工程數(shù)學

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數(shù)第一章目錄函數(shù)的概念01函數(shù)的性質(zhì)02初等函數(shù)03初步認識MATLAB04CONTENTS

第一節(jié)函數(shù)的概念010101一、函數(shù)的定義定義1.1.1設D是一個給定的非空數(shù)集,如果對于任意一個數(shù)x∈D,按照某一個對應法則f,實數(shù)集中總有唯一確定的元素y與之對應,則稱f為D上x到y(tǒng)的一個函數(shù),簡稱y是x的函數(shù),記作

y=f(x),x∈D式中,x為自變量;y為因變量;D為函數(shù)的定義域.定義域D就是自變量x的取值范圍,也就是使函數(shù)y=f(x)有意義的數(shù)集.當x取遍D中的一切數(shù)時,對應的函數(shù)值f(x)的全體所構(gòu)成的集合{yy=f(x),x∈D}稱為函數(shù)的值域,一般用Rf或f(D)表示.注意:函數(shù)的定義域與對應法則稱為函數(shù)的兩要素,兩個函數(shù)相同的充分必要條件是它們的定義域和對應法則均相同01二、函數(shù)的定義域與函數(shù)值

0101表示函數(shù)的方法主要有三種:列表法、圖像法和解析法.列表法是將自變量的值與對應的函數(shù)值列成表格來表示兩個變量函數(shù)關系的方法,如三角函數(shù)表、對數(shù)表等.圖像法是用圖像表示兩個變量x與y之間的函數(shù)關系的方法.如圖1-2表示的就是函數(shù)f(x)=x+1的圖像.三、函數(shù)的表示方法0101定義1.1.2對于這樣一個函數(shù)

y=f(x),x∈D,y∈Z若對于任意一個y∈Z,D中只有一個x值與之相對應,這就確定了一個以Z為定義域的函數(shù),這個函數(shù)就稱為y=f(x)的反函數(shù),記作x=f-1(y),y∈Z.按照習慣記法,x作自變量,y作因變量,因此y=f(x)的反函數(shù)x=f-1(y)可以記作y=f-1(x),x∈Z.由反函數(shù)的定義知,反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域,反函數(shù)的值域為原函數(shù)的定義域.若函數(shù)y=f(x)具有反函數(shù),這就意味著,它的定義域D與值域Z之間按照對應法則f建立了一一對應的關系,且反函數(shù)y=f-1(x)與y=f(x)的圖像關于y=x對稱.四、反函數(shù)01第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)0202

定義1.2.1設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個不為零的數(shù)T,對于D內(nèi)任意的x,都有f(x+T)=f(x)成立,則稱f(x)為周期函數(shù),稱T為它的一個周期.

若T是函數(shù)的一個周期,則nT(n為非零整數(shù))也是它的周期.通常稱周期中的最小正周期為周期函數(shù)的周期,顯然函數(shù)y=sinx和y=cosx的周期都是2π,函數(shù)y=tanx的周期是π.

注意:并非每個周期函數(shù)都有最小正周期.例如,常數(shù)函數(shù)為周期函數(shù),任意非零實數(shù)為其周期,無最小正周期.

例1.2.1設f(x)=cos(x-1),指出函數(shù)f(x)的周期.

解因為f(x+2π)=cos(x+2π-1)=cos(x-1)=f(x),所以f(x)的周期為2π.一、周期性二、有界性02

定義1.2.2設函數(shù)的定義域為D,數(shù)集X?D,若存在正數(shù)M,使得對任意的x∈X,都有f(x)≤M(可以沒有等號),則稱f(x)是X上的有界函數(shù),否則稱f(x)是X上的無界函數(shù).也就是說,如果對于任何正數(shù)M,總存在x1∈X,使得|f(x1)|>M,那么f(x)是X上的無界函數(shù).

從定義中我們可以看出,有界函數(shù)的圖像必介于兩條平行于x軸的直線y=M和y=-M之間.

例如,函數(shù)y=sinx在它的定義域(-∞,+∞)內(nèi)始終都有|sinx|≤1.于是根據(jù)有界函數(shù)的定義可知,函數(shù)y=sinx在它的定義域內(nèi)是一個有界函數(shù).三、單調(diào)性02

定義1.2.3設函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有定義,若對于D中的任意兩點x1,x2,當x1<x2時,恒有

(1)f(x1)≤f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上單調(diào)增加,稱f(x)為D上的單調(diào)增函數(shù).區(qū)間D稱為f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

(2)f(x1)≥f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上單調(diào)減少,稱f(x)為D上的單調(diào)減函數(shù).區(qū)間D稱為f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

特別地,如果不等式f(x1)<f(x2)成立,則稱f(x)為D上的嚴格增函數(shù).如果不等式f(x1)>f(x2)成立,則稱f(x)為D上的嚴格減函數(shù).

例如,如圖1-4所示,函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0]內(nèi)是單調(diào)減少的,在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的,在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)不是單調(diào)的.如圖1-5所示,函數(shù)f(x)=x3在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的.0202四、奇偶性第三節(jié)初等函數(shù)0303一、基本初等函數(shù)(一)常數(shù)函數(shù)y=C(C為常數(shù)),x∈(-∞,+∞)常數(shù)函數(shù)如圖1-6所示.(二)冪函數(shù)03(三)指數(shù)函數(shù)03(四)對數(shù)函數(shù)03(五)三角函數(shù)圖1-1303(六)反三角函數(shù)03

定義1.3.1已知兩個函數(shù)

y=f(u),u∈D1,y∈Z1

u=φ(x),x∈D2,u∈Z2

則函數(shù)y=f[φ(x)]是由函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)經(jīng)過復合而成的復合函數(shù).其中,通常稱f(u)為外層函數(shù),φ(x)為內(nèi)層函數(shù),u為中間變量.復合函數(shù)可以由兩個函數(shù)復合而成,也可以由多個函數(shù)復合而成.

例如,函數(shù)y=ecosx是由y=f(u)=eu,u=φ(x)=cosx這兩個函數(shù)復合而成的.

復合函數(shù)是一個函數(shù),為了研究需要,今后經(jīng)常要將一個給定的函數(shù)看成由若干個基本初等函數(shù)復合而成的形式,從而將它分解為若干個基本初等函數(shù).二、復合函數(shù)和初等函數(shù)03第四節(jié)初步認識MATLAB0404

20世紀70年代,美國新墨西哥大學的CleveMoler為了減輕學生編程的負擔,用FORTRAN編寫了MATLAB.1984年,MathWorks公司正式將MATLAB推向市場.到20世紀90年代,MATLAB已成為國際上流行的標準計算軟件.

現(xiàn)在MATLAB是美國MathWorks公司旗下的商業(yè)數(shù)學軟件,廣泛應用于數(shù)據(jù)分析、無線通信、深度學習、圖像處理與計算機視覺、信號處理、量化金融與風險管理、機器人、控制系統(tǒng)等領域.

MATLAB以矩陣作為數(shù)據(jù)操作的基本單位,提供了十分豐富的數(shù)值計算函數(shù)和強大的繪圖功能,而且簡單易學、編程效率高.掌握MATLAB對數(shù)學學習和數(shù)學模型的建立有很大的幫助.本書主要介紹MATLAB在數(shù)學中的一些簡單應用.一、MATLAB簡介04

變量和關鍵字是MATLAB編程中最基本的兩個概念,它們是構(gòu)成MATLAB表達式的常見元素.MATLAB變量是在程序運行中值可以改變的量,變量由變量名來表示.

在MATLAB中有一類特殊的變量,是由系統(tǒng)默認給定符號來表示的.例如,pi,它代表圓周率π這個常數(shù),即3.1415926…,這類變量類似于C語言中的符號常量,有時又稱為系統(tǒng)預定義的變量.

二、變量、常量與函數(shù)04

MATLAB算術運算符包括:+加法;-減法;?乘法;/和\除法;^冪運算;命令分隔符,逗號和;分號.

關系運算符是指兩數(shù)值或字符操作數(shù)之間的運算符,這種運算將根據(jù)兩操作數(shù)的關系產(chǎn)生結(jié)果true或false.MATLAB中的關系運算符有6個

關系運算符可以用來對兩個數(shù)值、兩個數(shù)組、兩個矩陣或兩個字符串等數(shù)據(jù)類型進行比較,同樣也可以進行不同類型的兩個數(shù)據(jù)之間的比較.比較的方式根據(jù)所比較的兩個數(shù)據(jù)類型的不同而不同.關系運算符通過比較對應的元素,產(chǎn)生一個僅包含1和0的數(shù)值或矩陣.返回值是1表示比較結(jié)果是真,返回值是0表示比較結(jié)果是假.

邏輯運算符是聯(lián)系一個或兩個邏輯操作數(shù)并能產(chǎn)生一個邏輯結(jié)果的運算符.MATLAB支持4種邏輯運算,分別是與、或、非、異或,其中:與、或和非運算既可以使用邏輯運算符,也可以使用邏輯運算函數(shù);異或運算只能使用邏輯運算函數(shù)三、關系運算04MATLAB可以進行代數(shù)式的運算,要先用符號對象來建立代數(shù)式.查找符號表達式中的符號變量:findsym(expr)%按字母順序列出符號表達式expr中的所有符號變量.findsym(expr,N)%按順序列出expr中離x最近的N個符號變量.因式分解:symsx;f=x^6+1;factor(f).函數(shù)展開:symsx;f=(x+1)^6;expand(f).合并同類項:collect(f,v)%按指定變量v進行合并.函數(shù)簡化:[How,y]=simple(f)%為f的最簡短形式,How中記錄的為簡化過程中使用的方法.四、代數(shù)式運算THANKS謝謝觀看工程數(shù)學

極限與連續(xù)第二章目錄數(shù)列的極限01函數(shù)的極限02極限運算與兩個重要極限03無窮大與無窮小04CONTENTS

函數(shù)的連續(xù)性05函數(shù)的連續(xù)性06用MATLAB求極限07第一節(jié)數(shù)列的極限01一、數(shù)列極限的定義01

定義2.1.1如果按照某一法則,對每個n∈N+,都對應著一個確定的實數(shù)an,那么這些實數(shù)an按照下標n從小到大排列得到的一個序列a1,a2,a3,a4,…,an,…稱為數(shù)列,記作數(shù)列{an}.數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的項,第n項an稱為數(shù)列的通項(或一般項),表示通項的公式稱為通項公式.例如,數(shù)列1,3,5,…,2n-1,…的一個通項公式是2n-1.

定義2.1.2如果當無窮數(shù)列{an}的項數(shù)n無限增大時,an無限趨近于一個確定的常數(shù)A,那么A就稱為數(shù)列{an}的極限,或稱數(shù)列{an}收斂于A.記作

01二、數(shù)列極限的運算法則

下面介紹數(shù)列極限的運算法則,利用這些法則可以求某些復雜的數(shù)列的極限.第二節(jié)函數(shù)的極限02一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限02

現(xiàn)在考慮自變量x的變化過程為x→x0.如果在x→x0的變化過程中,對應的函數(shù)值f(x)無限接近于確定的數(shù)值A,那么就說A是f(x)當x→x0時的極限.下面給出自變量趨于有限值時函數(shù)的極限的定義.

定義2.2.1設函數(shù)y=f(x)在x0的某空心鄰域內(nèi)有定義,如果當x無限趨近于x0時,函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當x→x0時的極限,記作注意:在自變量趨于有限值時函數(shù)的極限的定義中,y=f(x)不需要在x0處有定義,x只需無限趨近于x0即可,不一定要達到.02

定義2.2.2如果當

時,函數(shù)f(x)的值無限趨近于一個確定的常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)在x→x0時的左極限(右極限),記作注意:在考慮單側(cè)極限時,應注意x→x0的趨近方向.當02二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義2.2.3如果當x→∞時,對應的函數(shù)值f(x)無限趨近于常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當x→∞時的極限,記作注意:x→∞表示x→+∞、x→-∞兩種情況.但有的時候x的變化趨勢只能取這兩種變化中的一種情況.下面給出當x→+∞或x→-∞時函數(shù)f(x)極限的定義.定義2.2.4如果當x→+∞(x→-∞)時,函數(shù)f(x)的值無限趨近于一個確定的常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當x→+∞(x→-∞)時的極限,記作注意到x→∞意味著同時考慮x→+∞和x→-∞,可以得到下面的結(jié)論:第三節(jié)極限運算與兩個重要極限0303一、極限的四則運算法則

上一節(jié)討論了函數(shù)極限的定義,下面我們介紹極限的運算法則,利用這些法則可以求一些復雜函數(shù)的極限.03二、兩個重要極限03第四節(jié)無窮大與無窮小0404一、無窮小04二、無窮大如果當x→x0(x→∞)時,對應的函數(shù)值的絕對值f(x)可以大于預先指定的任何很大的正數(shù)M,那么就稱函數(shù)f(x)是當x→x0(x→∞)時的無窮大.0404三、無窮小與無窮大的關系04四、無窮小的比較

通過無窮小的性質(zhì)可以知道,兩個無窮小的和、差、積還是無窮小.但是,關于兩個無窮小的商,卻會出現(xiàn)不同的情況.例如,當x→0時,sinx,3x,x2都是無窮小,而第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性0505一、函數(shù)的連續(xù)性的定義0505二、間斷點第六節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)0606一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性06二、復合函數(shù)的連續(xù)性06三、初等函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)2.6.3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.06四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)2.6.4(有界性與最大值最小值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么函數(shù)f(x)在[a,b]上一定有最大值與最小值.如圖2-4所示,函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在x1和x2,使得當x∈[a,b]時,f(x1)≥f(x),f(x2)≤f(x)恒成立,則f(x1)和f(x2)分別稱為函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值.x1、x2稱為最大值點和最小值點.06

性質(zhì)2.6.5(介值定理)如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且在兩端點取不同的函數(shù)值f(a)=A和f(b)=B,C是A和B之間的任一實數(shù),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f(ξ)=C.如圖2-6所示.

推論(零點定理)設函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號,即f(a)·f(b)<0,則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f(ξ)=0.如圖2-7所示.06性質(zhì)2.6.3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.第七節(jié)用MATLAB求極限0707MATLAB中主要用limit求函數(shù)的極限,常用的命令如表2-1所示.THANKS謝謝觀看工程數(shù)學

導數(shù)與微分第三章目錄導數(shù)的概念01初等函數(shù)的導數(shù)02高階導數(shù)03隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)04CONTENTS

05函數(shù)的微分微分中值定理0607洛必達法則函數(shù)的單調(diào)性與極值0809函數(shù)的凹凸性與拐點10MATLAB中導數(shù)的計算導數(shù)的概念0101一、兩個經(jīng)典問題(一)切線斜率問題

已知曲線方程為y=f(x),試求出過曲線上點M(x0,y0)處的切線斜率.如圖3-1所示,建立直角坐標系,在曲線y=f(x)上取鄰近于M(x0,y0)的點N(x0+Δx,y0+Δy),過M,N兩點的直線MN稱為曲線y=f(x)的割線.當Δx→0時,點N沿著曲線y=f(x)趨向于點M,割線MN繞點M轉(zhuǎn)動并趨向于極限位置直線MT,直線MT稱為曲線y=f(x)在點M的切線,割線MN的傾角為φ,切線MT的傾角為α,割線MN的斜率kMN為01

(二)變速直線運動的瞬時速度問題

已知物體做變速直線運動,位移方程為s=s(t),要確定該物體在時刻t0的運動速度v(to).可取鄰近于時刻t0的時刻t=t0+Δt,在Δt時間內(nèi),物體走過的路程為物體運動的平均速度為

若時間間隔較短,比值可用來說明動點在時刻t0的近似速度.顯然,Δt越小,近似程度越高.令Δt→0,平均速度v的極限就是動點在時刻t0的速度極限值v(t0)稱為動點在時刻t0的(瞬時)速度.01二、導數(shù)的定義

由以上分析知,瞬時速度問題和切線斜率問題可以抽象出一個統(tǒng)一的數(shù)學形式:

這就得出了導數(shù)的概念.

定義3.1.1設函數(shù)y=f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義,當x在x0處有增量Δx時,相應的函數(shù)有增量

如果極限存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,此極限值為y=f(x)在x0處的導數(shù),記作即01三、可導與連續(xù)的關系

定理3.1.2如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,則函數(shù)在該點必連續(xù).證若函數(shù)y=f(x)在點x0處有導數(shù)f′(x0),則

其中,函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).故可導的函數(shù)一定連續(xù),但是反之不成立.

例如例3.1.3,函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導,但是在x=0處連續(xù).故連續(xù)函數(shù)不一定可導.01四、導數(shù)的幾何意義

由切線問題的討論知(見圖3-1),函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點M(x0,f(x0))處的切線的斜率,即曲線在點M(x0,f(x0))處的切線方程為曲線在點M(x0,f(x0))處的法線方程為(1)如果f′(x0)=∞,則曲線y=f(x)在點M(x0,f(x0))處有垂直于x軸的切線x=x0;(2)如果f′(x0)=0,則曲線y=f(x)在點M(x0,f(x0))處有平行于x軸的切線y=f(x0)初等函數(shù)的導數(shù)02一、導數(shù)的四則運算法則02由上節(jié)導數(shù)的定義可以得出導數(shù)的四則運算法則.定理3.2.1設函數(shù)f(x),g(x)都在x處可導,則有注意:定理3.2.1中的(1)和(2)能推廣到任意有限個導函數(shù)的情形.例如,三個函數(shù)u(x),v(x),w(x)進行導數(shù)的四則運算的情況為二、反函數(shù)的求導法則02

定理3.2.2如果函數(shù)x=f(y)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)、可導且f(y)≠0,則它的反函數(shù)y=f-1(x)在區(qū)間[c,d]={xx=f(y),y∈[a,b]}內(nèi)可導,且三、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式02綜合前面所學,我們有如下基本初等函數(shù)的導數(shù)公式:第三節(jié)高階導數(shù)0303

定義3.3.1如果函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y′=f′(x)仍為x的可導函數(shù),則y′=f′(x)的導數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的二階導數(shù),記作,即

依此類推,可知二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),n-1階導數(shù)的導數(shù)稱為n階導數(shù),分別記作

函數(shù)f(x)在某點x0處的二階導數(shù),記作第四節(jié)隱函數(shù)和由參數(shù)方程

所確定的函數(shù)的導數(shù)0404一、隱函數(shù)求導的方法

設F(x,y)=0確定了一個一元隱函數(shù)y=y(x),將y=y(x)代入F(x,y)=0,得u=F[x,y(x)]=0,則

在恒等式F[x,y(x)]≡0兩邊對x求導,當遇到y(tǒng)的函數(shù)f(y)時,需要求若

記z=f(y),則

將求出的這些導數(shù)代入方程中,得到關于的代數(shù)方程,從中解得即為所求.二、對數(shù)求導法04

先在方程兩邊取對數(shù),再對所得式兩邊分別求導即可.冪指函數(shù)y=uv(u>0),如果u=u(x),v=v(x)都可導,那么也可以用對數(shù)求導法求出冪指函數(shù)的導數(shù).

解法一先在兩邊取對數(shù),得lny=v·lnu.兩邊對x求導,注意y,u,v是x的函數(shù),得

解法二將y=uv,(u>0)化為y=evlnu,則一般形式的冪指函數(shù),可以用對數(shù)求導法來求冪指函數(shù)的導數(shù).三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)04參數(shù)方程,表示y與x間的函數(shù)關系如果函數(shù)x=φ(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=φ-1(x),且反函數(shù)能與函數(shù)y=ψ(t)構(gòu)成復合函數(shù),函數(shù)x=φ(t),y=ψ(t)可導,則根據(jù)復合函數(shù)的求導法則與反函數(shù)的求導法則,得即第五節(jié)函數(shù)的微分0505一、微分的定義

設函數(shù)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可以表示為

其中A是不依賴Δx的常數(shù),那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0處是可微的,AΔx稱為函數(shù)y=f(x)在點x0相對于自變量增量Δx的微分,記作dy,即dy=AΔx.

函數(shù)在點x0可微的充分必要條件是函數(shù)在x0可導,并且dy=f′(x0)Δx,Δy=dy+o(α),稱dy是Δy的線性主部.05

因為dy=f′(x0)Δx是Δx的線性函數(shù),所以在f′(x0)≠0的條件下,就說dy是Δy的線性主部,Δy≈dy.自變量x的微分,記作dx,即dx=Δx.函數(shù)y=f(x)在x0處的微分記為dy=f′(x0)dx.

函數(shù)y=f(x)在x處的微分記為dy=f′(x)dx.從而有

,函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商等于該函數(shù)的導數(shù),所以導數(shù)又叫微商.05

設函數(shù)y=f(x)在x處可微,函數(shù)y=f(x)的圖形是一條曲線,M(x0,y0)是曲線y=f(x)的一點,Δy是曲線y=f(x)的點M(x0,y0)的縱坐標的增量.N(x0+Δx,y0+Δy)是鄰近M的一點,dy是曲線在M(x0,y0)的切線上點的縱坐標的增量,當Δx很小時,Δy-

dy比dy的值小得多,Δy≈dy,因此用切線段MP近似代替曲線段MN,如圖3-3所示.二、微分的幾何意義05三、基本初等函數(shù)的微分公式05四、微分的四則運算法則由微分的定義可以得到微分的四則運算法則:(1)d[f(x)±g(x)]=df(x)±dg(x)=[f′(x)±g′(x)]dx;(2)d[f(x)·g(x)]=g(x)df(x)+f(x)dg(x)=[f′(x)g(x)+f(x)g′(x)]dx,特別地,d[Cf(x)]=Cd[f(x)]=Cf′(x)dx;05五、復合函數(shù)的微分法則設y=f(u)及u=g(x)都可導,則復合函數(shù)y=f[g(x)]的微分

dy=yx′dx=f′(u)g′(x)dx而g′(x)dx=du,因此,復合函數(shù)y=f[g(x)]的微分公式還寫成

dy=f′(u)du,或dy=yu′du無論u是自變量還是另一個變量的可微函數(shù),微分形式dy=f′(u)du都保持不變,稱為微分形式不變性.05六、微分在近似計算中的應用

在工程計算中,經(jīng)常會遇到一些復雜的計算公式,利用微分能將一些復雜的計算公式用簡單的近似公式代替.

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)≠0,則有Δy≈dy=f′(x0)Δx.即或05六、微分在近似計算中的應用

在工程計算中,經(jīng)常會遇到一些復雜的計算公式,利用微分能將一些復雜的計算公式用簡單的近似公式代替.

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)≠0,則有Δy≈dy=f′(x0)Δx.即或

在式(3.5.2)中,令Δx=x-x0,那么式(3.5.2)就寫成05

如果f′(x0)與f(x0)都容易計算,那么就能利用式(3.5.1)近似計算Δy,用式(3.5.2)近似計算f(x0+Δx),用式(3.5.3)近似計算f(x).此近似計算的實質(zhì)就是用x的線性函數(shù)f(x0)+f′(x0)(x-x0)近似表達函數(shù)f(x).其幾何意義是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處附近的切線段近似等于該曲線在點(x0,f(x0))處附近的曲線段.

在式(3.5.3)中,令x0=0,得f(x)≈f(0)+f′(0)x(|x|很小).由此得幾個在工程上常用的近似公式:第六節(jié)微分中值定理0606一、羅爾定理

定理3.6.1(費馬引理)設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,并且在x0處可導,如果對任意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),那么f′(x0)=0.

定理3.6.2(羅爾定理)如果函數(shù)y=f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;(3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b).

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ(a<ξ<b),使得f′(ξ)=0.幾何意義:如果在兩端高度相同的連續(xù)曲線y=f(x)上,除端點外,處處具有不垂直于x軸的切線,那么曲線上至少存在一點C,使曲線在點C處的切線平行于x軸,如圖3-4所示.注意:羅爾定理的三個條件缺一不可,否則結(jié)論不真.06二、拉格朗日中值定理定理3.6.3(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)y=f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ(a<ξ<b),使得等式

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立.我們把上式改寫成來研究定理的幾何意義.幾何意義:如果在連續(xù)曲線y=f(x)上,除端點外,處處具有不垂直于x軸的切線,那么曲線上至少存在一點C,使曲線在點C處的切線平行于AB,如圖3-5所示.f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)稱為拉格朗日中值公式.這個公式對于f(b)<f(a)也成立.作為拉格朗日中值定理的應用,有如下推論.06推論如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零,那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù).證在區(qū)間I上任取兩點x1,x2(x1<x2),應用拉格朗日中值定理,得由f′(ξ)=0,得f(x2)-f(x1)=0,即f(x1)=f(x2).因為x1,x2是I上任意兩點,所以上面的等式表明f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的,這就是說,f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù).第七節(jié)洛必達法則0707

07

07

07二、其他類型的未定式

第八節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值0808一、函數(shù)單調(diào)性的判定法

如圖3-6所示,如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加(減少),那么它的圖形是一條沿x軸正向上升(下降)的曲線.這時曲線的各點處的切線斜率是非負的(是非正的),即y′=f′(x)≥0[y′=f′(x)≤0].由此可見,函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號有著密切的關系.08反過來,能否用導數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性呢?定理3.8.1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導.(1)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;(2)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.注意:判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間08二、函數(shù)的極值及其求法(一)極值的定義

定義3.8.1設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0∈(a,b).如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)<f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值,x0稱為函數(shù)的極大值點;如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)>f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值,x0稱為函數(shù)的極小值點.下面通過圖3-7所示的函數(shù)圖像來理解08

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點.

函數(shù)的極大值和極小值是函數(shù)的局部性質(zhì).如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值,那也只是就x0附近的一個局部范圍來說,f(x0)是最大的,就f(x)的整個定義域來說,f(x0)不一定是最大的.極小值的局部性質(zhì)也是類似的.08(二)極值與水平切線的關系

在可導函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值.

定理3.8.2(必要條件)設函數(shù)f(x)在點x0處可導,且在x0處取得極值,那么這個函數(shù)在x0處的導數(shù)為零,即f′(x0)=0.

定義3.8.2使導數(shù)為零的點,即方程f′(x0)=0的實根,稱為函數(shù)f(x)的駐點.

就是說:可導函數(shù)f(x)的極值點必定是函數(shù)的駐點.但反過來,函數(shù)f(x)的駐點卻不一定是極值點,如函數(shù)f(x)=x3在x=0處的情況.08三、極值的充分條件定理3.8.3(第一充分條件)設函數(shù)f(x)在x0連續(xù),且在x0的某去心鄰域(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ)內(nèi)可導.(1)如果在(x0-δ,x0)內(nèi)f′(x)>0,在(x0,x0+δ)內(nèi)f′(x)<0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值(見圖3-8);(2)如果在(x0-δ,x0)內(nèi)f′(x)<0,在(x0,x0+δ)內(nèi)f′(x)>0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值(見圖3-9);(3)如果在(x0-δ,x0)及(x0,x0+δ)內(nèi)f′(x)的符號相同,那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值(見圖3-10).08定理3.8.3也可簡單地這樣說:當x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過x0時,如果f′(x)的符號由正變負,那么f(x)在x0處取得極大值;如果f′(x)的符號由負變正,那么f(x)在x0處取得極小值;如果f′(x)的符號并不改變,那么f(x)在x0處沒有極值.確定極值點和極值的步驟:(1)求出函數(shù)的定義域;(2)求出導數(shù)f′(x);(3)求出f(x)的全部駐點和不可導的點;(4)列表判斷,考察f′(x)的符號在每個駐點和不可導的點的左右鄰近處的情況,以便確定該點是否是極值點.如果是極值點,則要按定理3.8.3確定對應的函數(shù)值是極大值還是極小值;(5)確定函數(shù)的所有極值點和極值.08定理3.8.4(第二充分條件)設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,那么(1)當f″(x0)<0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)當f″(x0)>0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.定理3.8.4表明,如果函數(shù)f(x)在駐點x0處的二階導數(shù)f″(x0)≠0,那么x0一定是極值點,并且可以通過二階導數(shù)f″(x0)的符號來判定f(x0)是極大值還是極小值.但如果f″(x0)=0,則定理3.8.4就不適用.第九節(jié)函數(shù)的凹凸性與拐點0909定義3.9.1設f(x)在區(qū)間I上連續(xù),如果對I上任意兩點x1,x2,恒有一、凹凸性的概念那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧).定義3.9.2設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù),如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的上方,則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的;如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的下方,則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的.09定理3.9.1如圖3-11所示,設f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)和(b,c)內(nèi)具有一階和二階導數(shù),則(1)若在(b,c)內(nèi)f″(x)>0,則f(x)在[b,c]上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f″(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的.二、凹凸性的判定09定義3.9.3連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點.定理3.9.2(拐點存在的必要條件)若函數(shù)f(x)在點x0二階可導,且點(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點,則f″(x0)=0.定理3.9.3(拐點存在的充分條件)設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且二階可導[f(x0)或f″(x0)可以不存在],若在x0的左、右鄰域內(nèi),f″(x0)的符號相反,則點(x0,f(x0))是曲線的拐點.確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟:(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域;(2)求出二階導數(shù)f″(x);(3)求使二階導數(shù)為零的點和使二階導數(shù)不存在的點;(4)列表判斷,確定曲線凹凸區(qū)間和拐點三、曲線的拐點第十節(jié)MATLAB中導數(shù)的計算1010MATLAB中微分運算常用命令如表3-7所示.三、曲線的拐點表3-7MATLAB中微分運算的常用命令THANKS謝謝觀看工程數(shù)學

積

分第四章目錄不定積分的概念與性質(zhì)01基本積分公式和直接積分法02換元積分法03分部積分法04CONTENTS

定積分的概念及性質(zhì)05定積分的基本公式06定積分的換元法與分部積分法07廣義積分08定積分的應用09利用MATLAB計算定積分10第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)01一、原函數(shù)

定義4.1.1設函數(shù)F(x)和f(x)在區(qū)間I上有定義,若對?x∈I,有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù).

例如,因為(sinx)′=cosx,所以sinx是cosx在區(qū)間(-∞,+∞)上的一個原函數(shù).又如,因為(x3)′=3x2,所以x3是3x2在區(qū)間(-∞,+∞)上的一個原函數(shù).可以看出,求已知函數(shù)f(x)的原函數(shù)就是找到這樣一個函數(shù)F(x),使得F′(x)=f(x).

研究原函數(shù),需要解決兩個問題:在什么條件下,函數(shù)的原函數(shù)存在?如果存在,那么是否只有一個?0101

定理4.1.1(原函數(shù)存在定理)若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),則它在該區(qū)間上存在原函數(shù).

由于初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上是連續(xù)的,由定理4.1.1知,每個初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù).

設C是任意常數(shù),因為(x3+C)′=3x2,所以x3+C也是3x2的原函數(shù).C每取定一個實數(shù),就得到3x2的一個原函數(shù),從而3x2有無窮多個原函數(shù).由此可見,若一個函數(shù)存在原函數(shù),那么它的原函數(shù)是不唯一的.

原函數(shù)有如下特性:

(1)若函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù),則函數(shù)族F(x)+C(C為任意常數(shù))也是函數(shù)f(x)的原函數(shù);

(2)函數(shù)f(x)的任意兩個原函數(shù)之間僅相差一個常數(shù).

上述特性表明,若函數(shù)f(x)有原函數(shù),則它必有無窮多個原函數(shù),若函數(shù)F(x)是其中一個,則這無窮多個都可以寫成F(x)+C的形式.二、不定積分的概念01

定義4.1.2函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分,記作∫f(x)dx,其中符號∫為積分號,f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達式,x稱為積分變量.

由定義4.1.2可知,f(x)的不定積分是f(x)的全體原函數(shù),是一族函數(shù).即若F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù),則∫f(x)dx=F(x)+C,其中,C為任意常數(shù),稱為積分常數(shù).三、不定積分的幾何意義01

從幾何上看,函數(shù)f(x)的任意一個原函數(shù)F(x)的圖形是一條曲線.因此,不定積分

是一族曲線,稱為函數(shù)f(x)的積分曲線族.這一族積分曲線可以由其中任一條沿著y軸平行移動而得到.在每一條積分曲線上橫坐標相同的點x處做切線,切線互相平行,其斜率都是f(x)(見圖4-1).四、不定積分的性質(zhì)01性質(zhì)4.1.1求不定積分與求導數(shù)(或微分)互為逆運算.也就是說,不定積分的導數(shù)(或微分)等于被積函數(shù)(或被積表達式),例如對一個函數(shù)的導數(shù)(或微分)求不定積分,其結(jié)果與此函數(shù)僅相差一個積分常數(shù),例如性質(zhì)4.1.2被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子k可以提到積分符號的前面,即性質(zhì)4.1.3兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于它們不定積分的代數(shù)和,即上式可以推廣到任意有限多個函數(shù)的代數(shù)和的情形,即第二節(jié)基本積分公式和

直接積分法02一、基本積分公式0201

不定積分與求導互為逆運算,因而可以由導數(shù)的基本公式對應地得到不定積分的基本公式.二、直接積分法02

在求積分問題時,直接用基本積分公式進行計算或者利用不定積分的運算性質(zhì),先將被積函數(shù)進行適當?shù)暮愕茸冃?包括代數(shù)變換和三角變換),再代入基本積分公式,便可求出一些函數(shù)的不定積分,通常把這種求不定積分的方法稱為直接積分法.第三節(jié)換元積分法03一、第一類換元積分法03

定理4.3.1(第一類換元積分法)設函數(shù)u=φ(x)可導,若則

式(4.3.1)稱為不定積分的第一類換元積分公式.利用第一類換元積分公式計算不定積分的方法稱為第一類換元積分法.

第一類換元積分法的關鍵是要能從被積函數(shù)中分離出因式φ′(x),使φ′(x)與dx結(jié)合湊成微分dφ(x).因此也稱此換元積分法為湊微分法.可以形象地用公式表示為二、第二類換元積分法03

第一類換元積分法是將不定積分通過φ(x)=u變換成不定積分.但有時也可以將公式反過來使用,如果不定積分不易直接應用基本積分公式計算,那么我們可以通過變量代換,令x=φ(t),將其化為比較容易計算的不定積分,這就是第二類換元積分法定理4.3.2(第二類換元積分法)設函數(shù)f(x)連續(xù),x=φ(t)具有連續(xù)的導數(shù)φ′(t),且φ′(t)≠0,t=φ-1(x)是其反函數(shù).若式(4.3.2)稱為不定積分的第二類換元積分公式.

第四節(jié)分部積分法0404

定理4.4.1設函數(shù)u=u(x),v=v(x)均具有連續(xù)的導數(shù),根據(jù)乘積的微分公式有d(uv)=udv+vdu,移項得udv=d(uv)-vdu,兩邊積分得這個公式稱為不定積分的分部積分公式.在使用時,應注意:(1)分部積分公式主要用來求解被積函數(shù)是兩類函數(shù)乘積的不定積分;下面舉例來說明其應用.第五節(jié)定積分的概念及性質(zhì)05一、曲邊梯形的面積05

由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0),直線x=a,x=b(a<b)及y=0(x軸)所圍成的平面圖形AabB稱為曲邊梯形,其中在x軸上的線段ab稱為曲邊梯形的底邊,曲線弧AB稱為曲邊梯形的曲邊,如圖4-5所示.

由于曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上是不斷變化的,因而它的面積不能由公式“面積=底×高”求得.如何計算它的面積呢?

為了計算曲邊梯形的面積,我們可以先將它分割成若干個小曲邊梯形,在小曲邊梯形中f(x)的變化很小,可以用相應的小矩形近似代替,用所有小矩形的面積之和可以近似代替整個曲邊梯形的面積.顯然,分割得越細,近似程度就越高,當無限細分時,所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值.

根據(jù)以上分析,我們按下面的方法求曲邊梯形的面積.05

(1)分割———分曲邊梯形為n個小曲邊梯形.

如圖4-6所示,在[a,b]上任取n-1個內(nèi)分點:a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b將區(qū)間[a,b]分割為n個小區(qū)間:[x0,x1],[x1,x2],…,[xi-1,xi],…,[xn-1,xn].

記每一小區(qū)間長度為Δxi=xi-xi-1,過分點xi(i=1,2,…,n-1)作x軸的垂線,將曲邊梯形AabB分割為n個小曲邊梯形,其中第i個小曲邊梯形的面積記為ΔAi(i=1,2,…,n).05

(2)近似代替———用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積.設ΔAi表示第i個小曲邊梯形的面積,則曲邊梯形AabB的面積為

.在每個小區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上任意取一點ξi,以Δxi為底邊,f(ξi)為高的小矩形面積f(ξi)Δxi近似代替小曲邊梯形的面積,則有ΔAi≈f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n),如圖4-6所示.05

(3)求和———求n個小矩形面積之和.

n個小矩形構(gòu)成的階梯形的面積和是原曲邊梯形面積的一個近似值,即(4)取極限———由近似值過渡到精確值.分割得越細,就越接近曲邊梯形的面積,若用來表示所有小區(qū)間中的最大區(qū)間長度,當分點數(shù)無限增大且λ→0時,和式的極限就是曲邊梯形AabB的面積A,即

曲邊梯形的計算步驟為:采取分割、近似代替、求和、取極限的方法,最后歸結(jié)為同一種結(jié)構(gòu)的和式的極限.事實上,很多實際問題的解決都可以采取這種方法,歸結(jié)為這種和式結(jié)構(gòu)的極限.現(xiàn)拋開問題的實際內(nèi)容,只從數(shù)量關系上的共性加以概括總結(jié),便得到了定積分的概念.二、定積分的概念05

定義4.5.1設函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,任取分點a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b將[a,b]分成n個小區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…,n).記Δxi=xi-xi-1(i=1,2,…,n)為區(qū)間長度,,并在每個小區(qū)間上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi),得出f(ξi)Δxi的和式.若λ→0時,和式的極限存在,且此極限值與區(qū)間[a,b]的分法及點ξi的取法無關,則稱這個極限值為函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分,記為,即05

這里稱f(x)為被積函數(shù),f(x)dx為被積表達式,x為積分變量,[a,b]為積分區(qū)間,a為積分下限,b為積分上限.若f(x)在[a,b]上的定積分存在,則稱其在[a,b]上可積.

根據(jù)定義4.5.1,上述兩個實例可以分別寫成如下定積分的形式:

曲邊梯形的面積A用定積分可以表示為

變速直線運動物體的路程可以表示為05

關于定積分的定義,有以下說明.

(1)定積分的值只與被積函數(shù)、積分區(qū)間有關,與積分變量的符號無關,即

(2)定義4.5.1中要求a<b,若a>b、a=b時有如下規(guī)定:即互換定積分的上、下限,定積分要變號;定積分的上下限相等,定積分為零.

(3)定積分是一個數(shù),不定積分是一個函數(shù)的原函數(shù)的全體.因此,定積分和不定積分是兩個完全不同的概念.

在怎樣的條件下,f(x)在[a,b]上的定積分一定存在呢?有下面的定理.05

定理4.5.1如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上可積.在有限區(qū)間上,函數(shù)連續(xù)是可積的充分條件,但不是必要條件.

如果f(x)在[a,b]上有界,且只有有限個間斷點,則f(x)在[a,b]上可積.由此可知,初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是可積的.

定理4.5.2如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]上有界.函數(shù)有界是可積的必要條件,無界函數(shù)一定不可積.05

在閉區(qū)間[a,b]上,若函數(shù)f(x)≥0,則曲邊梯形的圖形在x軸的上方,此時在幾何上表示由曲線y=f(x),直線x=a,x=b和x軸圍成的曲邊梯形的面積,積分值是正的,即,如圖4-7所示.特別地,在閉區(qū)間[a,b]上,若函數(shù)f(x)≡1,則在閉區(qū)間[a,b]上,若函數(shù)f(x)≤0,則曲邊梯形的圖形在x軸的下方,此時在幾何上表示由曲線y=f(x),直線x=a,x=b和x軸圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù),積分值是負的,即如圖4-8所示.三、定積分的幾何意義05在閉區(qū)間[a,b]上,若f(x)有正有負時,則積分值f(x)dx就表示曲線y=f(x)在x軸上方的面積減去x軸下方的面積,如圖4-9所示而曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的平面圖形的總面積為05四、定積分的性質(zhì)

設f(x),g(x)在[a,b]區(qū)間上可積,則根據(jù)定義可推證定積分有以下性質(zhì).

性質(zhì)4.5.1常數(shù)因子可直接提到積分符號前面,即

特別地,若函數(shù)f(x)≡1,則

性質(zhì)4.5.2代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和,即性質(zhì)4.5.3如果a<c<b,那么這一性質(zhì)稱為定積分的區(qū)間可加性,無論c∈[a,b],還是c?[a,b],性質(zhì)均成立.05

性質(zhì)4.5.4如果在[a,b]上有f(x)≥g(x),則注意:比較兩個定積分的大小,必須在同一積分區(qū)間上比較兩個被積函數(shù)的大小.

性質(zhì)4.5.5(估值定理)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值分別為M和m,則

性質(zhì)4.5.6(積分中值定理)設f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則至少存在一點ξ∈(a,b),使

幾何意義:設f(x)≥0,則由曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積等于以區(qū)間[a,b]為底,以f(ξ)為高的矩形abcd的面積(見圖4-13).通常稱

為f(x)在[a,b]上的平均值.第六節(jié)定積分的基本公式0606一、變上限積分函數(shù)

設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),x為[a,b]上的任意一點,則積分存在.當x在區(qū)間[a,b]上變化時,積分是上限x的函數(shù),稱為變上限的定積分,記作F(x).因為定積分與積分變量所用字母無關,為了避免混淆,將積分變量用t表示,即x∈[a,b].變上限定積分的幾何意義,用F(x)表示右側(cè)一邊可以變動的曲邊梯形的面積,F(x)隨著x的變化而變化,因而是x的函數(shù),如圖4-14所示.變上限積分函數(shù)有以下重要定理.06

定理4.6.1設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則變上限的定積分

在區(qū)間[a,b]上可導,且這說明F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù).由此可得到原函數(shù)存在定理.定理4.6.2若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則函數(shù)是函數(shù)f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù).這個定理既肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的,又初步揭示了定積分與原函數(shù)之間的關系.變上限積分函數(shù)的性質(zhì)不僅在證明微積分基本定理時有重要作用,在討論函數(shù)F(x)本身的性質(zhì)時也很重要.06二、牛頓-萊布尼茨公式

定理4.6.3如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且F(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù),則為了書寫方便,通常用

來表示F(b)-F(a),即

定理4.6.3稱為微積分基本定理,它揭示了定積分與不定積分之間的聯(lián)系.公式(4.6.1)稱為牛頓-萊布尼茨公式,它為定積分的計算提供了有效的方法.計算函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分,就是計算f(x)的任一原函數(shù)在[a,b]上的增量.從而將計算定積分轉(zhuǎn)化為求原函數(shù).第七節(jié)定積分的換元

法與分部積分法0707一、定積分的換元法

定理4.7.1設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),函數(shù)x=φ(t)在區(qū)間[α,β]上單調(diào)且有連續(xù)導數(shù)φ′(t).當t在[α,β]上變化時,x=φ(t)在[a,b]上變化,且x=φ(α),b=φ(β),則

上式稱為定積分的換元公式.

這個公式與不定積分換元法類似,它們的區(qū)別是:不定積分換元求出積分后,需將變量還原為x,而定積分在換元的同時,積分上下限也相應地變化,求出原函數(shù)后不需將變量還原,直接根據(jù)新變量的積分限計算.

注意:換元必須換限.07二、定積分的分部積分法第八節(jié)

廣義積分0808一、無窮區(qū)間上的廣義積分———無窮積分08二、無界函數(shù)的廣義積分———瑕積分08第九節(jié)定積分的應用0909一、定積分應用的微元法加性.步驟(2)是關鍵,這一步確定的ΔAi≈f(ξi)Δxi是被積表達式f(x)dx的雛形.這可以從以下過程來理解:由于分割的任意性,在實際應用中,為了簡便起見,對AA;≈f(ξ;)Ox;省略下標,得AA≈f(ξ)Qx,用[x,x+dx]表示[a,b]內(nèi)的任一小區(qū)間,并取小區(qū)間的左端點x為ξ，則0A的近似值就是以dx為底,f(x)為高的小.矩形的面積(如圖4-15所示的陰影部分),即ΔA≈f(x)dx09

通常稱f(x)dx為面積元素,記為dA=f(x)dx.

將步驟(3)(4)這兩步合并,即將這些面積元素在[a,b]上“無限累加”,就得到面積A,即一般說來,用定積分解決實際問題時,通常按以下步驟來進行:

(1)確定積分變量x,并求出相應的積分區(qū)間[a,b];

(2)在區(qū)間[a,b]上任取一個小區(qū)間[x,x+dx],并在小區(qū)間上找出所求量F的微元dF=f(x)dx;

(3)寫出所求量F的積分表達式

，然后計算它的值.利用定積分按上述步驟解決實際問題的方法稱為定積分的微元法.注意:能夠用微元法求出結(jié)果的量F一般應滿足以下兩個條件.

(1)F是與變量x的變化范圍[a,b]有關的量;

(2)F對于[a,b]具有可加性,即如果把區(qū)間[a,b]分成若干個部分區(qū)間,則F相應地分成若干個分量.09二、定積分的幾何應用

(一)直角坐標系下面積的計算

(1)由曲線y=f(x)和直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積的求法前面已經(jīng)介紹過,此處不再敘述;

(2)設f(x)≥g(x),求由兩條曲線y=f(x),y=g(x)及直線x=a,x=b所圍成的平面圖形的面積A(見圖4-16).

下面用微元法求面積A.

①取x為積分變量,x∈[a,b].

②在區(qū)間[a,b]上任取一小區(qū)間[x,x+dx],該區(qū)間上小曲邊梯形的面積dA可以用高為f(x)-g(x),底邊為dx的小矩形的面積近似代替,從而得面積元素dA=[f(x)-g(x)]dx.

③寫出積分表達式,即09

(3)求由兩條曲線x=ψ(y),x=φ(y)[ψ(y)≤φ(y)]及直線y=c,y=d所圍成平面圖形(見圖4-17)的面積.這里取y為積分變量,y∈[c,d].

用類似(2)的方法可以推出:09

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行列式與矩陣第五章目錄行列式的概念01行列式的計算及克拉默法則02矩陣的概念03矩陣的運算04CONTENTS

矩陣的秩與逆矩陣05分塊矩陣及其運算06矩陣的初等變換07矩陣的MATLAB基礎知識08第一節(jié)行列式的概念01一、線性方程組與行列式0101

該行列式稱為二階行列式.它有兩行兩列,其中:橫寫的稱為行,豎寫的稱為列.行列式中的數(shù)aij稱為行列式的元素.aij中的第一個附標i稱為行標,表示它在第i行;aij中的第二個附

標j稱為列標,表示它在第j列.二階行列式是兩個項的代數(shù)和,其中一項是左上角到右下角的對角線(稱為主對角線)上兩個元素的乘積,帶正號;另一項是右上角到左下角的對角線(稱為次對角線)上兩個元素的乘積.010101二、排列及其逆序數(shù)三、n階行列式01010304第二節(jié)行列式的計算

及克拉默法則02一、行列式的性質(zhì)020202020202二、行列式的計算02三、克拉默法則02第三節(jié)矩陣的概念030303第四節(jié)矩陣的運算04一、矩陣的加法04二、數(shù)與矩陣相乘04三、矩陣與矩陣相乘0404根據(jù)定義,可以推出矩陣乘法的一些主要性質(zhì).0404四、矩陣的轉(zhuǎn)置04五、方陣的行列式第五節(jié)矩陣的秩與逆矩陣0505一、矩陣的秩050505二、逆矩陣第六節(jié)分塊矩陣及其運算0606一、分塊矩陣06二、分塊矩陣的運算(一)分塊矩陣的加法

設矩陣A與矩陣B有相同的行數(shù)與列數(shù),采用的分塊法相同,則它們對應的子塊Aij與Bij有相同的行、列數(shù),于是有(二)分塊矩陣與數(shù)的乘法06二、分塊矩陣的運算(三)分塊矩陣與分塊矩陣的乘法設A為m×l矩陣,B為l×n矩陣,分塊成其中,Ai1,Ai2,…,Ait的列數(shù)分別等于B1j,B2j,…,Btj的行數(shù),則06(四)分塊矩陣的轉(zhuǎn)置(五)分塊對角矩陣的行列式與逆矩陣

定義5.6.2設A為n階方陣,若A的分塊矩陣只有主對角線上有非零子塊,其余子塊都是零矩陣,且非零子塊都是方陣,即第七節(jié)矩陣的初等變換0707一、矩陣的初等變換與初等矩陣用消元法解線性方程組時,經(jīng)常用到以下三種變換:(1)交換兩個方程的相對位置;(2)將一個方程兩邊同乘以一個非零常數(shù);(3)將一個方程兩邊同乘以一個非零常數(shù),再加到另一個方程上.由于這三種變換都是可逆的,因此變換前和變換后的方程組是同解的.我們將這三種變換稱為方程組的初等變