九種函數(shù)與抽象函數(shù)模型歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：三大補充函數(shù)：對勾函數(shù) 1題型二：三大補充函數(shù)：復(fù)雜分式型“反比例”函數(shù) 2題型三：三大補充函數(shù)：雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)） 3題型四：一元三次函數(shù) 3題型五：高斯取整函數(shù) 4題型六：絕對值函數(shù) 5題型七：對數(shù)絕對值型 7題型八：對數(shù)無理型 8題型九：對數(shù)反比例型 8題型十：指數(shù)反比例型 9題型十一：抽象函數(shù)模型：過原點直線型 10題型十二：抽象函數(shù)模型：不過原點直線型 11題型十三：抽象函數(shù)模型：正切型 11題型十四：抽象函數(shù)模型：一元二次型 12題型十五：抽象函數(shù)模型：一元三次函數(shù)型 13題型十六：抽象函數(shù)模型：余弦或者雙曲余弦模型 13題型一：三大補充函數(shù)：對勾函數(shù)對勾函數(shù)：對勾函數(shù)：圖像特征形如稱為對勾函數(shù)1.有“漸近線”：y=ax2.“拐點”：解方程（即第一象限均值不等式取等處）1.（2022秋·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）若對任意的，不等式恒成立，則的最大值是.2.（2022·安徽合肥·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，關(guān)于x的不等式只有一個整數(shù)解，則正數(shù)a的取值范圍是．3.．（2023·高三單元測試）已知函數(shù)，若存在，使得，則正整數(shù)的最大值為.4.（2022·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，若對任意的，長為的三條線段均可以構(gòu)成三角形，則正實數(shù)的取值范圍是.題型二：三大補充函數(shù)：復(fù)雜分式型“反比例”函數(shù)反比例與分式型函數(shù)反比例與分式型函數(shù)解分式不等式，一般是移項（一側(cè)為零），通分，化商為積，化為一元二次求解，或者高次不等式，再用穿線法求解形如：。對稱中為P，其中①；②③一、三或者二、四象限，通過計算判斷1.（2022·湖北武漢·高三校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)為奇函數(shù)，與的圖像有8個交點，分別為，則.2.（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)的值域是或，則此函數(shù)的定義域為.3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，其中且，函數(shù)，且對任意，都有，則的值是．4.（2023·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)在的最大值為2，則實數(shù)的值為.題型三：三大補充函數(shù)：雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)）雙刀函數(shù)雙刀函數(shù)（兩支各自增），或者（兩支各自減）1.有“漸近線”：y=ax與y=-ax2.“零點”：解方程（即方程等0處）1.（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集是.2.（2023春·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知奇函數(shù)，有三個零點，則t的取值范圍為.3.（2023春·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)若，則．4...2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為．題型四：一元三次函數(shù)一元三次函數(shù)：一元三次函數(shù)：所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心，設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．1.．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心．若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2.已知函數(shù)fx=ax3+3x2+1，若至少存在兩個實數(shù)m，使得f A.3條 B.2條 C.1條 D.0條3.（多選）（全國名校大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值點為B．有且僅有3個零點C．點是的對稱中心D．4.（多選）（江蘇省蘇州市常熟市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月抽測二數(shù)學(xué)試題）對于三次函數(shù),給出定義:設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是的導(dǎo)數(shù),若方程有實數(shù)解,則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”,任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù),則以下說法正確的是（

）A．B．當(dāng)時,有三個零點C．D．當(dāng)有兩個極值點時,過的直線必過點題型五：高斯取整函數(shù)取整函數(shù)取整函數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，又叫做“高斯函數(shù)”，1.（黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)2022-2023學(xué)年高三月考數(shù)學(xué)試題）符號表示不超過的最大整數(shù)，如，，，定義函數(shù)則下列說法正確的個數(shù)是（）①函數(shù)的定義域為R②函數(shù)的值域為③函數(shù)是增函數(shù)④函數(shù)是奇函數(shù)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2.（廣東省廣州市第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）高斯（1777-1855）是德國著名數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，天文學(xué)家，大地測量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，高斯一生的數(shù)學(xué)成就很多，其中：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù)的值域為集合，則中所有負(fù)整數(shù)元素個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．53.（百師聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（四）全國卷I理科數(shù)學(xué)試題）高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，天文學(xué)家，大地測量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，用其名字命名的高斯函數(shù)為：設(shè)用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：已知函數(shù).設(shè)函數(shù)的值域為集合，則中所有正整數(shù)元素個數(shù)為（）A． B． C． D．4.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知函數(shù)，下列說法中正確的是（）A．是周期函數(shù) B．的值域是C．在上是減函數(shù) D．，題型六：絕對值函數(shù)絕對值函數(shù)：絕對值函數(shù)：1.（2023春·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習(xí)）定義為與距離最近的整數(shù)，令函數(shù)，如：.2.（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值集合為.3.（2022·浙江·高三模擬）已知函數(shù)，有下列結(jié)論：①，等式恒成立；②，方程有兩個不等實根；③，若，則一定有；④存在無數(shù)多個實數(shù)k，使得方程在上有三個不同的實數(shù)根．則其中正確結(jié)論序號為．4.（2023春·上海松江·高三上海市松江一中?？茧A段練習(xí)）已知若存在，使得成立的最大正整數(shù)為6，則的取值范圍為.題型七：對數(shù)絕對值型對數(shù)絕對值型函數(shù)對數(shù)絕對值型函數(shù)對于，若有兩個零點，則滿足1.2.3.要注意上述結(jié)論在對稱軸作用下的“變與不變”1.（2022·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考二模）已知函數(shù)，若方程有4個不同的根，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.（2023春·江蘇蘇州·高二星海實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個實根（），則的最小值為（

）A． B．16 C． D．173.（2020秋·陜西延安·高三?？寄M）已知，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．24.（2023春·安徽安慶·高三統(tǒng)考模擬）設(shè)函數(shù)，若（其中），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型八：對數(shù)無理型對數(shù)與無理式復(fù)合是奇函數(shù)：對數(shù)與無理式復(fù)合是奇函數(shù)：，如1.（2023春·黑龍江綏化·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，若任意的正數(shù)，均滿足，則的最小值為．2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是.3.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考模擬）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝．4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若正實數(shù)滿足，則的最小值為.題型九：對數(shù)反比例型1.（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則（

）A．-3 B．-2 C． D．2.（21-22高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)是奇函數(shù)，且.若表示不超過的最大整數(shù)，是函數(shù)的零點，則A． B．或 C． D．3.（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4.（23-24高三上·浙江寧波·模擬）已知是奇函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．題型十：指數(shù)反比例型變化變化1.（23-24高三上·河南·模擬）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意，不等式恒成立，則實數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值2.（23-24高三上·安徽銅陵·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．3.（21-22高三上·遼寧錦州·模擬）已知函數(shù)的圖像與過點的直線有3個不同的交點，，，則（

）A．8 B．10 C．13 D．184.（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）設(shè)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．3題型十一：抽象函數(shù)模型：過原點直線型--過原點直線型f（x）=kx--過原點直線型f（x）=kx1.（23-24高三上·山東泰安·模擬）已知函數(shù)對于任意的，都有成立，則（

多選

）A．B．是上的偶函數(shù)C．若，則D．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增2.（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，對于任意，，，且當(dāng)時，均有，則（

多選

）A．B．C．D．若，則3.（23-24高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則函數(shù)滿足（

）A． B．是偶函數(shù)C．在上有最小值 D．的解集為4.（2023·廣西玉林·三模）函數(shù)對任意x，總有，當(dāng)時，，，則下列命題中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是R上的減函數(shù)C．在上的最小值為 D．若，則實數(shù)x的取值范圍為題型十二：抽象函數(shù)模型：不過原點直線型1.（多選）（23-24高三上·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)滿足：對任意實數(shù)、都有,且當(dāng)時，.設(shè).則下列命題正確的是（

）A． B．函數(shù)有對稱中心C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)為減函數(shù)2.（多選）（23-24高三上·遼寧朝陽·模擬）若定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（

）A．B．為奇函數(shù)C．在上是減函數(shù)D．若，則不等式的解集為3.（23-24高三上·湖南株洲·模擬）已知函數(shù)對，都有，若在上存在最大值M和最小值m，則（

）A．8 B．4 C．2 D．04.（23-24高三下·河南周口·開學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)滿足，若函數(shù)的最大值和最小值分別為，則．題型十三：抽象函數(shù)模型：正切型1.（20-21高三上·浙江寧波·模擬）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，其定義域為，滿足：當(dāng)時，；任意的x，，均有.若，則x的取值范圍是（

）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）A． B． C． D．2.（山東·高考真題）給出下列三個等式：，，．下列函數(shù)中不滿足其中任何一個等式的是（

）A． B． C． D．3.（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且，，則（

多選

）A．B．為偶函數(shù)C．為周期函數(shù)，且4為的周期D．4.（20-21高三上·浙江寧波·模擬）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，其定義域為，滿足：當(dāng)時，；任意的x，，均有.若，則x的取值范圍是（

）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）A． B． C． D．題型十四：抽象函數(shù)模型：一元二次型1.（23-24高三上·上海普陀·模擬）已知對于任意的整數(shù)、、，，有成立，且，則2.（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為R，，，則下列說法不正確的是（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)3.（23-24高三上·吉林長春·模擬）函數(shù)滿足：任意，.且.則的最小值是（

）A．1775 B．1850 C．1925 D．20004.（23-24高三上·河北保定·模擬）已知函數(shù)滿足：，，成立，且，則（

）A． B． C． D．題型十五：抽象函數(shù)模型：一元三次函數(shù)型1.（多選）（2024·福建莆田·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足：，則（

）A．是奇函數(shù)B．若，則C．若，則為增函數(shù)D．若，則為增函數(shù)2.（多選）（2024·貴州·三模）已知定義域為的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，且，則（

）A．B．為奇函數(shù)C．D．設(shè)，則3.（多選）（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù)是定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)，若，且，則（

）A．是奇函數(shù) B．是減函數(shù)C． D．是的極小值點題型十六：抽象函數(shù)模型：余弦或者雙曲余弦模型（2）模型二：雙曲余弦函數(shù)（2）模型二：雙曲余弦函數(shù)特征：1.（