2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-1第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一個(gè)方程的情形方程組的情形小結(jié)思考題作業(yè)第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-2一、一個(gè)方程的情形1.

F(x,y)=0的情形隱函數(shù)存在定理1隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)二元函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)滿足:則方程F(x,y)=0在點(diǎn)P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一并有(1)

具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);條件y0=f(x0),(2)F(x0,y0)=0(3)Fy(x0,y0)

≠0

確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x),它滿足隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-3或簡(jiǎn)寫(xiě):于是得隱函數(shù)的求導(dǎo)公式所以存在的一個(gè)鄰域,在這個(gè)鄰域內(nèi)僅推導(dǎo)公式.對(duì)恒等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo),由全導(dǎo)數(shù)公式,得2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-4如,方程記(1)的鄰域內(nèi)連續(xù);所以方程在點(diǎn)附近確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、且隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)存在定理1的隱函數(shù)則(2)(3)2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-5解令則隱函數(shù)的求導(dǎo)公式例2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-62.由三元方程F(x,y,z)=0確定二元隱函數(shù)

z=f(x,y)的情形并有若三元函數(shù)F(x,y,z)滿足:一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y),它滿足條件z0=f(x0,y0),(1)在點(diǎn)P(x0,y0,z0)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);隱函數(shù)存在定理2隱函數(shù)的求導(dǎo)公式則方程F(x,y,z)=0在點(diǎn)P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能惟(2)F(x0,y0,z0)=0(3)Fz(x0,y0,z0)

≠0

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-7隱函數(shù)的求導(dǎo)公式僅推導(dǎo)公式兩邊分別關(guān)于x和y求導(dǎo),得是方程所確定的隱設(shè)函數(shù),則有恒等式所以存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域,在這個(gè)鄰域內(nèi)因?yàn)檫B續(xù),于是得2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-8例

解

則令隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-9注將再一次對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù),得對(duì)復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),需注意:導(dǎo)函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù).故對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)時(shí),仍需用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法.隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-10練習(xí)用對(duì)稱性可簡(jiǎn)化計(jì)算.解將方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo),得隱函數(shù)的求導(dǎo)公式再對(duì)上式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo),得由x,y的對(duì)稱性知,2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-11二、方程組的情形(隱函數(shù)組)

下面討論聯(lián)立方程組所確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題：確定兩個(gè)二元函數(shù)求隱函數(shù)存在定理3.請(qǐng)看課本第34頁(yè)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-12將恒等式兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo),解這個(gè)以為未知量的線性方程組.由鏈導(dǎo)法則得:隱函數(shù)的求導(dǎo)公式求2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-13解得當(dāng)系數(shù)行列式不為零時(shí),即雅可比行列式Jacobi,C.G.j(德)1804-1851隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-14同理,兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo),得隱函數(shù)的求導(dǎo)公式求2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-15特如果方程組它可能確定兩個(gè)現(xiàn)假定它確定且兩個(gè)函數(shù)都則求的方法同前面求的方法相同.為可微,別一元函數(shù),隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-16例解分析直接代入公式；法一令隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-17隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-18隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-19方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)得運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法.法二注意隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-20例

設(shè)方程組確定函數(shù)解直接代入公式；運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法.原方程組兩邊分別對(duì)法二法一x求偏導(dǎo)數(shù)：隱函數(shù)的求導(dǎo)公式u與v都視為x,y的二元函數(shù)2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-21解方程組得移項(xiàng)得：隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-22原方程組兩邊分別對(duì)解方程組得自己練y求偏導(dǎo)數(shù)：隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-23書(shū)上第36頁(yè)例4中對(duì)即因?yàn)榈慕忉?注隱函數(shù)的求導(dǎo)公式已知2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-24求例解法一對(duì)x求偏導(dǎo)：隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-25對(duì)

y求偏導(dǎo),同理，自己練.隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-26法二用全微分形式不變性求隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-27隱函數(shù)的求導(dǎo)公式y(tǒng)rxrdcosdsinqq+=qqqqqcossinsincosdrr-=2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-28思考題分析方程組中含有五個(gè)變量,由題意看出是因變量,是自變量,y究竟是因變量,還是自變量?在這種所求偏導(dǎo)是一階,而又有一變量的屬性不太明確的情況下,形式不變性來(lái)處理比較簡(jiǎn)便.用全微分隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-29解答的兩邊求全微分,得隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2011.2.6北京工商大學(xué)9-5-30三、小結(jié)(以下三種情況)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)公式201