第16講拋物線1．了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的幾何性質(zhì)．2．通過拋物線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想．3．了解拋物線的簡單應(yīng)用．1定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為，定點F稱為拋物線的，定直線l稱為拋物線的.如圖，P在拋物線上，2幾何性質(zhì) 標準方程y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)圖象頂點(0,0)對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點F(F(?F(0,F(0,?準線方程離心率e=13一些常見結(jié)論①過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于A,B兩點的線段AB，稱為拋物線的“”，即|AB|=2p②若A、B在拋物線y2=2px上，F(xiàn)【題型1拋物線的定義與方程】【典題】（1）與圓x－22+y2=1外切，且與直線x+1=0鞏固練習1.若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離少1，則動點P的軌跡方程是．2.到直線x=－2與到定點P(2,0)的距離相等的點的軌跡是()A．橢圓 B．圓 C．拋物線 D．直線【題型2拋物線的圖象及其性質(zhì)】【典題】（1）已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點M，N在拋物線上，且M，N，F(xiàn)三點共線點【典題】（2）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點【典題】（3）已知F為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點，K為C的準線與x軸的交點，點P在拋物線C上，設(shè)∠①β的最大值是π4；②tanβ=sinθ；③存在點P，滿足其中正確結(jié)論的序號是．鞏固練習1.如圖過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若A．2 B．32 C．3 D．62.【多選題】拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．已知拋物線y2=4x的焦點為F，一束平行于x軸的光線l1從點M(3,1)射入，經(jīng)過拋物線上的點P(xA．x1x2=1C．|PQ|=254 D．l1與3.已知點A(0,4)，拋物線C：x2=2py(0<p<4)的準線為1，點P在C上，作PH⊥l于H，4.【多選題】已知拋物線x2=1A．點F的坐標為(18，B．若直線MN過點F，則xC．若MF→=λNF→，D．若|MF|+|NF|=32，則線段MN的中點P到x5如圖，點A是曲線y=x2+2(y≤2)上的任意一點，P(0,－2)，Q(0,2)，射線QA交曲線y=18x2于B點，BC垂直于直線y=3A．①②都正確 B．①②都錯誤 C．①正確，②錯誤 D．①都錯誤，②正確【題型3最值問題】【典題】（1）已知O是坐標原點，A，B是拋物線y=x2A．|OA|?|OB|≥2B．|OA|+|OB|≥2C．直線AB過拋物線y=x2的焦點 D．O到直線AB【典題】（2）若點P是曲線C1：y2=16x上的動點，點Q是曲線C2：x－42+y2=9鞏固練習1.若點A為拋物線y2=4x上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，|AF|=6，點P為直線x=－12.已知點Q(22,0)及拋物線y=x24上一動點P(3.已知點M(2,0)，點P在曲線y2=4x上運動，點F為拋物線的焦點，則|PM4.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，M(x1,y15.已知點P是拋物線y2=4x上動點，F(xiàn)是拋物線的焦點，點A的坐標為(－1,0)，則一、單選題1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．42．（2007·山東·高考真題）設(shè)是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為（

）A． B． C． D．3．（2007·全國·高考真題）設(shè)為拋物線的焦點，為該拋物線上三點．若，則（

）A．9 B．6 C．4 D．34．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．5．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3二、多選題6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．三、填空題8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為.9．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）過原點的一條直線與圓相切，交曲線于點，若，則的值為．10．（2005·重慶·高考真題）連接拋物線上任意四點組成的四邊形可能是.（填寫所有正確選項的序號）11．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點與雙曲線的左焦點重合，若兩曲線相交于，兩點，且線段的中點是點，則該雙曲線的離心率等于.四、解答題12．（2008·浙江·高考真題）已知曲線C是到點和到直線距離相等的點的軌跡．l是過點的直線，M是C上（不在l上）的動點；A、B在l上，，軸（如圖）．(1)求曲線C的方程；(2)求出直線l的方程，使得為常數(shù)．13．（2003·上?！じ呖颊骖}）在以O(shè)為原點的直角坐標系中，點為的直角頂點．已知，且點B的縱坐標大于零．(1)求向量的坐標；(2)求圓關(guān)于直線對稱的圓的方程；(3)是否存在實數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍．14．（2005·上海·高考真題）已知拋物線的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離為5，過A作軸，垂足為B，OB的中點為M．(1)求拋物線的方程；(2)過M作，垂足為N，求點N的坐標；(3)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系．15．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.五、雙空題16．（2005·北京·高考真題）拋物線的準線方程是．焦點坐標是．一、單選題1．拋物線W：的焦點為F.對于W上一點P，若P到直線的距離是P到點F距離的2倍，則點P的橫坐標為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．過拋物線：焦點的直線與交于，兩點，過點向拋物線的準線作垂線，垂足為，則（

）A． B． C．18 D．203．拋物線的焦點坐標是（

）A． B． C． D．4．拋物線的焦點與圓C：上動點的距離的最小值為（

）A．7 B．3 C． D．15．已知A，B兩點在以F為焦點的拋物線上，并滿足，過弦AB的中點M作拋物線對稱軸的平行線，與OA交于N點，則MN的長為（

）A． B． C． D．6．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，兩點，若，在準線上的射影為，，則等于()．A． B． C． D．二、多選題7．平面內(nèi)到定點和到定直線的距離相等的動點的軌跡為曲線.則（

）A．曲線的方程為B．曲線關(guān)于軸對稱C．當點在曲線上時，D．當點在曲線上時，點到直線的距離8．拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線C：，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過C上的點A反射后，再經(jīng)C上另一點B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點N.下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則MB平分C．若，則D．若，延長交直線于點D，則D，B，N三點共線三、填空題9．拋物線過點，則拋物線的焦點坐標為．10．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于兩點，為坐標原點，若的面積為，則雙曲線的離心率為.11．已知圓：和拋物線：，請寫出與和都有且只有一個公共點的一條直線的方程.（寫出一條即可）12．已知拋物線E：的焦點為F，直線l的傾斜角，l與拋物線交于，兩點，且，過F作l的垂線，垂足為D，P為拋物線上任意一點，則的最小值為．四、解答題13．已知拋物線上的一點M的縱坐標為1，求點M到焦點的距離.14．已知動點在拋物線上，過點作軸的垂線，垂足為，動點滿足.(1)求動點的軌