第一章

§1.5定積分的概念1.5.3定積分的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解定積分的概念，會(huì)用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質(zhì).問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)思考分析求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，找一下它們的共同點(diǎn).答案兩個(gè)問題均可以通過“分割、近似代替、求和、取極限”解決，都可以歸結(jié)為一個(gè)特定形式和的極限.知識(shí)點(diǎn)一定積分的概念梳理一般地，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2，…，n)，作和式(ξi)Δx＝

，當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)

，這個(gè)

叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作

，即

＝

，這里，a與b分別叫做

與

，區(qū)間[a，b]叫做

，函數(shù)f(x)叫做

，x叫做

，f(x)dx叫做

.常數(shù)常數(shù)積分下限積分上限積分區(qū)間被積函數(shù)積分變量被積式思考1根據(jù)定積分的定義求得

(x＋1)dx的值是多少？知識(shí)點(diǎn)二定積分的幾何意義答案

相等.梳理從幾何上看，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有

，那么定積分

f(x)dx表示由

所圍成的曲邊梯形的面積.這就是定積分

f(x)dx的幾何意義.注意：f(x)<0(圖象在x軸的下方)時(shí)，

f(x)dx<0，－

f(x)dx等于曲邊梯形的面積.f(x)≥0直線x＝a，x＝b，y＝0和曲線y＝f(x)知識(shí)點(diǎn)三定積分的性質(zhì)答案

直線x＝c把一個(gè)大的曲邊梯形分成了兩個(gè)小曲邊梯形，因此大曲邊梯形的面積S是兩個(gè)小曲邊梯形的面積S1，S2之和，即S＝S1＋S2.[思考辨析判斷正誤]√×√題型探究類型一利用定積分的定義求定積分解答解

令f(x)＝3x＋2.(1)分割(2)近似代替、求和(3)取極限反思與感悟利用定義求定積分的步驟解答解

令f(x)＝x＋2.類型二利用定積分的性質(zhì)求定積分解答解答解答反思與感悟若函數(shù)f(x)的奇偶性已經(jīng)明確，且f(x)在[－a，a]上連續(xù)，則解答＝－2＋1－e－1＝－(e－1＋1).例3用定積分的幾何意義求下列各式的值.類型三利用定積分的幾何意義求定積分解答解答(2).∴＝0.解答達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345解析答案解析

②③成立.A.0 B.1 C.2 D.3√1.下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是12345解析答案2.關(guān)于定積分a＝

(－2)dx的敘述正確的是A.被積函數(shù)為y＝2，a＝6B.被積函數(shù)為y＝－2，a＝6C.被積函數(shù)為y＝－2，a＝－6D.被積函數(shù)為y＝2，a＝－6√12345解析

由定積分的概念可知，A.0 B.16C.12 D.8√12345答案解析4.由函數(shù)y＝－x的圖象，直線x＝1，x＝0，y＝0所圍成的圖形的面積可表示為解析12345√答案解答12345解