泰勒公式泰勒公式不論在近似計(jì)算或理論分析中，人們希望能用一些簡單的函數(shù)來近似一個比較復(fù)雜的函數(shù)，這將會帶來很大的方便.一般來說，最簡單的是多項(xiàng)式，因?yàn)槎囗?xiàng)式是關(guān)于變量加、減、乘的運(yùn)算，因此，多項(xiàng)式經(jīng)常被用來近似地表達(dá)函數(shù)，這種近似表達(dá)在數(shù)學(xué)上常稱為逼近.

由微分概念知,fx在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則有f(x)=f(x0)+f′(x0)(x－x0)+o(x－x0),

即在點(diǎn)x0附近，用一次多項(xiàng)式f(x0)+f′(x0)(x－x0)逼近函數(shù)f(x)時，其誤差為(x－x0)的高階無窮小.然而在很多場合，取一次多項(xiàng)式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項(xiàng)式去逼近，要求誤差為o(x－x0)n，其中n為多項(xiàng)式的次數(shù)，并且能具體估算出誤差大小.泰勒公式于是有這樣的問題：設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，問是否存在—個n次多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)=a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2+…+an(x－x0)n，(4-4)

使得f(x)=pn(x)+o(x－x0)n，并給出誤差估計(jì)的具體表達(dá)式.

泰勒公式先逐次求pn(x)在點(diǎn)x0處的各階導(dǎo)數(shù)，得而a0=pn(x0).由此可見，多項(xiàng)式pn(x)的各項(xiàng)系數(shù)由其在點(diǎn)x0的函數(shù)值及各階導(dǎo)數(shù)值所唯一確定.

泰勒公式為此考慮這樣一種情形：設(shè)p

n(x)和f(x)在點(diǎn)x

0有相同的函數(shù)值和直到n階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，即pn(x0)=f(x0)，p(k)n(x0)=f(k)(x0)(k=1,2,…,n),

因此，將所求系數(shù)a0,a1,a2,…,an代入式(4-4)，有(4-5)

下面的定理表明，多項(xiàng)式(4-5)就是要尋找的n次多項(xiàng)式.

泰勒公式定理7(泰勒中值定理)若函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則對任一x∈(a,b)，有(4-6)(4-7)泰勒公式證由Rn(x)=f(x)－pn(x)，根據(jù)題意，只需證明式(4-7)成立.

從題設(shè)條件知，Rn(x)在(a,b)內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，且泰勒公式按此方法繼續(xù)做下去，經(jīng)過n+1次后，可得多項(xiàng)式(4-5)稱為函數(shù)f(x)按(x－x0)的冪展開的n次近似多項(xiàng)式，公式(4-6)稱為f(x)按(x－x0)的冪展開的帶有拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式，Rn(x)的表達(dá)式(4-7)稱為拉格朗日型余項(xiàng).泰勒公式當(dāng)n=0時，泰勒公式變成拉格朗日中值公式f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x－x0)(ξ在x0與x之間)，因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.

如果對于固定的n，當(dāng)x∈(a,b)時，f(n+1)(x)≤M，則(4-8)

故

當(dāng)x→x0時，誤差|Rn(x)|是比(x－x0)n高階的無窮小，即Rn(x)=o［(x－x0)n］.(4-9)

這樣，前面提出的問題就得到解決.

泰勒公式在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時，n階泰勒公式也可寫成Rn(x)的表達(dá)式(4-9)稱為皮亞諾型余項(xiàng),公式(4-10)稱為f(x)按(x－x0)的冪展開的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式.(4-10)泰勒公式在泰勒公式(4-6)中，取x0=0，則ξ在0與x之間，因此，可令ξ=θx(0<θ<1)，由式(4-6)和式(4-7)，得式(4-11)稱為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式.

在泰勒公式(4-10)中，取x0=0，則