數(shù)學(xué)本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、姓名、班級(jí)、座位號(hào)和考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上，再用2B鉛筆把考號(hào)的對(duì)應(yīng)數(shù)字涂黑．2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可得，再由并集的定義求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所?故選：A.2.已知數(shù)據(jù)，且滿(mǎn)足，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，有可能變大的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.極差 D.方差【答案】A【解析】【分析】根據(jù)極差，中位數(shù)以及方差的定義即可排除BCD，舉反例即可求解A.【詳解】由于，所以原來(lái)的極差為，新數(shù)據(jù)的極差為，故極差變小，原來(lái)和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，去掉，后，數(shù)據(jù)波動(dòng)性變小，故方差變小，因此可能變大的是平均數(shù)，比如，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6.6，去掉1和12后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，但，故A正確.故選：A3.若，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求解不等式，再由充分條件以及必要條件的定義，即可判斷.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，由可得，即，所以，但無(wú)法保證，故不一定成立，充分性不滿(mǎn)足；由可得，所以一定成立，故必要性滿(mǎn)足；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.已知為第一象限角，為第四象限角，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正切的差角公式可得，即可結(jié)合角的范圍，根據(jù)同角關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，故，又是第一象限角，為第四象限角，故，因此，因此，由于，則，故.故選：C.5.大西洋鮭魚(yú)每年都要逆游而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚(yú)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚(yú)的游速（單位：）可以表示為，其中表示鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù).若一條鮭魚(yú)游速為時(shí)耗氧量的單位數(shù)為，游速為時(shí)耗氧量的單位數(shù)為，則（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意可得，，兩式相減得，所以，所以，所以.故選：C.6.數(shù)列中，，，若是數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意，，，所以，所以，所以，函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值為.故選：D7.在平面直角坐標(biāo)系中，以軸非負(fù)半軸為始邊作角和角，，它們的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)，，設(shè)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，若，則角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由點(diǎn)的坐標(biāo)可得，結(jié)合恒等變換公式化簡(jiǎn)，然后求解三角函數(shù)不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，則，由可得，即，解得，即，又，則時(shí)，.故選：B8.已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A.(1,+∞) B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，判斷出函數(shù)在定義域上的零點(diǎn)，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，由，解得或，且有，，當(dāng)，f'x>0，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，f'x<0，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈0,+∞，f'x又因?yàn)?，?所以，存在一個(gè)負(fù)數(shù)零點(diǎn)，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得或，且有，當(dāng)，f'x<0，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，f'x>0，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，f'x<0，在區(qū)間上單調(diào)遞減；又因?yàn)椋?所以存在一個(gè)負(fù)數(shù)零點(diǎn)，要使存在唯一的零點(diǎn)，則滿(mǎn)足，解得，又因?yàn)?，所以，綜上，的取值范圍是或．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下說(shuō)法正確的是（）A.兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)越大，它們的線性相關(guān)程度越強(qiáng)B.殘差點(diǎn)分布在以橫軸為對(duì)稱(chēng)軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域越窄，擬合效果越好C.根據(jù)分類(lèi)變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，則依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“與沒(méi)有關(guān)聯(lián)”D.若隨機(jī)變量，，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的概念，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念和正態(tài)分布的概率公式，逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，其中，且當(dāng)越接近1時(shí)，相關(guān)程度越大；當(dāng)越接近0時(shí)，相關(guān)程度越小，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，殘差點(diǎn)分布越窄，說(shuō)明大部分預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的偏離越小，擬合效果較好，故B正確.對(duì)于C，獨(dú)立性檢驗(yàn)的判斷標(biāo)準(zhǔn)是，若計(jì)算得出的值大于臨界值，則拒絕獨(dú)立性假設(shè)，說(shuō)明變量與存在關(guān)聯(lián)。因此，，意味著拒絕“與沒(méi)有關(guān)聯(lián)”的零假設(shè)，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，對(duì)于，則，所以，對(duì)于，則，所以，又，所以，故D正確故選：BD.10.設(shè)函數(shù)，已知在區(qū)間有且僅有個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則（）A.在區(qū)間有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn) B.在區(qū)間有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)C.在區(qū)間單調(diào)遞減 D.的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)在區(qū)間上對(duì)稱(chēng)中心的個(gè)數(shù)求得的取值范圍，根據(jù)極大值、極小值、單調(diào)性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由，得，由于在區(qū)間有且僅有5個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以，解得，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.由上述分析可知，所以對(duì)于A選項(xiàng)，由或，即或時(shí)，取得極大值，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由或，即或時(shí)，取得極小值，即只有個(gè)極小值，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，由上述分析可知，所以當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，C選項(xiàng)正確.故選：AC11.已知函數(shù)定義域?yàn)椋?，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在，當(dāng)時(shí)有 B.存在是增函數(shù)C.存在是奇函數(shù) D.存在，使恒大于0【答案】ACD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)可判斷AD；根據(jù)增函數(shù)定義即集合的含義可判斷B；構(gòu)造函數(shù)可判斷C.【詳解】對(duì)A，構(gòu)造函數(shù)，圖象如圖所示：此時(shí)，顯然存在時(shí)，，A正確；對(duì)D，由A中函數(shù)可知，存在，使恒大于0，D正確；對(duì)B，若是增函數(shù)，則對(duì)任意，都有時(shí)，則，所以B錯(cuò)誤；對(duì)C，構(gòu)造函數(shù)，圖象如下圖：易知，是奇函數(shù)，且，故C正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于理解集合的含義，根據(jù)選項(xiàng)構(gòu)造相應(yīng)函數(shù).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率為，則實(shí)數(shù)【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，即可根據(jù)切線斜率求解.【詳解】由可得，由于曲線y=f(x)故，解得，故答案為：13.若的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為-8，則的最大值為_(kāi)___.【答案】##0.125【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的特征，可得項(xiàng)的系數(shù)為為，即可根據(jù)求解.【詳解】,又，故，可由分別提供得到，或者提供得到，或者提供得到，故項(xiàng)的系數(shù)為為，故，即，要使最大，則需為正數(shù)，因此，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為：14.袋子里有四張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從袋子中有放回地依次隨機(jī)抽取四張卡片并記下卡片上數(shù)字，則有兩張卡片數(shù)字之和為5概率是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，將兩張卡片數(shù)字之和不為5的分為5種情況有：即可根據(jù)組合數(shù)求解,結(jié)合對(duì)立事件的概率公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知：有放回地依次隨機(jī)抽取四張卡片可得所有情況有種，任意兩張卡片數(shù)字之和不為5的情況有：①1111，2222，3333，4444，都各有1種，②1112，1122，1222，有種，③1113，1133，1333，有種，④2224，2244，2444有種，⑤3334，3344，3444有種，故總的情況有，故有兩張卡片數(shù)字之和為5的概率是，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)，利用累加法，結(jié)合錯(cuò)位相減即可化簡(jiǎn)求解.小問(wèn)1詳解】由可得時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，也符合要求，故，【小問(wèn)2詳解】由可得，故時(shí)，，則，相減可得，故，化簡(jiǎn)可得，故，當(dāng)時(shí)，也符合要求，故16.三角形中，內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)邊分別為，，，面積.（1）求的大小；（2）如圖，若為外一點(diǎn)，在四邊形中，邊長(zhǎng)，，，求CD的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面積公式以及余弦定理可得，即可求解，（2）根據(jù)正弦定理可得，即可根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)得，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所以．【小?wèn)2詳解】在和中，由正弦定理可得，設(shè)，，則，故兩式相除可得，即,因此，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)取最大值1，故取最小值.17.已知函數(shù).（1）若，求證：當(dāng)x>0時(shí)，；（2）若x=0是的極大值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）令，再求導(dǎo)可得，即可得到在上恒成立，即可證明；（2）分類(lèi)討論可得單調(diào)性，分、、、四種情況討論，判斷的單調(diào)性，即可確定極值點(diǎn)，從而得解；【小問(wèn)1詳解】若，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，所以，即在上單調(diào)遞增，所以.【小問(wèn)2詳解】由題知，令，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以無(wú)極值點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述，的取值范圍是.18.小張參加某項(xiàng)專(zhuān)業(yè)能力考試.該考試有，，三類(lèi)問(wèn)題，考生可以自行決定三類(lèi)問(wèn)題的答題次序，回答問(wèn)題時(shí)按答題次序從某一類(lèi)問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答正確則考試通過(guò)，若回答錯(cuò)誤則繼續(xù)從下一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，依此規(guī)則，直到三類(lèi)問(wèn)題全部答完，仍沒(méi)有答對(duì)，則考試不通過(guò).已知小張能正確回答，，三類(lèi)問(wèn)題的概率分別為，，，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立.（1）若小張按照在先，次之，最后的順序回答問(wèn)題，記為小張的累計(jì)答題數(shù)目，求的分布列；（2）小張考試通過(guò)的概率會(huì)不會(huì)受答題次序的影響，請(qǐng)作出判斷并說(shuō)明理由；（3）設(shè)，為使累計(jì)答題數(shù)目的均值最小，小張應(yīng)如何安排答題次序？并說(shuō)明理由.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）會(huì)，理由見(jiàn)解析（3）應(yīng)按的順序答題，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求得分布列.（2）計(jì)算按的順序、的順序答題時(shí)，累計(jì)答題數(shù)目的均值，從而作出判斷.（3）計(jì)算按的順序、的順序、的順序、的順序答題時(shí)，累計(jì)答題數(shù)目的均值，從而作出判斷.【小問(wèn)1詳解】按的順序答題，的可能取值為，則,，，所以的分布列為：【小問(wèn)2詳解】小張考試通過(guò)的概率會(huì)受答題次序的影響，理由如下：若按的順序答題，設(shè)為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，由（1）得.若按的順序答題，設(shè)為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，則，所以.，由于的值不一定為，所以不一定相等，所以小張考試通過(guò)的概率會(huì)受答題次序的影響.【小問(wèn)3詳解】應(yīng)按的順序答題，理由如下：設(shè)，，.根據(jù)（2）可知.若按的順序答題，設(shè)為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，同理可得.若按的順序答題，設(shè)為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，同理可得.，若按的順序答題，設(shè)為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，同理可得.若按的順序答題，設(shè)為此時(shí)小張的累計(jì)答題數(shù)目，同理可得..所以累計(jì)答題數(shù)目的均值最小的，是、、中最小的一個(gè)，，，所以，，，所以，所以最小的是，所以應(yīng)按的順序答題.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題涉及相互獨(dú)立事件和期望值的計(jì)算，考查考生對(duì)獨(dú)立事件概率分布及期望最小化策略的理解與應(yīng)用．題目包含了分布列的計(jì)算、不同答題順序?qū)Y(jié)果的影響，以及最優(yōu)答題順序的選擇，整體具有一定的綜合性和策略性．解答過(guò)程中使用了差比較法來(lái)進(jìn)行比較，使得結(jié)論更具說(shuō)服力．19.如果函數(shù)y=f(x)，滿(mǎn)足：對(duì)于任意，，均有（為正整數(shù)）成立，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在上具有“級(jí)（1）判斷在區(qū)間上是否具有“1級(jí)”性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）若在區(qū)間上具有“1級(jí)”性質(zhì)，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上具有“級(jí)”性質(zhì)，求證：對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，都有成立.【答案】（1）具有“1級(jí)”性質(zhì)，利用見(jiàn)解析（2）（3）證