第四單元高考專攻二導(dǎo)數(shù)與不等式證明2025屆1在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時，我們可以把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，也常構(gòu)造函數(shù)，把不等式的證明問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值問題．01課堂突破

01課堂突破特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3典例1

(2023·新高考全國Ⅱ卷)證明：當(dāng)0＜x＜1時，x－x2＜sinx＜x.[解題指導(dǎo)]

分別構(gòu)建函數(shù)F(x)＝x－sinx，x∈(0，1)，G(x)＝x2－x＋sinx，x∈(0，1)→分別求導(dǎo)→利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性→最小值大于0→確定結(jié)論．特訓(xùn)點(diǎn)1移項(xiàng)構(gòu)造差函數(shù)證明不等式【師生共研類】證明：構(gòu)建函數(shù)F(x)＝x－sinx，x∈(0，1)，則F′(x)＝1－cosx＞0對?x∈(0，1)恒成立，則F(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，可得F(x)＞F(0)＝0，所以x＞sinx，x∈(0，1)．構(gòu)建函數(shù)G(x)＝sinx－(x－x2)＝x2－x＋sinx，x∈(0，1)，則G′(x)＝2x－1＋cosx，x∈(0，1)．構(gòu)建函數(shù)g(x)＝G′(x)，x∈(0，1)，則g′(x)＝2－sinx＞0對?x∈(0，1)恒成立，則g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，可得g(x)＞g(0)＝0，即G′(x)＞0對?x∈(0，1)恒成立，則G(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，可得G(x)＞G(0)＝0，所以sinx＞x－x2，x∈(0，1)．綜上所述，x－x2＜sinx＜x.

待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式．

…………………練能力學(xué)方法

特訓(xùn)點(diǎn)2分拆函數(shù)法證明不等式【師生共研類】

若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目的.本例中同時含lnx與ex，不能直接構(gòu)造函數(shù)，把指數(shù)與對數(shù)分離兩邊，分別計算它們的最值，借助最值進(jìn)行證明．已知函數(shù)f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；…………………練能力學(xué)方法

(2)當(dāng)a＝e時，證明：xf(x)－ex＋2ex≤0.

特訓(xùn)點(diǎn)3放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式【師生共研類】

導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中，最常見的是ex和lnx與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對于這類問題，可以考慮先對ex和lnx進(jìn)行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明．常見的放縮公式如下：(1)ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號；(2)lnx≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號．

…………………練能力學(xué)方法∴當(dāng)x∈(0，1)時，φ′(x)＜0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，φ′(x)＞0，∴φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)min＝φ(1)＝0，∴φ(x)≥0，∴f(x)≥φ(x)≥0，即f(x)≥0.(方法二)令g(x)＝ex－x－1，則g′(x)＝ex－1.當(dāng)x∈(－∞，0)時，g′(x)＜0，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0，∴g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)min＝g(0)＝0，故ex≥x＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取“＝”．同理可證lnx≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”．由ex≥x＋1得ex-1≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”)，由x－1≥lnx得x≥lnx＋1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”)