1第

3

章扭轉(zhuǎn)

剪切基本定理

圓截面軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與變形

圓截面軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度與剛度

簡單靜不定軸

非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介本章主要研究：2

§1

引言

§2扭力偶矩計(jì)算與扭矩

§3

切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律

§4圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

§5圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度與合理設(shè)計(jì)

§6圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度計(jì)算

§7簡單靜不定軸

§8非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介3§1引言

扭轉(zhuǎn)實(shí)例

扭轉(zhuǎn)及其特點(diǎn)4

扭轉(zhuǎn)實(shí)例FF5M6

扭轉(zhuǎn)及其特點(diǎn)變形特征：各橫截面間繞軸線作相對(duì)旋轉(zhuǎn)，軸線仍為直線－扭轉(zhuǎn)變形外力特征：作用面垂直于桿軸的力偶扭轉(zhuǎn)與軸：以扭轉(zhuǎn)變形為主要特征的變形形式－扭轉(zhuǎn)

以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件－軸扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩扭力偶：作用面垂直于桿軸的力偶－扭力偶7§2

扭力偶矩計(jì)算與扭矩

扭力偶矩計(jì)算－軸的動(dòng)力轉(zhuǎn)遞

扭矩與扭矩圖

例題8

扭力偶矩計(jì)算－軸的動(dòng)力轉(zhuǎn)遞已知：動(dòng)力裝置的輸出功率

P（kW）,轉(zhuǎn)速

n（r/min）試求：傳遞給軸的扭力偶矩

M（N.m）設(shè)角速度為

(rad/s)例:P＝5kW,n=1450r/min,則9

扭矩與扭矩圖扭矩定義－矢量方向垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩，并用

T

表示符號(hào)規(guī)定－按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，

矢量方向與橫截面外法線方向一致的扭矩為正，反之為負(fù)扭矩10扭矩圖（m－軸單位長度內(nèi)的扭力偶矩）試分析軸的扭矩表示扭矩沿桿件軸線變化的圖線（T-x曲線）－扭矩圖11

例題例

2-1MA=76N

m,MB=191N

m,

MC=115N

m,

畫扭矩圖解：12例

2-2軸在MA作用下旋轉(zhuǎn)，飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,

畫扭矩圖解：慣性力偶矩:13§3

切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律

薄圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力

切應(yīng)力互等定理

剪切胡克定律

例題14

當(dāng)變形很小時(shí)，各圓周線的大小與間距均不改變?cè)囼?yàn)現(xiàn)象

各圓周線的形狀不變,僅繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)由于管壁薄，可近似認(rèn)為管內(nèi)變形與管表面相同，均僅存在切應(yīng)變g

。

薄壁圓管扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力15假設(shè)：切應(yīng)力沿壁厚均勻分布應(yīng)力公式適用范圍：適用于所有勻質(zhì)薄壁桿，包括彈性、非彈性、線性與非線性等情況精度：線彈性情況下,當(dāng)d

R0/10

時(shí),誤差

4.53%16在微體互垂截面上，垂直于截面交線的切應(yīng)力數(shù)值相等，方向則均指向或離開該交線－切應(yīng)力互等定理截面上存在正應(yīng)力時(shí)，互等定理仍成立（請(qǐng)自證）

切應(yīng)力互等定理與純剪切微體互垂截面上僅存在切應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)－純剪切

剪切胡克定律引入比例常數(shù)G在剪切比例極限內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比－剪切胡克定律G－切變模量，其量綱與應(yīng)力相同，常用單位為GPa實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)切應(yīng)力

t

不超過一定限度tp時(shí)tp－剪切比例極限18

例題例

3-1圖示板件,邊寬為a,已知

Ds=

a/1000,G=80GPa,

試求板邊切應(yīng)力t=?解：注意：g雖很小，但G很大，切應(yīng)力t

不小g為一很小的量，所以19例

3-2一薄壁圓管，平均半徑為R0，壁厚為d，長度為l，橫截面上的扭矩為T，切變模量為G，試求扭轉(zhuǎn)角j。解：問題：如果t

=

kgn，則t=?j=?20§4

圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)與假設(shè)

扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析

極慣性矩與抗扭截面系數(shù)

例題21

扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)與假設(shè)各橫截面如同剛性平面，僅繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)

當(dāng)變形很小時(shí)，各圓周線的大小與間距均不改變扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)試驗(yàn)現(xiàn)象

各圓周線的形狀不變,僅繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)從試驗(yàn)、假設(shè)入手,綜合考慮幾何、物理與靜力學(xué)三方面22

扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析物理方面幾何方面dj

/

dx－扭轉(zhuǎn)角變化率23靜力學(xué)方面應(yīng)力與變形公式－極慣性矩－抗扭截面系數(shù)公式的適用范圍：圓截面軸；tmax≤tp24

極慣性矩與抗扭截面系數(shù)

空心圓截面

實(shí)心圓截面25

例題例

4-1已知MC=2MA=2MB=200N·m；AB段，d=20mm；BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。解：26§5

圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度與合理設(shè)計(jì)

扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力

圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件

圓軸合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)

例題27

扭轉(zhuǎn)失效與極限應(yīng)力塑性材料屈服斷裂脆性材料斷裂扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力ts

，扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限tb－扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力tu圓軸扭轉(zhuǎn)屈服時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力－扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)斷裂時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力－扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)失效形式28

圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件等截面圓軸:變截面或變扭矩圓軸:tu－材料的扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力n-安全因數(shù)塑性材料：[t]=（0.5~0.577）[s]脆性材料：[t]=（0.8~1.0）[st]為保證軸不因強(qiáng)度不夠而破壞，要求軸內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力不得超過扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，又有29

圓軸合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)1.

合理截面形狀若

Ro/d

過大將產(chǎn)生皺褶空心截面比實(shí)心截面好2.

采用變截面軸與階梯形軸注意減緩應(yīng)力集中30

例題例

5-1已知

T=1.5kN

.

m，[t]

=

50MPa，試根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸與

a

=

0.9

的空心圓軸，并進(jìn)行比較。解：1.確定實(shí)心圓軸直徑單輝祖:材料力學(xué)教程312.

確定空心圓軸內(nèi)、外徑3.重量比較空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕32解：1.扭矩分析例

5-2R0＝50mm的薄壁圓管，左、右段的壁厚分別為

d1=

5

mm，d2=

4

mm，m=

3500

N

.m/m，l

=

1

m，[t]=50

MPa，試校核圓管強(qiáng)度。332.

強(qiáng)度校核危險(xiǎn)截面：截面A與B34例

5-3密圈螺旋彈簧應(yīng)力分析與強(qiáng)度條件解：1.內(nèi)力分析352.應(yīng)力分析3.應(yīng)力修正公式4.強(qiáng)度條件[t]－純剪切許用切應(yīng)力36§6

圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)變形

圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件

例題37

圓軸扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形一般公式GIp－圓軸截面扭轉(zhuǎn)剛度，簡稱扭轉(zhuǎn)剛度常扭矩等截面圓軸38

圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件[q

]－單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角

注意單位換算:

一般傳動(dòng)軸，

[q

]=0.5~1

()/m39

例題例

6-1已知：MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m，Ip=3105mm4，l=2m，G=80GPa，[q]=0.5()/m。jAC=?校核軸的剛度解：1.變形分析402.剛度校核注意單位換算！41例

6-2試計(jì)算圖示圓錐形軸的扭轉(zhuǎn)角解：42§7

簡單靜不定軸

扭轉(zhuǎn)靜不定問題分析

例題43

扭轉(zhuǎn)靜不定問題分析問題

試求圖示軸兩端的支反力偶矩問題分析未知力偶矩－2個(gè)，平衡方程－1個(gè)，一度靜不定44建立補(bǔ)充方程計(jì)算支反力偶矩聯(lián)立求解方程(a)與(b)

45

例題例

7-1

圖示組合軸，承受集度為

m的均布扭力偶，與矩為

M=ml的集中扭力偶。已知

G1

=G2

=

G，Ip1=2Ip2。試求圓盤的轉(zhuǎn)角。解：1.建立平衡方程沿截面

B切開,畫受力圖462.建立補(bǔ)充方程－變形協(xié)調(diào)條件未知力偶矩－2個(gè)，平衡方程－1個(gè)，一度靜不定47聯(lián)立求解平衡與補(bǔ)充方程圓盤轉(zhuǎn)角為3.扭矩與圓盤轉(zhuǎn)角48§8

非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介

矩形截面軸扭轉(zhuǎn)

薄壁桿扭轉(zhuǎn)

例題49

矩形截面軸扭轉(zhuǎn)

圓軸平面假設(shè)不適用于非圓截面軸試驗(yàn)現(xiàn)象

橫截面翹曲,角點(diǎn)處g為零,側(cè)面中點(diǎn)處g最大50應(yīng)力分布特點(diǎn)

橫截面上角點(diǎn)處，切應(yīng)力為零

橫截面邊緣各點(diǎn)處，切應(yīng)力//截面周邊

橫截面周邊長邊中點(diǎn)處，切應(yīng)力最大51彈性力學(xué)解系數(shù)a,b,g表長邊中點(diǎn)t最大a

0.208

0.219

0.231

0.239

0.246

0.258

0.267

0.282

0.299

0.307

0.313

0.333

b

0.141

0.166

0.196

0.214

0.229

0.249

0.263

0.281

0.299

0.307

0.313

0.333

g

1.000

0.930

0.859

0.820

0.795

0.766

0.753

0.745

0.743

0.742

0.742

0.742

52

截面中心線

－截面壁厚平分線

閉口薄壁桿

－截面中心線為封閉曲線的薄壁桿

開口薄壁桿

－截面中心線為非封閉曲線的薄壁桿

薄壁桿扭轉(zhuǎn)開口與閉口薄壁桿

薄壁桿

－壁厚<<截面中心線的桿件53假設(shè)切應(yīng)力沿壁厚均勻分布,并平行于截面中心線切線計(jì)算公式tmax發(fā)生在桿壁最薄處閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)概念54