2024成都中考B卷專項(xiàng)強(qiáng)化訓(xùn)練十四班級(jí)：________姓名：________得分：________(滿分：50分)一、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分)19.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2－4x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y＝eq\f(a,x)中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而________(填“增大”或“減小”)．20.若三角形的三邊長為4，7，x，且x是方程eq\f(a,x－8)＝1－eq\f(3x,8－x)的解，則a的取值范圍為________．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，－1)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6，3)，以原點(diǎn)O為位似中心，把正方形縮小為原來的一半，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為__________.第21題圖22.新定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α，β滿足2α＋β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“亞互余三角形”．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若AC＝4，BC＝5，E是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，當(dāng)△ABE是“亞互余三角形”時(shí)，則BE的長為________．第22題圖23.如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，以DE為對(duì)稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕與邊BC交于點(diǎn)F.(1)∠DEF＝________；(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則DF的長為________．第23題圖二、解答題(本大題共3個(gè)小題，共30分)24.(本小題滿分8分)“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”，陽春三月，正是放風(fēng)箏的好時(shí)節(jié)，某商店購進(jìn)一批風(fēng)箏．已知成批購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元/個(gè)．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)是40元/個(gè)，月銷售量是300個(gè)，而銷售單價(jià)每上漲1元，月銷售量就減少10個(gè)，但每個(gè)風(fēng)箏售價(jià)不能高于60元．設(shè)每個(gè)風(fēng)箏的銷售單價(jià)上漲了x元時(shí)(x為正整數(shù))，月銷售利潤為y元．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)每個(gè)風(fēng)箏的售價(jià)定為多少元時(shí)可使月銷售利潤最大？最大的月銷售利潤是多少？25.(本小題滿分10分)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接FE并延長，交CD的延長線于點(diǎn)G，以FG為底邊在FG下方作等腰Rt△FHG，且∠FHG＝90°.(1)如圖①，若點(diǎn)H恰好落在BC上，連接BE，EH.①求證：AD＝2AB；②若tan∠BEH＝2，GD＝1，求△FHG的面積；(2)如圖②，點(diǎn)H落在矩形ABCD內(nèi)，連接CH，若AD＝4，AB＝3，求四邊形FHCB面積的最大值．圖①圖②第25題圖26.(本小題滿分12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(－1，0)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1，2eq\r(3))．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖②，在x軸上平移線段AB得到線段EF(點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)F)．①若點(diǎn)G是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△GEF是等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；②如圖③，連接BC，過點(diǎn)D作BC的平行線交y軸于點(diǎn)H，連接DF，HE，請(qǐng)判斷四邊形DHEF的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖①圖②圖③第26題圖

參考答案與解析19.減小【解析】∵關(guān)于x的方程ax2－4x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝(－4)2－4×a×1＝0，解得a＝4，∴在函數(shù)y＝eq\f(4,x)中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減?。?0.4＜a＜36且a≠24【解析】由題意得3＜x＜11，解方程eq\f(a,x－8)＝1－eq\f(3x,8－x)，得x＝eq\f(a＋8,4)，∴3＜eq\f(a＋8,4)＜11，且eq\f(a＋8,4)≠8，解得4＜a＜36且a≠24.21.(4，－eq\f(3,2))或(－4，eq\f(3,2))【解析】如解圖，過點(diǎn)A作x軸的垂線EF，過點(diǎn)B作BE⊥EF于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥EF于點(diǎn)F，∴∠AFD＝∠BEA＝90°，∵∠DAB＝90°，∴∠DAF＋∠BAE＝90°.∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠DAF＝∠ABE.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴△DAF≌△ABE(AAS)，∴AF＝BE，DF＝AE.∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，－1)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6，3)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，－3).∵以原點(diǎn)O為位似中心，把正方形縮小為原來的一半，∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(8×eq\f(1,2)，－3×eq\f(1,2))或[8×(－eq\f(1,2))，－3×(－eq\f(1,2))]，即點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(4，－eq\f(3,2))或(－4，eq\f(3,2)).第21題解圖22.eq\f(9,5)【解析】如解圖，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴∠B＋∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，∴∠B＋2∠BAD＝90°.∵△ABE是“亞互余三角形”，∴2∠B＋∠BAE＝90°.∵∠B＋∠BAE＋∠EAC＝90°，∴∠CAE＝∠B.∵∠C＝∠C＝90°，∴△CAE∽△CBA，∴eq\f(CA,CB)＝eq\f(CE,CA)，即CA2＝CE·CB，解得CE＝eq\f(16,5)，∴BE＝BC－CE＝5－eq\f(16,5)＝eq\f(9,5).第22題解圖23.(1)90°【解析】(1)由翻折可得∠AED＝∠GED，∠BEF＝∠HEF，∴∠GED＋∠HEF＝∠AED＋∠BEF.∵∠GED＋∠HEF＋∠AED＋∠BEF＝180°，∴∠GED＋∠HEF＝90°，即∠DEF＝90°.(2)eq\f(14,5)【解析】∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.由翻折可得AE＝EG，BE＝EH，∠A＝∠EGD，∠B＝∠EHF，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴EG＝EH，即點(diǎn)G與點(diǎn)H重合．∵∠EGD＋∠EHF＝∠A＋∠B＝180°，∴點(diǎn)D，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線．如解圖，過點(diǎn)D作DM⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)M.∵∠A＝120°，AB＝2，∴∠DCM＝60°，CD＝2，∴CM＝eq\f(1,2)CD＝1，DM＝eq\f(\r(3),2)CD＝eq\r(3)，由翻折可得BF＝FG，AD＝DG＝2，設(shè)BF＝x，則MF＝2－x＋1＝3－x，DF＝2＋x，在Rt△DFM中，由勾股定理，得(2＋x)2＝(3－x)2＋(eq\r(3))2，解得x＝eq\f(4,5)，∴DF＝eq\f(14,5).第23題解圖24.解：(1)依題意，得y＝(40＋x－30)·(300－10x)，即y＝－10x2＋200x＋3000，自變量x的取值范圍是0＜x≤20，且x為正整數(shù)(或1≤x≤20，且x為正整數(shù))；(2)y＝－10x2＋200x＋3000＝－10(x－10)2＋4000，∵a＝－10＜0，∴當(dāng)x＝10時(shí)，y有最大值，且x符合0＜x≤20且x為正整數(shù)，∴當(dāng)x＝10時(shí)，x＋40＝50，y＝4000.答：每個(gè)風(fēng)箏的售價(jià)定為50元時(shí)，可使月銷售利潤最大，最大的月銷售利潤是4000元．25.(1)①證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°.如解圖①，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，則EM＝AB，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝ED.∵∠A＝∠EDG＝90°，∠AEF＝∠DEG，∴△AEF≌△DEG(ASA)，∴FE＝GE，即點(diǎn)E為FG的中點(diǎn)．∵△FHG為等腰直角三角形，∠FHG＝90°，∴EH⊥FG，EH＝eq\f(1,2)FG＝FE，∴∠MEH＋∠FEM＝90°.∵∠AEF＋∠FEM＝90°，∴∠AEF＝∠MEH.∵∠A＝∠EMH＝90°，∴△EAF≌△EMH(AAS)，∴EM＝AE＝eq\f(1,2)AD，∴AD＝2EM＝2AB；第25題解圖①②解：由①得∠FEH＝90°，∵∠FBH＝90°，∴F，B，H，E四點(diǎn)共圓，F(xiàn)H為直徑，如解圖②，∴∠BFH＝∠BEH，∴tan∠BFH＝tan∠BEH＝2，∴在Rt△BFH中，BH＝2BF.∵∠FHG＝90°，∴∠FHB＋∠CHG＝90°.∵∠C＝90°，∴∠CHG＋∠HGC＝90°，∴∠FHB＝∠HGC.∵∠FBH＝∠C＝90°，F(xiàn)H＝HG，∴△FHB≌△HGC(AAS)，∴BF＝CH.∵AD＝BC＝2AB，BH＝2BF，AF＝GD＝1，∴BH＋CH＝2(AF＋BF)，即2BF＋BF＝2(1＋BF)，∴BF＝2，BH＝4，∴FH＝2eq\r(5)，∴S△FHG＝eq\f(1,2)FH2＝10；第25題解圖②(2)解：如解圖③，過點(diǎn)H作BC的平行線，分別交AB，DC于點(diǎn)N，O，連接BH，則四邊形NOCB為矩形．(觀察圖形，矩形ANOD與(1)中矩形ABCD相同，考慮結(jié)合(1)中方法確定點(diǎn)H的軌跡，進(jìn)而對(duì)四邊形FHCB的面積進(jìn)行分割求解)∵點(diǎn)F在AN上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)H在NO上運(yùn)動(dòng)．由①方法可證AD＝2AN，∵AD＝4，∴AN＝2，∴NB＝AB－AN＝1，由②方法可得FN＝HO，設(shè)FN＝HO＝x，則NH＝4－x，∴S四邊形FHCB＝S△FHB＋S△BHC＝eq\f(1,2)FB·NH＋eq\f(1,2)BC·BN＝eq\f(1,2)(x＋1)×(4－x)＋eq\f(1,2)×4×1＝－eq\f(1,2)(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(41,8)，∵－eq\f(1,2)＜0，∴當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，四邊形FHCB的面積取得最大值，最大值為eq\f(41,8).第25題解圖③26.解：(1)由題意，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x－1)2＋2eq\r(3)，∵拋物線過點(diǎn)A(－1，0)，∴0＝a(－1－1)2＋2eq\r(3)，∴a＝－eq\f(\r(3),2)，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－eq\f(\r(3),2)(x－1)2＋2eq\r(3)＝－eq\f(\r(3),2)x2＋eq\r(3)x＋eq\f(3\r(3),2)；(2)①∵A(－1，0)，拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，∴EF＝AB＝4，∴當(dāng)△GEF是等邊三角形時(shí)，|yG|＝2eq\r(3).∵點(diǎn)G是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，∴yG＝－2eq\r(3)，代入拋物線的表達(dá)式中，∴－eq\f(\r(3),2)x2＋eq\r(3)x＋eq\f(3\r(3),2)＝－2eq\r(3)，解得x1＝1＋2eq\r(2)，x2＝1－2eq\r(2)(舍去)，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1＋2eq\r(2)，－2eq\r(3))；②存在．∵B(3，0)，C(0，eq\f(3\r(3),2))，∴直線BC的表達(dá)式為y＝－eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(3\r(3),2).∵HD∥BC，∴設(shè)直線HD的表達(dá)式為y＝－eq\f(\r(3),2)x＋m.將點(diǎn)D(1，2eq\r(3))代入，得2eq\r(3)＝－eq\f(\r(3),2)＋m，解得m＝eq\f(5\r(3),2)，∴直線HD的表達(dá)式為y＝－eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(5\r(3),2)，∴H(0，eq\f(5\r(3),2)).如解圖，把點(diǎn)H向右平移4個(gè)單位長度至點(diǎn)M，連接FM，HM，∴M(4，eq\f(5\r(3),2)).∵EFHM，∴四邊形EHMF為平行四邊形，∴HE＝MF.∵四邊形HEFD中HD與EF均為定值，F(xiàn)M＝EH，∴當(dāng)DF＋FM最小時(shí)，四邊形DHEF的周長最小．作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′(