC－A的平面角，因?yàn)镻B＝PC＝BC＝6，10.直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，已知∠ABC＝120°，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的

菱形，且AA1＝4，E為線(xiàn)段BC上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BE＝________時(shí)，A1E與底面ABCD所成角為60°.解析如圖所示，連接AE，因?yàn)锳A1⊥底面ABCD，所以∠A1EA為A1E與底面ABCD所成角，即∠A1EA＝60°.又因?yàn)锳A1＝4，11.如圖所示，已知菱形ABCD和矩形BDEF所在平面互相垂直，AB＝2，∠BAD＝120°，DE＝3. (1)證明：平面ACF⊥平面BDEF；證明因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面BDEF，且平面ABCD∩平面BDEF＝BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，AC?平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF，因?yàn)锳C?平面ACF，所以平面ACF⊥平面BDEF.(2)設(shè)AD中點(diǎn)為G，求直線(xiàn)FG與底面ABCD所成角的余弦值.解連接BG，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD，BF?平面BDEF，且四邊形BDEF是矩形，所以BF⊥BD，所以BF⊥底面ABCD，∠FGB即為直線(xiàn)FG與平面ABCD所成角，在△BAG中，BG2＝22＋12－2×2×1×cos120°＝5＋2＝7，12.如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PBC為正三角形，M，N分別為PD，BC的中點(diǎn)，PN⊥AB. (1)求三棱錐P－AMN的體積；解∵PB＝PC，∴PN⊥BC，又∵PN⊥AB，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABCD，∴PN⊥平面ABCD.(2)求二面角M－AN－D的正切值.解如圖，取DN的中點(diǎn)E，連接ME，∵M(jìn)，E分別為PD，DN的中點(diǎn)，∴ME∥PN.∵PN⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD.過(guò)E作EQ⊥AN，連接MQ，又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，ME，EQ?平面MEQ，∴AN⊥平面MEQ，∴AN⊥MQ，∠MQE即為二面角M－AN－D的平面角，AC解析將該幾何體還原為原正四面體Q－MNS，棱長(zhǎng)為a，設(shè)△MNS中心為O，連接OQ，ON，ABD解析由題意得：正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，連接B1C，設(shè)B1C，BC1交于O點(diǎn)，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，∴B1C⊥平面ABC1D1，連接B1C，∵CO⊥BC1，B1C⊥AB，∴CO⊥平面ABC1D1，連接D1C，AD1，由正方體性質(zhì)可知AD1∥BC1，故異面直線(xiàn)D1C和BC1所成的角即為D1C和AD1所成的角∠AD1C，又∵AD1＝AC＝CD1，∴△AD1C為等邊三角形，過(guò)P作P