《高等數(shù)學（經(jīng)濟類）下冊 第2版》課件 10-4 反常二重積分_第1頁
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第十章二重積分第四節(jié)反常二重積分一、無界區(qū)域上的二重積分二、小結(jié)

在我們研究的二重積分都是在有界區(qū)域上或是被積函數(shù)是有界的，但是在實際應(yīng)用中有時會遇到積分區(qū)域或被積函數(shù)是無界的二重積分。因此，我們稱這樣的二重積分為反常二重積分。無界區(qū)域上的二重積分，它是在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中有廣泛應(yīng)用的一種積分形式，它的計算方法與一元函數(shù)的反常積分的方法類似。一般先在有界區(qū)域內(nèi)計算積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時取極限求解。如果極限存在則反常二重積分收斂，否則就發(fā)散。一、無界區(qū)域上的二重積分定義設(shè)D是xoy面上的無界區(qū)域，在D上連續(xù)且G是D上的任意一個有界閉區(qū)域。若G以任何方式無限擴展且趨于D時，均有極限

存在，則稱此極限值I為在無界區(qū)域D上的反常二重積分，并記為

此時稱在D上可積或反常二重積分收斂，否則，稱反常二重積分發(fā)散。例1求,其中D是整個xoy平面，并由此計算概率積分解：由于的原函數(shù)不是初等函數(shù)，則此二重積分在直角坐標系中無法計算，故在極坐標系下計算整個xoy平面用極坐標可表示為則有例1求,其中D是整個xoy平面，并由此計算概率積分解：則有而故令則注意:函數(shù)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中非常重要的一種密度函數(shù)—標準正太分布隨機變量的密度函數(shù)，如右圖由本例可知它在實數(shù)軸上的反常積分為1例2求反常二重積分,其中D是整個xoy平面.解：先在圓域內(nèi)考慮，此時當時，由于故原積分收斂，且當時，由于故原積分發(fā)散.解：由于被積函數(shù)僅在第一象限不為0，因此只需計算積分區(qū)域D在第一象限部分的二重積分即可，如右圖例3設(shè)二元函數(shù)，計算反常二重積分，其中積分區(qū)域D是部分無界區(qū)域.例3設(shè)二元函數(shù)，計算反常二重積分，其中積分區(qū)域D是部分無界區(qū)域.

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