4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念（第2課時）人教A版選擇性必修第二冊

第四章

數(shù)列學(xué)習(xí)目標123能從具體實例中抽象出等比數(shù)列，并能進行簡單應(yīng)用，培育數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)；能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列,并能解決相應(yīng)問題.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，培育邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)典例分析

分析:復(fù)利是指把前一期的利息與本金之和算做本金，再計算下一期的利息，所以若原始本金為a元，每期的利率為r，則從第一期開始，各期的本利和a，a(1+r)，a(1+r)2，……構(gòu)成等比數(shù)列.月初本金月末本利和1個月2個月3個月12個月104104(1+0.400％)104(1+0.400％)104(1+0.400％)2104(1+0.400％)2104(1+0.400％)3104(1+0.400％)11104(1+0.400％)12典例分析

解：學(xué)以致用教材P343.某汽車集團計劃大力發(fā)展新能源汽車，2017年全年生產(chǎn)新能源汽車5000輛，如果在后續(xù)的幾年中，后一年新能源汽車的產(chǎn)量都是前一年的150%，那么2025年全年約生產(chǎn)新能源汽車多少輛(精確到1)?4.某城市今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)為105,力爭2年后使空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)達到240.這個城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)的年平均增長率應(yīng)達到多少(精確到0.01)?典例分析[例6]

某工廠去年12月試產(chǎn)1050個高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%.從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品。1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎(chǔ)上提高5%，產(chǎn)品合格率比前一個月增加0.4%，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個以內(nèi)？產(chǎn)量不合格率數(shù)列{an}數(shù)列{bn}等比數(shù)列等差數(shù)列分析：不合格品產(chǎn)量×不合格率等差數(shù)列×等比數(shù)列{anbn}

數(shù)列{anbn}既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，所以可以先列表觀察規(guī)律，再尋求問題的解決方法.典例分析解:

設(shè)從今年1月起,各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列{an},{bn}.bn=1-[90%+0.4%(nn,其中n=1,2,…,24,則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是anbn=1050×1.05n-1n)由題意，知

an=1050×1.05n-1,由計算工具計算（精確到0.1），并列表n1234567891011121314anbn105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9106.4105.5104.2102.6100.698.195.0=1.05n×(104-4n).觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{anbn}先遞增，在第6項以后遞減，所以只要設(shè)法證明當(dāng)n≥6時，{anbn}遞減，且a13b13<100即可.得n>5.所以，當(dāng)n≥6時，數(shù)列{anbn}遞減.又a13b13≈98<100.所以,當(dāng)13≤n≤24時，anbn≤a13b13<100.所以，生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格的數(shù)量能控制在100個以內(nèi).學(xué)以致用教材P345.已知數(shù)列{an}的通項公式為

，求使an取得最大值時n的值.典例分析

分析：根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對數(shù)的知識進行證明.證明:(1)由已a1=3，d=2，得{an}的通項公式為an=2n+1.

又log3a1

=log33=1,兩邊取以3為底的對數(shù)，得log3an=log3

33-2n=3-2n

所以log3an+1-log3an=[3-2(n+1)]–(3-2n)=-2所以，數(shù)列{log3an}是首項為1，公差為-2的等差數(shù)列.學(xué)以致用教材P314.對于數(shù)列{an},若點(n,an)(n∈N*)都在函數(shù)y=cqx的圖象上，其中c,q為常數(shù)，且c≠0,q≠0,q≠1，試判斷數(shù)列{an}是否是等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.例題小結(jié)等比數(shù)列的常用判定方法新知探究

結(jié)論：數(shù)列{an}是等差數(shù)列?數(shù)列

是等比數(shù)列.數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列?數(shù)列{logban}是等差數(shù)列.b>0且b≠1學(xué)以致用教材P40-習(xí)題4.32.已知一個無窮等比數(shù)列{an}的首項為a1,公差為q.(1)將數(shù)列{an}中的前k項去掉,其余各項組成一個新的數(shù)列,這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項和公比分別是多少?

(2)依次取出數(shù)列{an}中的所有奇數(shù)項,組成一個新的數(shù)列,這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項和公比分別是多少?

(3)在數(shù)列{an}中，從第一項起，每隔10項取出一項，組成一個新的數(shù)列,這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?你能根據(jù)得到的結(jié)論作出關(guān)于等比數(shù)列的一個猜想嗎?改成偶數(shù)項呢？新知探究由課本P40習(xí)題4.3-T2可得等差數(shù)列的如下性質(zhì)：性質(zhì)1若{an}是等比數(shù)列，公比為q，則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公比為qm的等差數(shù)列．（若下標成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項成等比數(shù)列）追問

你能證明該性質(zhì)嗎？證明：∵{an}是等比數(shù)列，公比為q∴ak+m=akqm，ak+2m=akq2m即(ak+m)2=akak+2m即ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差為qm的等比數(shù)列新知探究探究

觀察等比數(shù)列:2，4，8，16，32，64，128，256,……說出16是哪兩項的等比中項？并找到它們滿足的規(guī)律？2

，4

，8，16

，32，64，128等比數(shù)列問題2觀察項的角標滿足什么關(guān)系？由此你能得到什么一般性的結(jié)論嗎？并且加以證明.新知探究猜想

若{an}是公比為q的等比數(shù)列，正整數(shù)m，n，s，t滿足m＋n＝s＋t，則aman＝asat.證明:新知探究由此可得等比數(shù)列的如下性質(zhì)：性質(zhì)2在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝s＋t(m,n,s,t∈N*)，則aman＝asat.（若下標和相等，則對應(yīng)項的積相等.）(1)特別地:若m＋n＝2k(m,n,k∈N*)，則有aman＝a2k.推論(2)對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1＝….思考

2+3=5，a2a3=a5成立嗎？【注】等式兩邊的項數(shù)必須一樣多！學(xué)以致用教材P315.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

(1)a3,a5,a7是否成等比數(shù)列?為什么?a1,a5,

a9呢?(2)當(dāng)n>1時,an-1,an,an+1是否成等比數(shù)列?為什么?

當(dāng)n>k>0時,an-k,an,

an+k是等比數(shù)列嗎?學(xué)以致用教材P342.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等比數(shù)列，分別研究下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，若是，證明結(jié)論；若不是，請說明理由.問題3

根據(jù)本題你能得到一般性的結(jié)論嗎？由練習(xí)題4可得等比數(shù)列的如下性質(zhì)：新知探究性質(zhì)3數(shù)列{an},{bn}都是等比數(shù)列,公比分別為p,q，則數(shù)列{anbn}是公比為

的等比數(shù)列.

pq推論若數(shù)列{an},{bn}都是等比數(shù)列,公差分別為p,q，λ為常數(shù)則有數(shù)列

是等比數(shù)列，公比為

；數(shù)列

是等比數(shù)列，公比為

；數(shù)列

是等比數(shù)列，公比為

；數(shù)列

是等比數(shù)列，公比為

；數(shù)列

是等比數(shù)列，