學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共3頁黑龍江省哈爾濱市順邁2025屆數(shù)學九年級第一學期開學聯(lián)考模擬試題題號一二三四五總分得分批閱人A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）如圖，直線y＝kx和y＝ax+4交于A（1，k），則不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集為（）A．1＜x＜ B．1＜x＜3 C．﹣＜x＜1 D．＜x＜32、（4分）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=12，則EF的長是（）A．7 B．8 C．7 D．73、（4分）如圖，在△ABC中，AB=3，BC=6，AC=4，點D，E分別是邊AB，CB的中點，那么DE的長為（）A．1.5 B．2 C．3 D．44、（4分）下列結論中，矩形具有而菱形不一定具有的性質是（）A．內角和為360° B．對角線互相平分 C．對角線相等 D．對角線互相垂直5、（4分）如圖，在方格中有兩個涂有陰影的圖形M、N，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，圖（1）中的圖形M平移后位置如圖（2）所示，以下對圖形M的平移方法敘述正確的是（）A．先向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度B．先向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度C．先向右平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度D．先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度6、（4分）若分式的值為0，則的值等于A．0 B．3 C．-3 D．37、（4分）下列說法正確的是（）A．平行四邊形的對角線相等B．一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D．有兩對鄰角互補的四邊形是平行四邊形8、（4分）一個直角三角形的兩邊長分別為2和，則第三邊的長為()A．1 B．2 C． D．3二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）二次根式的值是________．10、（4分）若一次函數(shù)y=(m-1)x-m的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則的取值范圍是______．11、（4分）如圖，將平行四邊形ABCD折疊，使頂點D恰好落在AB邊上的點M處，折痕為AN，有以下四個結論①MN∥BC；②MN=AM；③四邊形MNCB是矩形；④四邊形MADN是菱形，以上結論中，你認為正確的有_____________（填序號）．12、（4分）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是__________．13、（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB上的中點，若CD=5cm，則AB=_____________cm.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）已知為原點，點及在第一象限的動點，且，設的面積為.（1）求關于的函數(shù)解析式；（2）求的取值范圍；（3）當時，求點坐標；（4）畫出函數(shù)的圖象.15、（8分）乙知關于的方程.（1）試說明無論取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)很；（2）如果方程有一個根為,試求的值.16、（8分）先化簡(a2a-2-1a-2)÷a2-2a+117、（10分）定義：有一組對邊平行，有一個內角是它對角的一半的凸四邊形叫做半對角四邊形，如圖1，直線，點，在直線上，點，在直線上，若，則四邊形是半對角四邊形．（1）如圖1，已知，，，若直線，之間的距離為，則AB的長是____，CD的長是______；（2）如圖2，點是矩形的邊上一點，，．若四邊形為半對角四邊形，求的長；（3）如圖3，以的頂點為坐標原點，邊所在直線為軸，對角線所在直線為軸，建立平面直角坐標系．點是邊上一點，滿足．①求證：四邊形是半對角四邊形；②當，時，將四邊形向右平移個單位后，恰有兩個頂點落在反比例函數(shù)的圖象上，求的值．18、（10分）如圖，四邊形ABCD為菱形，E為對角線AC上的一個動點，連結DE并延長交射線AB于點F，連結BE．（1）求證：∠AFD=∠EBC；（2）若∠DAB=90°，當△BEF為等腰三角形時，求∠EFB的度數(shù)．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，對角線AC、BD相交于點O，AE垂直平分BO于點E，則AD的長為_____．20、（4分）分式方程有增根，則m＝_____________．21、（4分）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠D=60°，AB=4，E為邊BC上的動點，連接AE，作AE的垂直平分線GF交直線CD于F點，垂足為點G，則線段GF的最小值為____________．22、（4分）一次函數(shù)圖象經(jīng)過一、三、四象限，則反比例函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而__________．（填增大或減小）23、（4分）式子在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是_______．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）感知：如圖①，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上（不與點A、C重合），連結ED，EB，過點E作EF⊥ED，交邊BC于點F．易知∠EFC+∠EDC=180°，進而證出EB=EF．

探究：如圖②，點E在射線CA上（不與點A、C重合），連結ED、EB，過點E作EF⊥ED，交CB的延長線于點F．求證：EB=EF

應用：如圖②，若DE=2，CD=1，則四邊形EFCD的面積為25、（10分）（1）[探索發(fā)現(xiàn)]正方形中,是對角線上的一個動點(與點不重合),過點作交線段于點．求證:小玲想到的思路是:過點作于點于點,通過證明得到．請按小玲的思路寫出證明過程（2）[應用拓展]如圖2,在的條件下，設正方形的邊長為,過點作交于點．求的長．26、（12分）如圖，若在△ABC的外部作正方形ABEF和正方形ACGH，求證：△ABC的高線AD平分線段FH

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、A【解析】

把A（1，k）代入y=ax+4得a=k-4，則解不等式kx-4＜ax+4得x＜，再結合圖象得到x＞1時，ax+4＜kx，從而得到不等式kx-6＜ax+4＜kx的解集．【詳解】解：把A（1，k）代入y＝ax+4得k＝a+4，則a＝k﹣4，解不等式kx﹣4＜ax+4得x＜，而當x＞1時，ax+4＜kx，所以不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集為1＜x＜．故選A．本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合．也考查了一次函數(shù)的性質．2、C【解析】

12和5為兩條直角邊長時，求出小正方形的邊長7，即可利用勾股定理得出EF的值．【詳解】∵AE=5，BE=12，即12和5為兩條直角邊長時，小正方形的邊長=12-5=7，∴EF=；故選C．本題考查了勾股定理、正方形的性質；熟練掌握勾股定理是解決問題的關鍵．3、B【解析】∵點，分別是邊，的中點，.故選B.4、C【解析】

矩形與菱形相比，菱形的四條邊相等、對角線互相垂直；矩形四個角是直角，對角線相等，由此結合選項即可得出答案．【詳解】A、菱形、矩形的內角和都為360°，故本選項錯誤；B、對角互相平分，菱形、矩形都具有，故本選項錯誤；C、對角線相等菱形不具有，而矩形具有，故本選項正確D、對角線互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本選項錯誤，故選C．本題考查了菱形的性質及矩形的性質，熟練掌握矩形的性質與菱形的性質是解題的關鍵.5、B【解析】

根據(jù)平移前后圖形M中某一個對應頂點的位置變化情況進行判斷即可．【詳解】由圖（1）可知，圖M先向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，可得題圖（2），故選B本題主要考查了圖形的平移，平移由平移方向和平移距離決定，新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．6、C【解析】

根據(jù)分式的值為零，則分子為零分母不為零，進而得出答案．【詳解】解：∵分式的值為0，∴x2?9＝0，x?1≠0，解得：x＝?1．故選：C．此題主要考查了分式的值為零的條件，正確記憶分子與分母的關系是解題關鍵．7、C【解析】

由平行四邊形的判定和性質，依次判斷可求解．【詳解】解：A、平行四邊形的對角線互相平分，但不一定相等，故A選項不合題意；B、一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形，故B選項不合題意；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故C選項符合題意；D、有兩對鄰角互補的四邊形可能是等腰梯形，故D選項不合題意；故選：C．本題考查了平行四邊形的判定和性質，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．8、C【解析】

本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊2既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即2是斜邊或直角邊.【詳解】當2和均為直角邊時,第三邊=；當2為斜邊,為直角邊,則第三邊=，故第三邊的長為或故選C.此題考查勾股定理，解題關鍵在于分類討論第三條邊的情況.二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、1【解析】

根據(jù)二次根式的性質進行化簡即可得解.【詳解】=|-1|=1.故答案為：-1.此題主要考查了二次根式的化簡，注意：.10、0＜＜1【解析】

一次函數(shù)y=（m-1）x-m的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則一次項系數(shù)m-1是負數(shù)，-m是負數(shù)，即可求得m的范圍．【詳解】根據(jù)題意得：，解得：0＜m＜1，故答案為：0＜m＜1．本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標平面內的位置與k、b的關系．解答本題注意理解：直線y=kx+b所在的位置與k、b的符號有直接的關系．k＞0時，直線必經(jīng)過一、三象限．k＜0時，直線必經(jīng)過二、四象限．b＞0時，直線與y軸正半軸相交．b=0時，直線過原點；b＜0時，直線與y軸負半軸相交．11、①②④【解析】

根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得∠B=∠D，再根據(jù)折疊可得∠D=∠NMA，再利用等量代換可得∠B=∠NMA，然后根據(jù)平行線的判定方法可得MN∥BC；證明四邊形AMND是平行四邊形，再根據(jù)折疊可得AM=DA，進而可證出四邊形AMND為菱形，再根據(jù)菱形的性質可得MN=AM，不能得出∠B=90°；即可得出結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，∵根據(jù)折疊可得∠D=∠NMA，∴∠B=∠NMA，∴MN∥BC；①正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DN∥AM，AD∥BC，∵MN∥BC，∴AD∥MN，∴四邊形AMND是平行四邊形，根據(jù)折疊可得AM=DA，∴四邊形AMND為菱形，∴MN=AM；②④正確；沒有條件證出∠B=90°，④錯誤；故答案為①②④．本題主要考查了翻折變換的性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、矩形的判定等知識，熟練掌握翻折變換的性質、平行四邊形和菱形以及矩形的判定是解題的關鍵．12、1【解析】

因為關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，故，代入求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得：解得：m=1故答案為：1本題考查的是一元二次方程的根的判別式，掌握根的判別式與方程的根的關系是關鍵.13、1【解析】

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【詳解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，∴線段CD是斜邊AB上的中線；又∵CD=5cm，∴AB=2CD=1cm．故答案是：1．本題考查了直角三角形斜邊上的中線．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）S＝?4x＋48；（2）0＜x＜12；（3）P（1，3）；（4）見解析.【解析】

（1）根據(jù)三角形的面積公式即可得出結論；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)關系式及點P在第一象限即可得出結論；（3）把S＝12代入（1）中函數(shù)關系即可得出x的值，進而得出y的值；（4）利用描點法畫出函數(shù)圖象即可．【詳解】解：（1）∵A點和P點的坐標分別是（8，0）、（x，y），∴S＝×8×y＝4y．∵x＋y＝12，∴y＝12?x．∴S＝4（12?x）＝48?4x，∴所求的函數(shù)關系式為：S＝?4x＋48；（2）由（1）得S＝?4x＋48＞0，解得：x＜12；又∵點P在第一象限，∴x＞0，綜上可得x的取值范圍為：0＜x＜12；（3）∵S＝12，∴?4x＋48＝12，解得x＝1．∵x＋y＝12，∴y＝12?1＝3，即P（1，3）；（4）∵函數(shù)解析式為S＝?4x＋48，∴函數(shù)圖象是經(jīng)過點（12，0）（0，48）但不包括這兩點的線段．所畫圖象如圖：本題考查的是一次函數(shù)的應用，根據(jù)題意得到函數(shù)關系式，并熟知一次函數(shù)的圖象和性質是解答此題的關鍵．15、（1）詳見解析；（2）2003【解析】

（1）由△=（2k）2-4×1×（k2-1）=4＞0可得答案；（2）將x=3代入方程得k2+6k=-8，代入原式計算可得．【詳解】解：（1），無論取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）因為方程有一個根為，，即本題考查根的判別式，解題的關鍵是記住判別式，△＞0有兩個不相等實數(shù)根，△=0有兩個相等實數(shù)根，△＜0沒有實數(shù)根，屬于中考?？碱}型．16、a+1a-1【解析】

根據(jù)分式的運算法則即可求出答案．【詳解】原式=a2-1a-2×a-2（a-1）要使原分式有意義，故a=3，∴當a=3時，原式=1．17、（1）2；；（2）AD=3；（3）①證明見解析；②的值為為或．【解析】

（1）過點作于點，過點作于點，通過解直角三角形可求出，的長；（2）根據(jù)半對角四邊形的定義可得出，進而可得出，由等角對等邊可得出，結合即可求出的長；（3）①由平行四邊形的性質可得出，，進而可得出，根據(jù)等腰三角形的性質及三角形外角的性質可得出，再結合半對角四邊形的定義即可證出四邊形是半對角四邊形；②由平行四邊形的性質結合，可得出點，，的坐標，分點，落在反比例函數(shù)圖象上及點，落在反比例函數(shù)圖象上兩種情況考慮：利用平移的性質及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關于的一元一次方程，解之即可得出值，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出值；同可求出值．綜上，此題得解．【詳解】解：（1）如圖1，過點作于點，過點作于點．，，．在中，；在中，．故答案為：2；．（2）如圖2，四邊形為半對角四邊形，，，，．（3）如圖3，①證明四邊形為平行四邊形，，，，．又，四邊形是半對角四邊形；②由題意，可知：點的坐標為，，點的坐標為，，點的坐標為．當點，向右平移個單位后落在反比例函數(shù)的圖象上時，，解得：，；當點，向右平移個單位后落在反比例函數(shù)的圖象上時，，解得：，．綜上所述：的值為為或．本題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質、三角形外角的性質、平行四邊形的性質、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及解一元一次方程，解題的關鍵是：（1）通過解直角三角形求出，的長；（2）利用半對角四邊形的定義及矩形的性質，求出；（3）①利用等腰三角形的性質、三角形外角的性質以及平行四邊形的性質，找出；②分點，落在反比例函數(shù)圖象上和點，落在反比例函數(shù)圖象上兩種情況，求出的值．18、(1)見解析;(2)∠EFB=30°或120°.【解析】

（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；

（2）利用正方形的性質結合等腰三角形的性質得出：①當F在AB延長線上時；②當F在線段AB上時；分別求出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，在△DCE和△BCE中DC=CB∠DCE=∠BCE∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE=∠CBE，∵CD∥AB，∴∠CDE=∠AFD，∴∠EBC=∠AFD.（2）分兩種情況,①如圖1，當F在AB延長線上時，∵∠EBF為鈍角，∴只能是BE=BF，設∠BEF=∠BFE=x°，可通過三角形內角形為180°得：90+x+x+x=180，解得：x=30，∴∠EFB=30°.②如圖2，當F在線段AB上時，∵∠EFB為鈍角，∴只能是FE=FB，設∠BEF=∠EBF=x°，則有∠AFD=2x°，可證得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°．綜上：∠EFB=30°或120°．此題主要考查了菱形的性質以及正方形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、6【解析】

由矩形的性質和線段垂直平分線的性質證出OA＝AB＝OB＝6，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝6，∴BD＝2OB＝12，∴故答案為：此題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理；熟練掌握矩形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵．20、1【解析】分式方程去分母得：x+x﹣1=m，根據(jù)分式方程有增根得到x﹣1=0，即x=1，將x=1代入整式方程得：1+1﹣1=m，則m=1，故答案為1．21、1【解析】

作輔助線，構建三角形全等，證明Rt△AFM≌Rt△EFN（HL），得∠AFM=∠EFN，再證明△AEF是等邊三角形，計算FG=AG=AE，確認當AE⊥BC時，即AE=2時，F(xiàn)G最?。驹斀狻拷猓哼B接AC，過點F作FM⊥AC于，作FN⊥BC于N，連接AF、EF，∵四邊形ABCD是菱形，且∠D=60°，∴∠B=∠D=60°，AD∥BC，∴∠FCN=∠D=60°=∠FCM，∴FM=FN，∵FG垂直平分AE，∴AF=EF，∴Rt△AFM≌Rt△EFN（HL），∴∠AFM=∠EFN，∴∠AFE=∠MFN，∵∠FMC=∠FNC=90°，∠MCN=120°，∴∠MFN=60°，∴∠AFE=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴FG=AG=AE，∴當AE⊥BC時，Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=10°，∵AB=4，∴BE=2，AE=2，∴當AE⊥BC時，即AE=2時，F(xiàn)G最小，最小為1；故答案為1．本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定，三角形全等的性質和判定，垂線段的性質等知識，本題有難度，證明△AEF是等邊三角形是本題的關鍵．22、增大【解析】

根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過一、三、四象限，可以得出>0，b<0，則反比例函數(shù)的系數(shù)，結合x>0即可得到結論．【詳解】∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過一、三、四象限，∴>0，b<0，∴，∴又x>0，∴反比例函數(shù)圖象在第四象限，且y隨著x的增大而增大，故答案為：增大．本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質，反比例函數(shù)的圖象和性質，掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．23、x≥1【解析】

直接利用二次根式的有意義的條件得到關于x的不等式，解不等式即可得答案.【詳解】由題意可得：x﹣1≥0，解得：x≥1，故答案為：x≥1．本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、探究：證明見詳解；應用：4+【解析】

探究：根據(jù)正方形的性質得到AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．求得∠ACB=∠ACD=45°，根據(jù)全等三角形的性質得到ED=EB，∠EDC=∠EBC，求得∠EFB=∠EDC，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結論；

應用：連接DF，求得△DEF是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得到CF=DF【詳解】解：探究：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．

∴∠ACB=∠ACD=45°，

又∵EC=EC，

∴△EDC≌△EBC（SAS），

∴ED=EB，∠EDC=∠EBC，

∵EF⊥ED，

∴∠DEF=90°，

∴∠EFC+∠EDC=180°又∵∠EBC+∠EBF=180°，

∴∠EFB=∠EDC，

∴∠EBF=∠EFB，

∴EB=EF；

應用：連接DF，

∵EF=DE，∠DEF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∵DE=2，

∴EF＝2，DF＝22，

∵∠DCB=90°，CD=1，

∴CF=DF2-CD2=7，

∴四邊形EFCD的面積=S