特訓01二次函數(shù)壓軸題（四大題型歸納）題型1：存在性問題題型2：最值、取值范圍問題題型3：圓在二次函數(shù)中的應用題型4：新定義情景題題型1：存在性問題1．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B，點P為拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當?shù)拿娣e與的面積相等時，求點P的坐標；(3)是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達式為(2)點P的坐標為(3)存在，點P的橫坐標為或7．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)求出A、C兩點坐標，代入解析式求解即可得到答案；（2）根據(jù)A、B、C點坐標即可得到，求出的面積，分點P在下方或上方兩類列方程即可得到答案；（3）由（2）得，作的垂直平分線交于一點F，求得，即，過點作，過點作交于點，得到，即點在直線上，求得直線的解析式，根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題聯(lián)立方程求解即可得到答案．【解析】（1）解：當時，，故，當時，，，故，將，代入解析式得，，解得：，∴；（2）解：①點P在下方時，如圖所示，連接，設，∴，當，解得：，，故，∵，，∴，，，∴，∴，∴，∵的面積與的面積相等，∴，即，∵，無解，②當點P在上方時，如圖所示，連接，設，∴，∵的面積與的面積相等，∴∴（與B重合，舍去），，當時，，∴；（3）解：∵,，，∴∴，∴是直角三角形，∴，如圖所示，作的垂直平分線交于一點F，連接，則，∴∴，∵∴設，則，∵，在中，，即，解得：，則∴∴如圖所示，過點作，過點作交于點，則即，即點在直線上，∵∴，在中，,∴過點作軸，則∴，∴,，∴設直線的解析式為即∴即，聯(lián)立解得：（舍去），同理可得設直線的解析式為則解得：∴聯(lián)立解得：（舍去），綜上，點P的橫坐標為或7．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解直角三角形，直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．2．如圖①，在平面直角坐標系中．拋物線與軸交于，兩點點在點右側，，與軸交于點．直線經(jīng)過點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖②，點為上方拋物線上一點，過點作軸交直線于點，作軸交直線于點，求周長的最大值；(3)在(2)的條件下，若點是軸上的動點，點為平面內一點，是否存在點，，使得以，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當時，周長的最大值為(3)存在，點的坐標為，或，或，或，或，【分析】（1）求出點，的坐標，由可得點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）設點，，可得、的坐標，利用勾股定理求出，，，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解；（3）分三種情況畫出圖形，根據(jù)菱形的性質即可求解．【解析】（1）解：直線，令得，令得，解得．，，，，，，，將，，，，，代入得，，解得，拋物線的解析式為；（2）設點，軸，，，，軸，，，，，，點為上方拋物線上一點，，，的周長，當時，周長的最大值為；（3）存在，由（2）知時，，，設，，①線段為菱形的邊，四邊形為菱形時，如圖，

，，，，或，，四邊形為菱形，點的坐標可由點向右平移個單位長度，向下平移個單位長度得到，點可由點向右平移個單位長度，向下平移個單位長度得到，，或，；②線段為菱形的邊，四邊形為菱形時，如圖，

，，，，或，，四邊形為菱形，點的坐標可由點向左平移個單位長度，向上平移個單位長度得到，點可由點向左平移個單位長度，向上平移個單位長度得到，，或，；③線段為菱形的對角線，四邊形為菱形時，如圖，

，，，設，，，解得，，解得，，．綜上所述，存在，點的坐標為，或，或，或，或，．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求拋物線、坐標與圖形性質、勾股定理、菱形的性質、兩點間的距離、二次函數(shù)的性質、一次函數(shù)的性質等知識，本題綜合性強，熟練掌握待定系數(shù)法和菱形的性質，分類討論是解題的關鍵．3．如圖，拋物線交軸于點、(點在點的左側)，與軸交于點，點、的坐標分別為，，對稱軸交軸于，點為拋物線頂點．

(1)求拋物線的解析式；(2)點是直線下方的拋物線上一點，且．求的坐標；(3)為拋物線對稱軸上一點，是否存在以、、為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)或或或【分析】（1）由點、點的坐標和對稱軸的值列出方程組，即可求出拋物線解析式．（2）由拋物線解析式可求出頂點的坐標，進而求出和的面積，由面積可推出的邊上的高，求出到距離等于的直線解析式，聯(lián)立直線解析式和拋物線解析式，即可求出點的坐標．（3）若是等腰三角形，通過作圖畫兩圓一線來確定點的位置，再根據(jù)半徑的長度及勾股定理求出點的坐標．【解析】（1）解：將點，點代入拋物線解析式，由對稱軸，得解得，拋物線解析式為：．（2）將代入拋物線解析式得：，頂點，，設直線解析式為：，將點，點代入，得解得，直線的解析式為：如圖，設直線與對稱軸的交點為，將代入點，，，設中邊上的高為，則，如圖，設在直線下方的軸上有一點到的距離為，且，，，是等腰直角三角形，點在過點與直線平行的直線上，即將直線向下平移個單位長度即可得到直線，直線的解析式為：聯(lián)立，解得：或點的坐標為，．

（3）點與點關于對稱軸對稱，點，點，①如圖，連接，以點為圓心，的長為半徑畫圓，與對稱軸的交點即為所求點，此時，為等腰三角形．由圖知：點位于點上方時，、、三點共線，所以此點舍去；點位于點下方時，點與點重合，此時點的坐標為．

②如圖，以點為圓心，的長為半徑畫圓，與對稱軸的交點即為所求點，此時，為等腰三角形．在中，，，此時點的坐標為或．

③如圖，作線段的垂直平分線，與交于點，與軸交于點，與對稱軸的交點即為所求點，此時，為等腰三角形．連接，為線段的垂直平分線，，點為中點，，，由中點坐標公式得點設，則，在中，由勾股定理得：，解得：，點設直線的解析式為：，將，代入解析式，得，解得，直線解析式為：將代入直線解析式得：，此時點．

綜上所述：點Ｍ的坐標為或或或．【點睛】本題主要考查求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)因動點產(chǎn)生的三角形面積問題、因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題，求出到底邊的距離等于高的直線解析式，利用畫“兩圓一線”構造等腰三角形是解題的關鍵．4．如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)點在第一象限內，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點，點在點的左側，以線段為鄰邊作矩形，當矩形的周長為11時，求線段的長；(3)點在直線上，點在平面內，當四邊形是正方形時，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)；(3)點的坐標為或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線的解析式為，設，則，利用對稱性質求得，推出，，利用矩形周長公式列一元二次方程計算即可求解；（3）先求得直線的解析式為，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明，推出，，設，則，由點M在直線上，列式計算，可求得m的值，利用平移的性質可得點N的坐標；設點，則點，當繞著點O逆時針旋轉得到時，當點M繞點O逆時針得到點E時，根據(jù)旋轉的性質，可得點N的坐標．【解析】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵點和，設直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，設，且，則，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，依題意得，解得（舍去）或，∴；（3）解：令，則，解得或，∴，同理，直線的解析式為，∵四邊形是正方形，∴，，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，如圖，

，，∴，∴，，設，∴，，則，∵點M在直線上，∴，解得或，當時，，，即點M與點C重合，點E與點B重合時，四邊形是正方形，此時；當時，，，點O向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點M，則點E向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點N，∴，即；設點，則點，當繞著點O逆時針旋轉得到時，如圖，∵點E在的圖象上，∴，∴點，∵點E在的圖象上，∴，解得：或0，∴，，當點M繞點O逆時針得到點E時，點，，∵點E在的圖象上，∴，解得：，∴點，，，，∴點N的坐標為或；綜上，點的坐標為或或或．【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩點之間的距離公式和正方形的性質，是一道綜合性較強的題，解題的關鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論．題型2：最值、取值范圍問題5．已知拋物線經(jīng)過點和兩點，且拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

(1)若點M是拋物線的頂點，求拋物線解析式及A、B、C坐標；(2)在（1）的條件下，若點P是A、C之間拋物線上一點，求四邊形面積的最大值及此時點P的坐標；(3)若，且，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)面積最大值為，(3)或【分析】（1）設拋物線的頂點式為，將N點代入即可求a的值，從而確定函數(shù)的解析式；（2）設，先求出直線的解析式，過P點作軸交于點G，則，，從而得到，當時，的面積有最大值，此時，求出直線與x軸的交點為，再求，即可求四邊形面積的最大值；（3）先求出拋物線的解析式，分別求出當時以及當時，a的取值，即可．【解析】（1）解：∵點M是拋物線的頂點，∴可設拋物線解析式為，∵拋物線過點，∴解得：，∴拋物線的解析式為，當時，，解得或1，∴，當時，，∴；（2）解：設，設直線的解析式為，把代入得：，解得，∴直線的解析式為，過P點作軸交于點G，∴，∴，∴，當時，的面積有最大值，此時，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∴直線與x軸的交點為，∴，∴四邊形面積的最大值為；（3）解：將和兩點代入，∴，解得，∴，當時，，解得：，當時，，解得，∴或．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，利用鉛錘法求三角形面積的方法是解題的關鍵．6．在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于O，A兩點，過點A的直線與y軸交于點C，交拋物線于點D．

(1)直接寫出點A，C，D的坐標；(2)如圖1，點B是直線上方第一象限內拋物線上的動點，連接和，求面積的最大值；(3)如圖2，若點M在拋物線上，點N在x軸上，當以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點N的坐標．【答案】(1)(2)(3)，，【分析】（1）令，，分別求出二次函數(shù)圖形和坐標軸的交點，再聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)求出交點，即可得到交點；（2）過點B作軸于點F，交AC于點E，過點D作軸于點H，交于點G，利用面積求，將三角形的面積轉化為二次函數(shù)，求最值即可；（3）當點M在x軸上方時，當點M在x軸下方，分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質進行求解即可．【解析】（1）解：當時，，解得：，∴，當時，，∴，聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式，得：，整理得：，解得：，當時，，∴；（2）解：如圖1，過點B作軸于點F，交AC于點E，過點D作軸于點H，交于點G，

設，則，∴，∴，當時，有最大值為；（3）解：①當點M在x軸上方時，如圖2，以A，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，

則，由對稱性得到，即，故，∴，；②當點M在x軸下方時，如圖3：

過點M作軸于點P，過點D作軸于點Q，則：，∵以A，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，將代入拋物線解析式得：，解得：或，∴或，∴或，符合條件的N點有：，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用.熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，利用數(shù)形結合以及分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．7．如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點和點，與y軸交于點C，頂點為點D．(1)求二次函數(shù)表達式和點D的坐標；(2)連接、，求外接圓的半徑；(3)點P為x軸上的一個動點，連接，求的最小值；(4)如圖2，點E為對稱軸右側的拋物線上一點，且點E的縱坐標為，動點M從點C出發(fā)，沿平行于x軸的直線a向右運動，連接，過點M作的垂線b，記直線b與拋物線對稱軸的交點為N，當直線b與直線a重合時運動停止，請直接寫出點N的運動總路程．【答案】(1)，(2)(3)(4)【分析】（1）把和點代入求出b和c的值，即可得出函數(shù)表達式，將其化為頂點式，即可求出點D的坐標；（2）先求出點C的坐標，再根據(jù)兩點之間的距離公式，求出，根據(jù)勾股定理逆定理，得出，最后根據(jù)直角三角形的外心與斜邊中點重合，即可求解；（3）過點P作于點M，作關于x軸的對稱線段，則，點M關于x軸的對稱點在，，通過證明，得出，則當點三點共線時，取最小值，即為的長度，用等面積法求出的長度即可；（4）連接，先求出點，根據(jù)，，可設，，再根據(jù)兩點之間的距離公式得出，，，，然后根據(jù)勾股定理可得：，即可得出n關于m的表達式，將其化為頂點式后可得當時，n隨m的增大而減小，當時，n隨m的增大而增大，再求出當時，點N經(jīng)過的路程為，以及當時，點N經(jīng)過的路程為，即可求解．【解析】（1）解：把和點代入得：，解得：，∴該二次函數(shù)的表達式為：，∵，∴點D的坐標為；（2）解：把代入得，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴外接圓半徑；（3）解：過點P作于點M，作關于x軸的對稱線段，則，點M關于x軸的對稱點在上，，，，

，，當點三點共線且時，取最小值，即為的長度，，，即的最小值為．（4）解：連接，把代入得，解得：，

∴，∵，，∴設，，∴，，，，根據(jù)勾股定理可得：，∴，整理得：，∴，∴當時，n隨m的增大而減小，當時，n隨m的增大而增大，∵動點M從點C出發(fā)，直線b與直線a重合時運動停止，，∴，∵當時，，當時，，當時，，∴當時，點N經(jīng)過的路程為：，當時，點N經(jīng)過的路程為：，∴點N經(jīng)過的總路程為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，解題的關鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式，直角三角形外接圓圓心為斜邊中點，胡不歸問題的解決方法，以及勾股定理和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和勾股定理．8．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線的拋物線也經(jīng)過點、點，并與軸正半軸交于點．(1)拋物線的函數(shù)表達式；(2)設點，點在拋物線對稱軸上，并使得的周長最?。^點任意作一條與軸不平行的直線交此拋物線于、兩點，試探究的值是否為定值？說明理由；(3)將拋物線適當平移后，得到拋物線，若當時，恒成立，求的最大值．【答案】(1)(2)是定值，見解析(3)【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)圖像與坐標軸的交點分別解出點的坐標，根據(jù)拋物線的對稱軸解出點的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解拋物線的解析式；（2）根據(jù)軸對稱求線段的最小值，圖形結合分析，計算出點的解析式，再解出點的坐標，用點分別表示出直線的解析式，根據(jù)勾股定理分別的值，由此即可求解；（3）根據(jù)拋物線的平移確定平移為左右平移，由此確定的二次項系數(shù)，圖形結合，根據(jù)二次函數(shù)與直線的交點的情況判斷的取值，由此即可求解．【解析】（1）解：一次函數(shù)的圖像與軸交于點，與軸交于點，令，則，令，則，∴，，方法一：∵拋物線的對稱軸為直線，且拋物線過點，，且拋物線與軸正半軸交于點，∴，設函數(shù)表達式為，點代入得，∴拋物線的解析式為；方法二：將點，，對稱軸，分別代入，∴，解得：，∴拋物線的解析式為．（2）解：的值是定值，理由如下，∵的周長為，由的周長最小，的長是定值，∴最小，∵點，點關于對稱軸對稱，∴如圖所示，連接交對稱軸于點，設所在直線的解析式為，且，，∴，解得，，∴直線的解析式為，∵點在拋物線的對稱軸的直線上，∴點的縱坐標為，∴，∵過點任意作一條與軸不平行的直線交此拋物線于、兩點，如圖所示，過點作的平行線，過點作軸的平行線，交于點，∴設，把點代入得，∴，∴∴直線的解析為，∴，整理得：，∴根據(jù)韋達定理得，，∵點、在直線上，在中，，∴，，∴，∴，同理：，，∴，∴的值是定值．（3）解：∵，設，∴，設新的拋物線與直線的相交的橫坐標分別設為，如圖所示，∵將拋物線適當平移后，得到拋物線，∴拋物線是左右平移，則，∴，由拋物線左右平移得到，觀察圖像，隨著圖像向右平移，的值不斷增大，若當時，恒成立，即，則的最大值在處，∴當時，對應的為最大值，∴，∴，（舍），∴，∴，解得，，，∴的最大值為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用，掌握二次函數(shù)圖像的性質，函數(shù)圖像平移的性質，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點的計算方法，圖形結合分析是解題的關鍵．9．如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，連接．

(1)直接寫出點B、C的坐標，B________；C________．(2)點P是y軸右側拋物線上的一點，連接、．若的面積，求點P的坐標．(3)設E為線段上任意一點（不含端點），連接，一動點M從點A出發(fā)，沿線段以每秒1個單位速度運動到E點，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到C后停止，求點M運動時間的最小值．(4)若點Q在y軸上，當取得最大值時，直接寫出點Q的坐標________．【答案】(1)，(2)或或(3)點M的運動時間的最小值為7秒(4)或【分析】（1）根據(jù)拋物線計算即可；（2）利用同底等高的三角形面積相等構造與平行直線，找到與拋物線的交點P；（3）如圖，在x軸上取一點G，連接，使得，作于N．作于交于．由點M的運動時間，，推出點M的運動時間，根據(jù)垂線段最短可知，當A，E，N關系，點N與重合，點E與重合時，點M的運動時間最少．由此即可解決問題；（4）構造以A、B為弦的圓，由圓周角性質，當圓與y軸相切時，取得最大值．【解析】（1）解：當時，，當時，，解得：，，故答案為：，；（2）解：設x軸上點D，使得的面積，，解得：，，，則可求直線解析式為：，故點D坐標為或，當D坐標為時，過點D平行于的直線l與拋物線交點為滿足條件的P，則可求得直線l的解析式為：，求直線l與拋物線交點得：，解得：，，則P點坐標為或，同理當點D坐標為時，直線l的解析式為，求直線l與拋物線交點得：，解得：（舍棄），，則點P坐標為，綜上滿足條件P點坐標為：或或；（3）解：如圖，在x軸上取一點G，連接CG，使得，作于N．作于交BC于．

，，，，直線的解析式為，點M的運動時間，，點M的運動時間，根據(jù)垂線段最短可知，當A，E，N關系，點N與重合，點E與重合時，點M的運動時間最少．由題意，，，點M的運動時間的最小值為7秒，此時．（4）解：以邊為弦作圓，圓心F在x軸上方，當圓F與y軸切于點Q時，取得最大值．如圖2：連接、、，作于點H，

則可知，，，∴點Q坐標為，根據(jù)對稱性可知，當點Q在x軸下方時，點Q的坐標為，故答案為：或；【點睛】本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)圖象性質、一次函數(shù)圖象性質及圓的有關性質，作輔助線構造圓是解答本題的關鍵．10．如圖，二次函數(shù)的圖像與直線的圖像交于，兩點，點的坐標為，點的坐標為.(1)求二次函數(shù)的表達式.(2)點是線段上的動點，將點向下平移個單位得到點.①若點在二次函數(shù)的圖像上，求的最大值.②若，線段與二次函數(shù)的圖像有公共點，請求出點的橫坐標的取值范圍.【答案】(1)；(2)①，②或【分析】（1）待定系數(shù)法計算即可．（2）①設點的坐標為，則點的坐標為，把代入構造h為函數(shù)的二次函數(shù)計算即可．②當，點的坐標為代入解析式，確定m的值，結合圖像計算即可．【解析】（1）把，代入得：，解得，，∴．（2）①設點的坐標為，則點的坐標為．把代入，得：，，∵，當時，且滿足，∴．②設點的坐標為，則點的坐標為.當，點的坐標為，把代入得：，∴或．∴或．【點睛】本題考查了拋物線的解析式，最值，點的平移，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵．11．定義：由兩條與軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．

(1)【概念理解】拋物線與拋物線________（填“能”或“不能”）圍成“月牙線”．(2)【嘗試應用】如圖，拋物線與拋物線組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線與拋物線與軸有相同的交點，（點在點的左側），與軸的交點分別為，，拋物線的解析式為，拋物線的解析式為．①求的長和的值；②將拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左或向右平移，平移后的“月牙線”與軸的交點記為，，與軸的交點記為，，當時，求平移的方向及相應的距離．【答案】(1)能，(2)①，，②拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移，或拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度．【分析】（1）分別求解兩條拋物線與x軸的交點坐標，再根據(jù)交點坐標與開口方向進行判斷即可；（2）①根據(jù)先求解M，N的坐標，再求解，再把代入，可得c的值；②當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度，可得平移后的分別解析式為，，求解的縱坐標為，的縱坐標為，而，當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左平移個單位長度，同理可得：，再建立方程求解即可．【解析】（1）解：當，解得：，，交點坐標為：，；當，解得：，，交點坐標為：，；而兩條拋物線的開口方向都向上，∴拋物線與拋物線能圍成“月牙線”（2）解：當時，解得：，，∴，，∴，把代入可得：．∴，②∵，，當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度，∴平移后的分別解析式為，，當時，，，

∴的縱坐標為，的縱坐標為，而，∴，解得：（負根舍去），∴此時拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度；當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左平移個單位長度，同理可得：，解得：（負根舍去），∴此時拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左平移個單位長度．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標，拋物線的平移，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，理解題意，建立方程求解是解本題的關鍵．12．定義：若n為常數(shù)，當一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標和為n的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象關于n的“恒值點”，例如：點（1，2）是函數(shù)圖象關于3的“恒值點”．

(1)判斷點，，是否為函數(shù)圖象關于10的“恒值點”．(2)如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），現(xiàn)將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，所得的新圖象如圖2所示．①求翻折后A，B之間的拋物線解析式．（用含b的代數(shù)式表示，不必寫出x的取值范圍）②當新圖象上恰好有3個關于c的“恒值點”時，請用含b的代數(shù)式表示c．【答案】(1)是函數(shù)圖象關于10的“恒值點”．(2)①；②或【分析】（1）由，在函數(shù)圖象上，不在函數(shù)圖象上，而，，可得是函數(shù)圖象關于10的“恒值點”．（2）①由拋物線，再根據(jù)關于x軸對稱的特點可得答案；②新圖象分兩部分，如圖，當新圖象上恰好有3個關于c的“恒值點”時，，，整理得：或，而與坐標軸構成的三角形是等腰直角三角形，求解，當過點時，滿足條件；，當與只有1個交點時，滿足條件；即有兩個相等的實數(shù)根，從而可得答案．【解析】（1）解：∵，在函數(shù)圖象上，不在函數(shù)圖象上，而，，∴是函數(shù)圖象關于10的“恒值點”．（2）①∵拋物線，∴翻折后的拋物線的解析式為，∴翻折后的解析式為：，②新圖象分兩部分，如圖，當新圖象上恰好有3個關于c的“恒值點”時，

∴，，∴整理得：或，而與坐標軸構成的三角形是等腰直角三角形，令，解得：，∴，當過點時，滿足條件；∴，當與只有1個交點時，滿足條件；∴即有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：；【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，二次函數(shù)的應用，利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，熟練的利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．13．“距離”是數(shù)學研究的重要對象，如我們所熟悉的兩點間的距離．現(xiàn)在我們定義一種新的距離：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐標系內的兩點，我們將稱作P，Q間的“L型距離”，記作L（P，Q），即．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過平面直角坐標系內的A，B，C三點，其中A，B兩點的坐標為A（－1，0），B（0，3），點C在直線x＝2上運動，且滿足．

(1)求L（A，B）；(2)求拋物線的表達式；(3)已知是該坐標系內的一個一次函數(shù)．①若D，E是圖像上的兩個動點，且，求面積的最大值；②當時，若函數(shù)的最大值與最小值之和為8，求實數(shù)t的值．【答案】(1)4；(2)；(3)①面積最大值為；②．【分析】（1）根據(jù)題干中對于“型距離”的定義，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)經(jīng)過點、、三點，所以只要求出點坐標即可：根據(jù)點在直線上運動，所以可設點，根據(jù)列方程求解出的值，利用待定系數(shù)法列方程組即可求出拋物線的表達式；（3）①根據(jù)的一邊長度固定等于5，所以只要求出頂點到的最大距離即可：由所在的直線過固定點,故直線的圖像是繞點旋轉的直線，當直線時，點到的距離最大，此時就是的最大面積，根據(jù)三角形面積公式求解即可；②根據(jù)，可得函數(shù)的解析式：，可知函數(shù)的圖像是一個開口向下，對稱軸是的拋物線，由此可知函數(shù)在對稱軸上取得最大值，根據(jù)可知當時有最小值，最后根據(jù)函數(shù)的最大值與最小值之和是8，從而列出方程即可求出的值．【解析】（1）解：由題意得：，；（2）點在直線上運動，設點，且由平面上兩點間距離，利用勾股定理得：即，又二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，，，設代入解析式得：解方程組得：拋物線的表達式為；（3）①令時，直線恒過定點直線的圖像是繞點旋轉的直線，當直線時，點到的距離最大，面積也最大，過點作交直線于點

由點到直線的距離，垂線段最短知：，面積的最大值為②二次函數(shù)的對稱軸為二次函數(shù)的圖像開口向下，當時，函數(shù)值取得最大值又當時，函數(shù)值取得最小值函數(shù)的最大值與最小值之和為8整理得：解得：實數(shù)的值為．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了對于題干中“型距離”的理解能力、以及根據(jù)“型距離”以及用待定系數(shù)法求拋物線的表達式、根據(jù)垂線段最短求三角形最大面積、根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質求函數(shù)最值等，對知識的綜合性很強．根據(jù)題意靈活運用所學知識以及扎實的計算基礎是解此題的關鍵．題型3：圓在二次函數(shù)中的應用14．如圖，拋物線y＝ax2＋bx﹣3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且經(jīng)過點（2，﹣3a），對稱軸是直線x＝1，頂點是M．(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)經(jīng)過C，M兩點作直線與x軸交于點N，在拋物線上是否存在這樣的點P，滿足以點P，A，C，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)設直線y＝﹣x＋3與y軸的交點是D，在線段BD上任取一點E（不與B，D重合），經(jīng)過A，B，E三點的圓交直線BC于點F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由．【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3(2)存在，P（2，﹣3）(3)等腰直角三角形，見解析【分析】（1）依題意聯(lián)立方程組即可求出a，b的值后可求出函數(shù)表達式．（2）分別令，求出A、B、C三點的坐標，然后易求直線CM的解析式，證明四邊形ANCP為平行四邊形可求出點P的坐標．（3）求出直線與坐標軸的交點D、B的坐標，然后證明∠AEF＝∠ABC＝45°，AE=AF，可證△AEF為等腰直角三角形．【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過點（2，﹣3a），∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，又因為拋物線對稱為x＝1，∴②，聯(lián)立①②，解得，∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）如圖1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4），令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），設直線MC為y＝kx﹣3，代入點M得k＝﹣1，∴直線MC為y＝﹣x﹣3，令y＝0，則x＝﹣3，∴N（﹣3，0），令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），過C作CP∥AN，使CP＝AN，則四邊形ANCP為平行四邊形，∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴P（2，﹣3），

∵P的坐標滿足拋物線解析式，∴P（2，﹣3）在拋物線上，即P（2，﹣3）；（3）如圖2，令x＝0，則y＝﹣x+3＝3，∴D（0，3），∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，同理，∠ABC＝45°，∵同弧所對的圓周角相等，∴∠AEF＝∠ABC＝45°，

∠AFE＝∠DBO＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴△AEF為等腰直角三角形．【點睛】本題綜合考查了等腰三角形的判定,平行四邊形的性質以及二次函數(shù)的結合圖形的應用，難度較大．15．如圖1，已知拋物線經(jīng)過原點，它的對稱軸是直線，動點從拋物線的頂點出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向上運動，設動點運動的時間為秒，連接并延長交拋物線于點，連接，．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)當為直角三角形時，求的值；(3)如圖2，為的外接圓，在點的運動過程中，點也隨之運動變化，請你探究：在時，求點經(jīng)過的路徑長度．【答案】(1)；(2)當為直角三角形時，的值為1或2或5；(3)經(jīng)過的路徑長度為【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）分分別為直角，三種情況討論，利用勾股定理進行求解即可；（3）根據(jù)為的外接圓，可知，點在線段的中垂線上，當時，點的運動路徑是在線段中垂線上的一條線段，分別求出當、和時，點的坐標，然后利用兩點間的距離公式，進行求解即可．【解析】（1）解：拋物線經(jīng)過原點，且對稱軸是直線，，，則、，拋物線解析式為；（2）解：設點，，點，則、、，①若，則，解得（舍或，，則直線解析式為，當時，，即，；②若，則，解得（舍或，，則直線解析式為，當時，，即，；③若，則，整理，得：，，，，，則或（舍，，直線解析式為，當時，，即，；綜上，當為直角三角形時，的值為1或2或5．（3）為的外接圓，點在線段的中垂線上，當時，點的運動路徑是在線段中垂線上的一條線段，當時，如圖1，由（2）知，此時的外接圓圓心是的中點，，；當時，如圖2，由（2）知，，此時的外接圓圓心是的中點，、，；當時，如圖3，由（2）知，，此時的外接圓圓心是的中點，，；則點經(jīng)過的路徑長度為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用．正確的求出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質，以及數(shù)形結合，分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．本題的綜合性強，屬于中考壓軸題．16．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于兩點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式．（2）若M是第一象限內線段上任意一點（不與B，C重合），軸于點H，與二次函數(shù)的圖象交于點P，連接．設點M的橫坐標為t，當是直角三角形時，求點M的坐標．（3）如圖，若M是直線上任意一點，N是x軸上任意一點，且．以N為旋轉中心，將逆時針旋轉，使M落在Q點連接，則線段的最值為_______．（直接寫出答案）【答案】（1）；（2）或；（3）最小值為，最大值為【分析】（1）根據(jù)A、B坐標，利用待定系數(shù)法求解；（2）求出BC表達式，分∠CPM=90°和∠PCM=90°兩種情況分別求解；（3）作的外接圓⊙，連接，，，，過點作于點，過點作交的延長線于，分析出當Q，O′，B，三點共線時，BQ可取得最值，再求解．【解析】解：（1）設拋物線的表達式為：，∴，得，∴．（2）令，，∴點坐標為，設直線BC解析式為：，，解得，∴，∵點的橫坐標為，∴點坐標為，∵，∴，∵軸，∴，∴，當時，則軸，是等腰直角三角形，∴．設點坐標為，∴，，∴，整理得：，解得：，（舍），∴點坐標為，當時，則，過作于，則軸，∴，∵，，∴，整理得：，解得：，（舍），∴點坐標為，綜上所述，點坐標為或．（3）作的外接圓⊙，連接，，，，過點作于點，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，過點作交的延長線于，∵，∴，∵MN繞點逆時針旋轉得到NQ，∴，，∵，∴，∴四邊形QKGN是矩形，∴，，∴，∴在中，，∴當且僅當，，三點共線時，BQ取得最值，即，∴，∴線段BQ的最小值為，線段BQ的最大值為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，還涉及外接圓的性質，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質，難度較大，解題時要結合圖形，畫出輔助線，解題的關鍵是根據(jù)三點共線得到取最值時的情況．題型4：新定義情景題17．在平面直角坐標系中，若對于任意兩點，、，，都有，則稱A、兩點互為“友好點”．已知點．(1)若、、，則點A的“友好點”是；(2)若、都在雙曲線上，且A、兩點互為“友好點”．請求出點的坐標；(3)已知拋物線，，，為常數(shù)）．頂點為點，與軸交于A、兩點，與直線交于、兩點．若滿足①拋物線過點；②為等邊三角形；③、兩點互為“友好點”．求的值．【答案】(1)(2)或(3)202【分析】（1）利用互為“友好點”的定義進行逐一判斷即可得出結論；（2）利用待定系數(shù)法求得值，利用互為“友好點”的定義列出關于的方程，解方程求得值即可得出結論；（3）利用待定系數(shù)法求得值，利用為等邊三角形得到，將拋物線與直線聯(lián)立得到，設，，，，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系得到；利用、兩點互為“友好點”，得到，整理得到，將此式子代入中即可得出值，將，值代入運算即可得出結論【解析】（1）解：，點A與點不是互為“友好點”；，點A與點是互為“友好點”；，點A與點不是互為“友好點”，綜上，點A的“友好點”是點，故答案為：；（2）在雙曲線上，．．、兩點互為“友好點”，，解得：或．或；（3）拋物線過點，，．拋物線與軸交于A、兩點，．拋物線的頂點為點，，．則中邊上的高為．為等邊三角形，，，，．拋物線與直線交于、兩點，，．設，，，，則，是方程的兩個根，．、兩點互為“友好點”，，，．．．．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等邊三角形的性質，一元二次方程根與系數(shù)的關系，此題是閱讀型題目，理解并熟練應用新定義的意義是解題的關鍵．18．定義：在平面直角坐標系中，點是某函數(shù)圖象上的一點，作該函數(shù)圖象中自變量大于m的部分關于直線的軸對稱圖形，與原函數(shù)圖象中自變量大于或等于m的部分共同構成一個新函數(shù)的圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關于點的“派生函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它關于點的“派生函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“派生函數(shù)”的解析式為．(1)直接寫出函數(shù)關于點的“派生函數(shù)”的解析式．(2)點M是函數(shù)的圖象上的一點，設點M的橫坐標為m，是函數(shù)G關于點M的“派生函數(shù)”．①當時，若函數(shù)值的范圍是，求此時自變量x的取值范圍；②直接寫出以點為頂點的正方形與函數(shù)的圖象只有兩個公共點時，m的取值范圍．【答案】(1)(2)①當時，；②或【分析】（1）根據(jù)“派生函數(shù)”的定義在的部分任取一點關于直線的對稱點為，運用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）①當時，的解析式為，分別求出，解得或；，解得或；即可得到當或或時，；②求出函數(shù)關于對稱的函數(shù)解析式為，再由時，即，當時，，即，可得時與正方形有兩個交點；當時，，即或，可得，即可求解．【解析】（1）解：函數(shù)在的部分任取一點關于直線的對稱點為，設函數(shù)圖象關于對稱的部分的圖象解析式為，