第五章三角函數(shù)5.3誘導(dǎo)公式（第一課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)

借助單位圓推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二~六；（重點(diǎn)）01

誘導(dǎo)公式的有效記憶；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）02

能利用誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值，化簡，證明問題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）03誘導(dǎo)公式學(xué)科素養(yǎng)

借助單位圓推導(dǎo)誘導(dǎo)公式;

數(shù)學(xué)抽象

直觀想象

誘導(dǎo)公式的推理；邏輯推理

利用誘導(dǎo)公式解決三角函數(shù)值、化簡和證明問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)建模誘導(dǎo)公式01知識(shí)回顧RetrospectiveKnowledge

設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)(1)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα；(2)把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x=cosα；(3)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的比值叫做α的

,記作,即(x≠0).終邊相同的角的對應(yīng)三角函數(shù)相同：cos(α+2kπ)=cosαtan(α+2kπ)=tanαsin(α+2kπ)=sinα其中k∈Z三角函數(shù)的概念02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

前面我們利用圓的幾何性質(zhì)（三角函數(shù)的定義），得到了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系．

我們知道，圓的最重要的性質(zhì)是對稱性，而對稱性（奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)．

由此想到，可以利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的對稱性．

如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角α的

終邊與單位圓交于點(diǎn)P1，

（1）作P1關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P2，以O(shè)P2為

終邊的角β與角α有什么關(guān)系？角β，α的三

角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

（2）如果作P1關(guān)于x軸（或y軸）的對稱點(diǎn)P3（或P4），那么又可以得到什么結(jié)論？探究

αP2P1P4P3

π+ααP2P1

如圖，以O(shè)P2為終邊的角β都是與角α＋π終邊相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)(k∈Z)．因此只需要研究角α＋π和角α的三角函數(shù)關(guān)系即可．

設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因?yàn)镻1是P2關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，所以x1=－x2，

y1=y2．根據(jù)三角函數(shù)的定義，得公式二

sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=

-cosαtan(π+α)=tanα從而得

-ααP1P3根據(jù)三角函數(shù)的定義，得公式三

sin(-α)=-sinαcos(-α)=

cosαtan(-α)=-tanα從而得根據(jù)三角函數(shù)的定義，得公式四

sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα從而得

π-ααP1P4對于公式一~四的概括：【1】α+2kπ，-α，(π±α)的三角函數(shù)值（終邊關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對稱的角），在絕對值上等于α的同名函數(shù)值，正負(fù)取決于把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).即“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限.”【2】對于正弦與余弦的誘導(dǎo)公式，α可以為任意角；對于正切的誘導(dǎo)公式，α的終邊不能落在y軸上;【3】誘導(dǎo)公式即可以用弧度制表示，也可以用角度制表示.【例1】利用公式求下列三角函數(shù)值：銳角的三角函數(shù)0~2π的角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)任意負(fù)角的三角函數(shù)【利用誘導(dǎo)公式一~四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)的步驟】用公式一或公式三用公式二或公式四用公式一公式四:sin(π-α)=sinα;cos(π-α)=-cosα;tan(π-α)=-tanα.公式三:sin(-α)=-sinα;cos(-α)=

cosα;tan(-α)=-tanα.公式二:sin(π+α)=-sinα;cos(π+α)=

-cosα;tan(π+α)=tanα.公式一:sin(2kπ+α)=sinα;cos(2kπ+α)=cosα;tan(2kπ+α)=tanα.利用誘導(dǎo)公式化簡的一般思路：切化弦，負(fù)化正、大化??；異名化同名，異角化同角.03拓展提升ExpansionAndPromotion04歸納總結(jié)SumUp公式四:sin(π-α)=sinα;cos(π-α)=-cosα;tan(π-α)=-tanα.公式三:sin(-α)=-sinα;cos(-α)=

cosα;tan(-α)=-tanα.公式二:sin(π+α)=-sinα;cos(π+α)=

-cosα;tan(π+α)=tanα.公式一:sin(2kπ+α)=sinα;cos(2kπ+α)=cosα;tan(2kπ+α)=tanα.銳角的三角函數(shù)0~2π的角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)任意負(fù)角的三角函數(shù)【利用誘導(dǎo)公式一~四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)的步驟】用公式一或