高職實(shí)用等數(shù)學(xué)第4章不定積分4.1.1原函數(shù)的概念4.1.2不定積分4.1.3不定積分的幾何意義4.1.4不定積分的性質(zhì)4.1不定積分的概念和性質(zhì)例1已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù) ，求函數(shù)f(x)

．4.1不定積分的概念和性質(zhì)4.1.1原函數(shù)的概念解因?yàn)? ，對于任意的常數(shù)c，都有所以 ，（其中c為任意常數(shù)）．例2已知某物體的運(yùn)動速度 (a是加速度，t是時(shí)間)，求該物體的運(yùn)動方程．解設(shè)物體的運(yùn)動方程為 ．因?yàn)? ,又定義1

設(shè)在區(qū)間Ⅰ上，如果對 ，都有，或

就稱F(x)是f(x)在該區(qū)間Ⅰ上的一個原函數(shù)．例如例1中的y=x2是函數(shù)2x的一個原函數(shù)．例2中的 是函數(shù) 的一個原函數(shù). （其中為任意常數(shù)）都是x3性質(zhì)1假設(shè)在區(qū)間Ⅰ上F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則F(x)+C

（C為常數(shù)）也是f(x)的原函數(shù)．證設(shè)c為任意常數(shù),由 ,即F(x)+c

也是f(x)的原函數(shù)．性質(zhì)2假設(shè)在區(qū)間Ⅰ上F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則F(x)-G(x)=C

.

證由

，所以F(x)-G(x)=C

（其中c為任意常數(shù)）．4.1.2不定積分定義2

在Ⅰ上f(x)函數(shù)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記為其中符號“”稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量．如果 ，則 所以求不定積分的問題就是求原函數(shù)的問題．以后總是把c作為常數(shù)的符號，不再另加說明．(1).(2).(3).(4).解(1)因?yàn)? ，所以是x3的一個原函數(shù)．因此(2)∵ ，∴sinx是cosx的一個原函數(shù)，因此(3)∵ ，∴.例1求下列不定積分：(4)∵ ，∴ .例4

求不定積分 ．解∵被積函數(shù)x=0在處沒有定義．當(dāng)x＞0時(shí)，∵ ，∵

．當(dāng)x＜0時(shí)，∵ ，∵

．綜合上面的討論，得4.1.3不定積分的幾何意義例5

已知某曲線在任意一點(diǎn)的切線斜率為2x，且曲線經(jīng)過點(diǎn)(0,1)．求該曲線方程．解

∵ ，又∵

，∴ ,即 ．又由于曲線經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，所以， ,即 ．故所求曲線方程為 通過把積分曲線y=F(x)沿y軸的方向平行移動而得到.f(x)的全部積分曲線構(gòu)成一個曲線簇．這個積分曲線簇如例5，積分曲線 就是將積分 線y沿軸正方向平行移動1個單位而得到的．且過點(diǎn)(0,1)處的切線都和x軸平行(如右圖所示)．的每一條在點(diǎn)x0的切線的斜率都是f(x0)

，故這些切線都是彼此平行的(如上圖所示).4.1.4不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1

．性質(zhì)2

,其中k≠0

．性質(zhì)3

，或

．性質(zhì)4

，或

．4.2.1基本積分公式4.2.2直接積分法4.2直接積分法4.2直接積分法4.2.1基本積分公式例如：由 可知 是xa的一個原函數(shù)，即有由此可見，根據(jù)積分運(yùn)算是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，我們就可以很自然地從導(dǎo)數(shù)(或微分)公式得到相應(yīng)的不定積分公式：1. ，其中k為常數(shù)．2． ，(a≠-1)．

二、基本積分公式3．4．5． .6． .7． .8． .9．10． .1. 2．4.2.2直接積分法例1

求不定積分 ．解原式其中例2

求

解原式例3

求不定積 ．解原式例4

求不定積分 ．解原式解例5

求例6

求解例7

求不定積分 解原式以上的例3、例4、例5表明，在求不定積分時(shí)，根據(jù)被積函數(shù)的情況，先要將被積函數(shù)進(jìn)行代數(shù)或三角恒等變換后，再應(yīng)用公式和性質(zhì)進(jìn)行積分．習(xí)題4.21．將下列函數(shù)的原函數(shù)填在括號內(nèi)．(1).(2)...(3)(4)(5).(6).2．按積分公式求下列不定積分．(1).(2).(3).(4).3．求下列不定積分．(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9)...(10)(11)(12).(13).(14).4.已知曲線 上任一點(diǎn)的切線的斜率為,且該曲線經(jīng)過點(diǎn)（2，5），求這曲線方程．5．已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度函數(shù)為 ,運(yùn)動方程為s=s(t)．如果已知v(0)=1，s(0)=0，，試求s=s(t)

．4.3.1第一類換元積分法(湊微分法)4.3.2第二換元法4.3換元積分法4.3換元積分法4.3.1第一類換元積分法(湊微分法)例1求 ．分析：已知 ，若將2x變?yōu)閡，則由 便可將原積分變出 這種可套用公式的形式．這種方法就叫湊微分法．解令 ，則 ， ，于是定理1(第一類換元積分法，也叫湊微分法)設(shè)F(u)是f(u)的一個原函數(shù)，函數(shù) 可微，則證利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式驗(yàn)證，因?yàn)樗裕?求 ．解設(shè) ，則， ， 于是原式當(dāng)運(yùn)算熟練后，不必寫出設(shè)u的過程．例3求 ．解,.,例4求 ．解例5求 ．解例6求 ．解例8求 ．例7求 ．解解結(jié)論：類似地，有例9求 ．解例10求 ．解例12求 ．解例11

求解

例12

求解

二、第二類換元積分法定理2(第二類換元積分法)設(shè) ，且 .又 設(shè)具有原函數(shù) ，則其中 是 的反函數(shù)．1.根式代換法例13求 ．解令 ，則， , 于是，

例12—例13的解題方法稱為根代換法,一般地說，應(yīng)用根代換積分時(shí)適用于如下情形：例14

求解axt例15

求解axt例16

求解axt例14—例16中的解題方法稱為三角代換法或三角換元法.

一般的說，應(yīng)用三角代換法求積分時(shí)適用于如下情形：補(bǔ)充的積分公式：解原式 習(xí)題4.41．在下列各式的橫線上填上適當(dāng)?shù)南禂?shù),使等式成立．(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ． (6) ．例16求 ．2．求下列不定積分．(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ． (6) ．(7) ． (8) ．(9) ． (10) ．(11) ． (12) ．(13) ． (14) ．(15) ．4.4分部積分法4.4分部積分法由函數(shù)乘積的微分法得：對等式兩邊積分，得即移項(xiàng)得或公式(1)或公式(2)稱為分部積分公式

.

三、分部積分法例1求 ．解如果按下面的方法計(jì)算將使積分變得越來越復(fù)雜：則其中的 比原積分更為復(fù)雜．注意：

使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x擇u和v.選

u、湊

dv

的法則是:

冪指進(jìn)指、冪弦進(jìn)弦;

帶對留對、帶反留反;

指弦任選.即一般情況下，u與dv

按以下規(guī)律選擇例2

求解例3

求解例4求 ．解例5求 ．解例6求 ．解所以于是例6求 ．解例5求 ．解作變換 ，則 ， ．于是例8求 ．解在4.3.2的例12中，我們是令 來計(jì)算，得出例7求 ．現(xiàn)設(shè) ，則 ， .所以，習(xí)題4.41．求下列不定積分．(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ． (6) ．(7) ． (8) ．例1求不定積分 .解程序和結(jié)果如下:symsxy=int(x*exp(x),x)↙y=x*exp(x)-exp(x)例2求不定積分 .解程序和結(jié)果如下:symsxyy=int(1/(x*log(x)))y=

log(log(x))例3求不定積分 .解程序和結(jié)果如下:symsxyy=int(atan(x))y=x*atan(x)-1/2log(1+x^2)習(xí)題4.5用MATLAB求下列函數(shù)的不定積分.1. ． 2. ．3. ． 4. ．5. ． 6. ．復(fù)習(xí)題41．填空：（1）設(shè) ， ，則(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)若 ，則

2．選擇題：（1）可用湊微分法積分的為（）．A.B.C.D.（2）下列各式成立的有（）．A.B.C.D.（3）下列正確有效的變換為（）．A. ,把 變?yōu)? ．B. ,把 變?yōu)?．C