2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共6小題）1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（

）A． B． C． D．4．在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)的部分圖象可能是（

）A． B．C． D．5．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．6．下列各組角中，終邊相同的角是（

）A．與B．C．與D．與二、未知（本大題共1小題）7．已知，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．三、單選題（本大題共3小題）8．已知函數(shù)，則“”是“為奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．科赫曲線(xiàn)是幾何中最簡(jiǎn)單的分形．科赫曲線(xiàn)的產(chǎn)生方式如下：如圖，將一條線(xiàn)段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線(xiàn)段生成1級(jí)科赫曲線(xiàn)“”，將1級(jí)科赫曲線(xiàn)上每一線(xiàn)段重復(fù)上述步驟得到2級(jí)科赫曲線(xiàn)，同理可得3級(jí)科赫曲線(xiàn)……在分形中，一個(gè)圖形通常由N個(gè)與它的上一級(jí)圖形相似，且相似比為r的部分組成．若，則稱(chēng)D為該圖形的分形維數(shù)．那么科赫曲線(xiàn)的分形維數(shù)是（

）A． B． C．1 D．10．2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是（

）．A． B．C． D．四、填空題（本大題共5小題）11．已知，且則.12．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，角的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，．13．若扇形所在圓半徑為2cm，圓心角為1弧度，則該扇形面積，周長(zhǎng)為.14．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍為.15．已知函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，記函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．五、解答題（本大題共5小題）16．已知集合.(1)求；(2)記關(guān)于的不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)溫度是，空氣溫度是，則經(jīng)過(guò)時(shí)間分鐘后物體溫度可以由公式求得.若把溫度是的物體放在的空氣中冷卻到，大概需要多少分鐘？（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：）18．已知定義域?yàn)榈膯握{(diào)減函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)．請(qǐng)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下面的問(wèn)題．條件①：;條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分．(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)設(shè)函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給出證明；(3)設(shè)函數(shù)，指出函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．20．已知數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意的，若，則，且，設(shè)集合，集合中元素最小值記為，集合中元素最大值記為.(1)對(duì)于數(shù)列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，寫(xiě)出集合及，；(2)求證：不可能為18；(3)求的最大值以及的最小值.

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集概念求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：B.2．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，利用不等式的基本性質(zhì)，以及特例法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，例如，此時(shí)滿(mǎn)足，但，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，，所以B不正確；對(duì)于C中，由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，可得，所以C正確；對(duì)于D中，例如，此時(shí)滿(mǎn)足，但，所以D不正確.故選：C.3．【正確答案】A【詳解】.故選：A.4．【正確答案】C【詳解】在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)，的單調(diào)性一定相反，且圖象均不過(guò)原點(diǎn)，故排除AD；在BC選項(xiàng)中，過(guò)原點(diǎn)的圖象為冪函數(shù)的圖象，且由圖象可知，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故排除B，故C符合題意.故選：C.5．【正確答案】B【分析】利用定義判斷函數(shù)的奇偶性可對(duì)A、C判斷；利用函數(shù)奇偶性的判斷并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可對(duì)B、D判斷.【詳解】對(duì)A、C：由，定義域?yàn)?，所以不是奇函?shù)，故A錯(cuò)誤；定義域?yàn)?，，所以是偶函?shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)B、D：，定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞減，故B正確；，定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，且在定義域上為增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B.6．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，表示終邊在軸上的角，表示終邊在坐標(biāo)軸上的角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楸硎窘K邊在所在直線(xiàn)上的角；表示終邊在所在直線(xiàn)上的角以及軸上的角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，表示終邊在這條直線(xiàn)上的角，表示終邊在所在直線(xiàn)上的角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，表示終邊在軸負(fù)半軸上的角，表示終邊在軸負(fù)半軸上的角，故D正確.故選：D.7．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，由在上單調(diào)遞增，可得，即；由在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即；由在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即；綜上所述.故選：D.8．【正確答案】C【分析】根據(jù)“”與“為奇函數(shù)”互相推出的情況判斷屬于何種條件.【詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以為奇函數(shù)；當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，顯然定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以，所以，由上可知，“”是“為奇函數(shù)”的充要條件，故選：C.9．【正確答案】D【詳解】由題意曲線(xiàn)是由把全體縮小的4個(gè)相似圖形構(gòu)成的，因?yàn)?，即，則，所以分形維數(shù)是.故選：D.10．【正確答案】A【分析】計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長(zhǎng)，利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值可得出結(jié)果.【詳解】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對(duì)應(yīng)的圓心角為，每條邊長(zhǎng)為，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)為，單位圓的外切正邊形的每條邊長(zhǎng)為，其周長(zhǎng)為，，則.故選：A.11．【正確答案】【詳解】由可得，由于，故，故，故答案為.12．【正確答案】【分析】根據(jù)角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，從而可求出，，再根據(jù)角的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而可求解.【詳解】對(duì)空：由點(diǎn)在角的終邊上，所以，.對(duì)空：由角的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以.故；.13．【正確答案】【詳解】由題意可得，故扇形面積為，弧長(zhǎng)為，故周長(zhǎng)為，故14．【正確答案】【詳解】令，而為增函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，即在上是增函數(shù)且恒大于0，所以，解得，則的取值范圍為.故答案為.15．【正確答案】①③【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的新定義，結(jié)合函數(shù)的圖象、函數(shù)的零點(diǎn)的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得，所以，對(duì)于①中，當(dāng)時(shí)，，令，解得，如圖所示，，結(jié)合圖象，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以①正確；對(duì)于②中，當(dāng)時(shí)，可得，令，即，解得或，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，即，其中，所以，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是偶函數(shù)，所以②不正確；對(duì)于③中，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，令，即，解得或，若時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，分別為，和；若時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，分別為，和；若時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，分別為，和；綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以③正確；對(duì)于④中，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，將點(diǎn)代入函數(shù)，可得，解得，如圖所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以④不正確.故①③.16．【正確答案】(1)或x≥4，(2)【詳解】（1）解：因?yàn)榧?，所以，所以；由，可得或，所以或x≥4，進(jìn)而可得，所以或x≥4，.（2）解：因?yàn)椋?，所以，所以；又或x≥4，若，則，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是17．【正確答案】2.77【詳解】由題知代入，得，即，，解得，即把溫度是的物體放在的空氣中冷卻到，大概需要2.77分鐘.18．【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用函數(shù)奇函數(shù)的性質(zhì)求的值；（2）利用函數(shù)是奇函數(shù)，求的解析式，即得函數(shù)的解析式；（3）利用函數(shù)是奇函數(shù)，變形為，再利用函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式，利用不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，所以.（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，所以，綜上，（3）由，得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，又在上是減函數(shù)，所以，即對(duì)任意恒成立，令，則，由，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．【正確答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析(3)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?1,1，若選①：因?yàn)?，即為奇函?shù)，則，整理得，注意到對(duì)任意x∈?1,1上式均成立，可得，解得；若選②：因?yàn)?，即為偶函?shù)，則，整理得，注意到對(duì)任意x∈?1,1上式均成立，可得，解得.（2）若選①：則，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明如下：對(duì)任意，且，則，因?yàn)椋瑒t，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；若選②：則，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明如下：對(duì)任意，且，則，因?yàn)椋瑒t，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）若選①：則，則，由（2）可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則在內(nèi)單調(diào)遞減，且在內(nèi)單調(diào)遞減，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合，，可知在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；若選②：則，則，由（2）可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則在內(nèi)單調(diào)遞增，且在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合，，可知在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).20．【正確答案】(1)，，(2)證明見(jiàn)解析(3)的最大值為17，的最小值為16.【詳解】（1）數(shù)列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，對(duì)任意的，若，則，且，設(shè)集合，集合中元素最小值記為，集合中元素最大值記為，因?yàn)?，，所以，?（2）假設(shè)，設(shè)，則，即，因?yàn)?，所以，同理，設(shè)，可以推出，中有兩個(gè)元素為1，與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，