摘要：冪級數(shù)和函數(shù)問題是數(shù)學(xué)分析課程中的重要內(nèi)容，利用函數(shù)這一數(shù)學(xué)工具可以有效解決數(shù)學(xué)中的很多問題。介紹了冪級數(shù)和函數(shù)以及求和函數(shù)的方法，對冪級數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用展開了討論。應(yīng)用冪級數(shù)的和函數(shù)解決問題，必須細(xì)心分析，選擇合適的冪級數(shù)是解決這類問題的核心。和函數(shù)可以通過逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)微分等方法求解，計(jì)算過程中要靈活變形，具體問題具體分析.掌握冪級數(shù)的和函數(shù)的應(yīng)用方法，對提高問題的解決與處理能力有重要的幫助。關(guān)鍵詞：冪級數(shù)；函數(shù)；應(yīng)用1前言1.1研究背景冪級數(shù)論起源于18世紀(jì)，是數(shù)學(xué)眾多分支學(xué)科中的一門學(xué)科。歐拉以及拉朗貝爾是先驅(qū)者，為建立冪級數(shù)論做了很多方面的工作。1774年，歐拉對冪級數(shù)的積分具有的一些性質(zhì)進(jìn)行了考量，同時(shí)發(fā)表于論文中。達(dá)朗貝爾，法國的一位數(shù)學(xué)家，在他所著的與流體力學(xué)相關(guān)的文章中提及了上述性質(zhì)，比歐拉還要更早一些。所以，人們將這兩個(gè)方程命名為了“達(dá)朗貝爾一歐拉方程”。19世紀(jì)，黎曼以及柯西對流體力學(xué)展開分析時(shí)，在以上方程的基礎(chǔ)上進(jìn)行了更加深入地探討，因而該方程也被稱之為“柯西一黎曼條件”。從這時(shí)候開始，冪級數(shù)就是針對基于復(fù)數(shù)域符合上述條件的構(gòu)建的一類解析函數(shù)展開探究。19世紀(jì)，冪級數(shù)論實(shí)現(xiàn)了全面發(fā)展，就好比微積分在18世紀(jì)的數(shù)學(xué)中占據(jù)了統(tǒng)治地位，冪級數(shù)同樣在19世紀(jì)的數(shù)學(xué)中占據(jù)了統(tǒng)計(jì)地位。黎曼、柯西以及魏爾斯特拉斯等人在復(fù)變量函數(shù)論的研究上應(yīng)用到了很多技術(shù)，對于這門學(xué)科來說，正式特征他們也已經(jīng)提出了。那時(shí)的數(shù)學(xué)家普遍認(rèn)為，冪級數(shù)論這個(gè)分支是最為豐饒的，而且將其視同為當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)享受，克萊因也指出，在抽象科學(xué)中，這個(gè)理論是其中最為和諧的一個(gè)理論。20世紀(jì)初期，歷經(jīng)較長時(shí)間的發(fā)展，冪級數(shù)論的理論越發(fā)完善，技巧也更加精湛，作為數(shù)學(xué)的組成部分之一起到了至關(guān)重要的作用。它對部分學(xué)科如數(shù)論、微分方程以及概率論等的發(fā)展起到了積極地推動(dòng)作用，諸多現(xiàn)代理論均基于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究才得以發(fā)展，冪級數(shù)論也會(huì)被用作有力工具之一讓現(xiàn)實(shí)生活中面臨地復(fù)雜計(jì)算問題得到了很好的解決，如計(jì)算穩(wěn)定場等等，也已普遍用于航空力學(xué)以及流體力學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，眾多理工科專業(yè)都將該理論的基礎(chǔ)內(nèi)容列入到了必修課程的范疇。許多數(shù)學(xué)家也進(jìn)行了非常多的研究工作，如法國的阿達(dá)瑪、瑞典的米塔-列夫勒等，冪級數(shù)論也涉及到了越來越多的研究領(lǐng)域，他們在發(fā)展、拓展并且壯大這門學(xué)科上所作的貢獻(xiàn)是非常之大的。所以，本文圍繞著冪級數(shù)理論展開，對其思想方法的具體演變進(jìn)程展開分析，不單單理論價(jià)值比較大，現(xiàn)實(shí)意義也是極為深遠(yuǎn)的。冪級數(shù)在研究函數(shù)方面是一個(gè)很有力的工具。作為函數(shù)級數(shù)中的一種，冪級數(shù)的形式比較簡單，應(yīng)用也極為廣泛，基礎(chǔ)初等函數(shù)在一定范圍內(nèi)都可展開成冪級。當(dāng)前對冪級數(shù)和函數(shù)研究在不斷發(fā)展，冪級數(shù)的性質(zhì)日益完善。在數(shù)學(xué)分析中，冪級數(shù)是至關(guān)重要的內(nèi)容之一，且從復(fù)變函數(shù)論來看，從理論與應(yīng)用這兩個(gè)層面來看，函數(shù)冪級數(shù)展開均起到了重要作用，而從復(fù)變函數(shù)來看，也被當(dāng)作了一種重要工具。運(yùn)用冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，可以解決很多數(shù)學(xué)難題。用冪級數(shù)表示的力學(xué)方程可以解決很多工程力學(xué)問題，在應(yīng)用內(nèi)容上非常豐富。目前冪級數(shù)對其他領(lǐng)域，如非線性橢圓型方程、循環(huán)碼等，的研究含不夠完善，所以要通過這個(gè)研究對冪級數(shù)和函數(shù)應(yīng)用建立完整體系。1.2研究意義當(dāng)前，對冪級數(shù)和函數(shù)的研究已經(jīng)較為全面，但在其應(yīng)用方面的總結(jié)和研究還有一定的缺陷和不足，但這個(gè)內(nèi)容對冪級數(shù)和函數(shù)能否在實(shí)際工作和生活中得到發(fā)展至關(guān)重要，所以要通過這個(gè)研究對冪級數(shù)和函數(shù)應(yīng)用建立完整體系，為一線工作人員提供理論的參考。本研究是基于冪級數(shù)和函數(shù)的理論性質(zhì)的概述和應(yīng)用相關(guān)文獻(xiàn)的總結(jié)，這對在線性遞歸數(shù)列、三角級數(shù)求和以及組合問題等多個(gè)方面對函數(shù)冪級數(shù)的應(yīng)用展開探討起到了極大地幫助，為以后的研究提供參考依據(jù)。1.3研究現(xiàn)狀函數(shù)和冪函數(shù)的應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究不斷深化，對數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究也在不斷發(fā)展。在微積分學(xué)中，無窮級數(shù)是其中的一個(gè)重要部分，數(shù)學(xué)理論研究也好，工程實(shí)際應(yīng)用也罷，都起到了非常重要的作用。作為與無窮級數(shù)相關(guān)的最為常用的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)之一，從大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來看，對冪級數(shù)問題展開分析是有著極為深遠(yuǎn)的現(xiàn)實(shí)意義的。在多個(gè)實(shí)例的基礎(chǔ)上，方艷等人[1]總結(jié)了求冪級數(shù)和函數(shù)的具體思路，并且對詳細(xì)解題過程進(jìn)行了列示。在對函數(shù)進(jìn)行表示時(shí)，冪級數(shù)通過的是冪函數(shù)的和也就是多項(xiàng)式，作為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的一種，具有形式簡單的優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用也極為廣泛。在范圍一定的情況下，對基本初等函數(shù)進(jìn)行展開是能夠得到冪級數(shù)的。冪級數(shù)是符合四則運(yùn)算法則的，提供了加減乘除這四種運(yùn)算，無論是積分還是求導(dǎo)都極為方便，所以，在對函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行探討的過程中，冪級數(shù)無疑是一種有力工具，理論證明也好，工程計(jì)算也罷，應(yīng)用都是極為廣泛的。陳芳芳[2]以函數(shù)的冪級數(shù)展開式為中心，著重對其在歐拉公式證明、近似計(jì)算、電場計(jì)算、微分方程求解以及累積分布函數(shù)計(jì)算等多個(gè)方面的應(yīng)用進(jìn)行了介紹，目的是深化知識的理解。對任何概率分布參數(shù)的估計(jì)都是至關(guān)重要的，因?yàn)椴痪_和有偏的估計(jì)可能會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)。Muhammad等人[3]研究了一種柔性冪函數(shù)分布，提出了兩種新的參數(shù)加權(quán)方法，即概率加權(quán)矩法和廣義概率加權(quán)法。ZakaA等人[4]研究了兩參數(shù)冪函數(shù)分布的極大似然估計(jì)、矩估計(jì)和百分位估計(jì)的修正。用蒙特卡羅模擬方法表明了估計(jì)量的抽樣行為。對于某些參數(shù)值組合，在偏差、均方誤差和總偏差方面，一些修正的估計(jì)量比傳統(tǒng)的極大似然估計(jì)量、矩估計(jì)量和百分位數(shù)估計(jì)量更好。同時(shí)，將函數(shù)和冪級數(shù)應(yīng)用到科研結(jié)果的驗(yàn)證，同時(shí)它們的應(yīng)用已經(jīng)發(fā)展到了各行各業(yè)，不在局限于理論的研究。密碼學(xué)是近年來發(fā)展最為迅速的非交換密碼學(xué)，其主要原因是對量子密碼分析的抵制。SakalauskasE等人[5]提出了一種基于矩陣冪函數(shù)的非對稱密碼算法。Akimenko等人[6]研究了兩種具有非線性死亡率和多循環(huán)繁殖條件的年齡結(jié)構(gòu)種群動(dòng)力學(xué)模型的行波解的顯式遞歸算法和數(shù)值性質(zhì)。遞歸公式使在研究中能夠建立精確的數(shù)值算法，并通過一組參數(shù)化代數(shù)函數(shù)對種群動(dòng)態(tài)的不同場景進(jìn)行大量模擬。從復(fù)變函數(shù)來看，主要通過下述方法來對解析函數(shù)展開了探究：1、積分表示法，提出者為Cauchy；2、冪級數(shù)方法，提出者為Weierstrass。在對解析函數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，冪級數(shù)方法是其中的重要方法之一，在復(fù)變函數(shù)論中起到了重要作用。金帥等人[7]以單復(fù)變解析函數(shù)為對象，把冪級數(shù)展開式推廣到了多復(fù)變的乘積域，也變成了對多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)展開分析的重要工具之一。Zhou等人[8]對土壤異養(yǎng)呼吸的動(dòng)態(tài)變化及其與氣候因子的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系進(jìn)行研究，用三種模型，即對數(shù)線性模型、指數(shù)模型和冪模型，進(jìn)行擬合和評價(jià)。結(jié)果表明，冪函數(shù)模型比指數(shù)衰減模型更準(zhǔn)確地描述了亞熱帶森林礦質(zhì)土壤有機(jī)碳的分解動(dòng)態(tài)。Rajat等人[9]在研究含水層物質(zhì)顆粒粒度分布對其滲透性的影響時(shí)建立了冪函數(shù)模型，所建立的冪函數(shù)模型為估算井的產(chǎn)量、土工結(jié)構(gòu)下的滲流和合理精度的過濾器設(shè)計(jì)提供了一個(gè)有效的工具。Goans[10]利用傷口保留度的冪函數(shù)描述，不同傷口類別在對數(shù)尺度上呈直線，不同坡度對應(yīng)不同保留度類別。2相關(guān)理論2.1冪級數(shù)具有下列形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為在點(diǎn)處的冪級數(shù)。稱為在點(diǎn)處的冪級數(shù)。若對冪級數(shù)中的每一個(gè)，都有，則稱為冪級數(shù)的和函數(shù)。簡單來說，對于冪級數(shù)來說，和函數(shù)是通過若干個(gè)冪函數(shù)相加而得到的。所以，以讓冪函數(shù)存在和函數(shù)為前提，自變量的取值范圍就可以叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間或者是收斂域。其中，收斂域的二分之一就可以叫做收斂半徑[11]。2.2冪級數(shù)和函數(shù)由冪級數(shù)可知，可以把冪級數(shù)的部分和記為：且部分和的極限就是和函數(shù)。即涉冪函數(shù)的和函數(shù)為，收連半徑為，則：(1)連續(xù)性對于一個(gè)冪級數(shù)而言，若其和函數(shù)為，那么屬于收斂區(qū)間的情況下，該函數(shù)是具有連續(xù)性的；也就是收斂區(qū)間中的所有點(diǎn)都是存在極限值的，和函數(shù)值是相等的。即。(2)可導(dǎo)性對于一個(gè)冪級數(shù)而言，若其和函數(shù)為，那么屬于收斂區(qū)間的情況下，該函數(shù)是存在連續(xù)的導(dǎo)數(shù)的，能夠逐項(xiàng)求導(dǎo)，也就是對于任取的一個(gè)，有，通過逐項(xiàng)求導(dǎo)可以得到一個(gè)冪級數(shù)，與原級數(shù)一樣，它們的收斂半徑是一致的；(3)可積性對于一個(gè)冪級數(shù)而言，若其和函數(shù)為，那么屬于收斂區(qū)間的情況下，該函數(shù)是可積的，還可逐項(xiàng)積分，也就是對于任取的一個(gè)，那么有通過逐項(xiàng)積分可以得到一個(gè)冪級數(shù)，與原級數(shù)一樣，它們的收斂半徑是一致的[12]。3冪級數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用研究3.1函數(shù)展開成冪級數(shù)3.1.1泰勒級數(shù)對于一個(gè)確定的函數(shù)，需要考慮能不能找出一個(gè)冪級數(shù)，不單單在某一區(qū)間表現(xiàn)出了收斂性，而且相加得到的剛好是該函數(shù)。假使可以找出這種冪級數(shù)，那么我們就能夠說，在這一收斂區(qū)間內(nèi)，函數(shù)可以展開得到冪級數(shù)。泰勒中值定理如下：存在一個(gè)函數(shù)，如果有這么一個(gè)將包括在內(nèi)的開區(qū)間，一直到都存在階導(dǎo)數(shù)，那么在屬于區(qū)間的情況下，就能夠表示成兩個(gè)部分的和，其一是的次多項(xiàng)式，其二是余項(xiàng)：其中這里是與之間的某個(gè)值。泰勒級數(shù)定義為：存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，假使在其內(nèi)存在各階導(dǎo)數(shù)，，，，，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式如下：成為冪函數(shù)該冪函數(shù)就是的泰勒級數(shù)。顯而易見的是，在的情況下，的泰勒級數(shù)是收斂的，且收斂于。除了外，的泰勒級數(shù)是否收斂？如果收斂，它是否一定收斂于？定理一：存在一個(gè)函數(shù)，若其在點(diǎn)處存在一個(gè)鄰域，在其內(nèi)存在各階導(dǎo)數(shù)，那么在這個(gè)鄰域內(nèi)可以展開并得到泰勒級數(shù)是下述條件為充要條件的：在的情況下，的泰勒余項(xiàng)趨近于零，即證明：必要性證明：設(shè)在內(nèi)能展開為泰勒級數(shù)，即：因?yàn)榈碾A泰勒公式可寫成，其中是的泰勒級數(shù)的前項(xiàng)的和，又在內(nèi)有。于是。由此，可證明條件的必要性。充分性證明：設(shè)對一切成立。因?yàn)榈碾A泰勒公式可寫成，于是，即的泰勒級數(shù)在內(nèi)收斂，并且收斂于。3.1.2麥克勞林級數(shù)在泰勒級數(shù)中取，得，此級數(shù)稱為的麥克勞林級數(shù)。假使可以展開得到的冪函數(shù)，此時(shí)該展示式具有唯一性，和的麥克勞林級數(shù)之間是具有完全一致性的。事實(shí)上，如果在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有冪級數(shù)展開式，那么必有：，，，把代入以上各式，得，，，...，...假定可以展開并得到的冪級數(shù)，此時(shí)該冪級數(shù)也為的麥克勞林級數(shù)。然而，反之并不成立，假使存在點(diǎn)的某一個(gè)鄰域，在其中是收斂的，但是有可能不會(huì)一致收斂于。所以，假使處存在各階導(dǎo)數(shù)，那么盡管可以作出的麥克勞林級數(shù)，但是在某一區(qū)間內(nèi)該級數(shù)存不存在收斂性，會(huì)不會(huì)一致收斂于還是有待考察的。3.1.3冪級數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用的步驟第一步求，，...，，...第二步求，，...，，...第三步寫出冪級數(shù)，并求出收斂半徑。第四步考察當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時(shí)余項(xiàng)的極限是否為零。若為零，則在區(qū)間內(nèi)有3.2冪級數(shù)和函數(shù)的方法探究3.2.1定義法存在一個(gè)冪級數(shù)，用來表示其前項(xiàng)和函數(shù)列，如果其存在極限，也就是存在，那么這個(gè)冪級數(shù)就是具有收斂性的，且和函數(shù)［8］。例3.2-1:求冪級數(shù)的和函數(shù)，其中，。解:當(dāng)時(shí)，該法簡單、方便而且容易操作，僅需對求解得到前項(xiàng)和進(jìn)行求極限操作即可，所以不論冪級數(shù)求和是以何種形式出現(xiàn)，該法均可適用。但是應(yīng)當(dāng)從實(shí)際問題出發(fā)來分析，如果冪級數(shù)的通項(xiàng)公式較為復(fù)雜，如等，對定義法進(jìn)行適用并不具有可操作性。3.2.2逐項(xiàng)求導(dǎo)法在冪級數(shù)通項(xiàng)中，如果系數(shù)為下述兩種情況，一種是1除以自然數(shù)，另一種是1除以兩相鄰自然數(shù)，也就是分母中包括了，那么先進(jìn)行求導(dǎo)、后進(jìn)行積分這種方法會(huì)較為可行。例3.2-2:求冪級數(shù)的和函數(shù)。解:根據(jù)題意不難發(fā)現(xiàn)，對這一冪級數(shù)而言，收斂區(qū)間是［－1，1］當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)先上式兩邊求導(dǎo)得:再求導(dǎo)得:只需2次求導(dǎo)操作就能夠得到一個(gè)特殊冪級數(shù)，系數(shù)是與無關(guān)的，相當(dāng)于一個(gè)無窮遞縮等比數(shù)列，根據(jù)求和公式可以得到：上式兩邊積分得:再積分得:于是就得到當(dāng)時(shí)的和函數(shù)為當(dāng)時(shí)，綜上所述3.2.3逐項(xiàng)積分法在冪級數(shù)通項(xiàng)中，如果系數(shù)為下述兩種情況，一種是自然數(shù)，另一種是兩相鄰自然數(shù)的乘積，即在分子上時(shí)，那么先進(jìn)行積分、后進(jìn)行求導(dǎo)這種方法會(huì)較為可行［9］。例3.2-3:求冪級數(shù)的和函數(shù)。解:根據(jù)題意不難發(fā)現(xiàn)，對這一冪級數(shù)而言，收斂區(qū)間是(－1，+1)。設(shè)兩邊除以令則將上式兩邊積分得:再積分得:再積分得:只需3次求積分操作就能夠得到一個(gè)特殊冪級數(shù)，通項(xiàng)公式是與無關(guān)的，相當(dāng)于一個(gè)無窮遞縮等比數(shù)列，根據(jù)求和公式可以得到：在上式的基礎(chǔ)上第1次求導(dǎo)，可知:第2次求導(dǎo)得:第3次求導(dǎo)得:而可得所求和函數(shù)3.2.4其他方法例3.2-4:存在一個(gè)冪級數(shù)，試求其和函數(shù)以及收斂域。解:因?yàn)楣十?dāng)時(shí)級數(shù)收斂?？芍诘那闆r下級數(shù)是收斂的，的情況下級數(shù)是發(fā)散的，因而收斂區(qū)間為［－1，1)。又由于所以，令則不難求出:故當(dāng)時(shí)，時(shí)，因?yàn)楣视?.3冪級數(shù)和函數(shù)的幾點(diǎn)應(yīng)用介紹3.3.1皮亞諾型余項(xiàng)應(yīng)用于函數(shù)冪級數(shù)的求解分析學(xué)有兩大分支，一個(gè)是級數(shù)理論，另一個(gè)是微積分學(xué)，它們當(dāng)作基礎(chǔ)知識和基本工具被廣泛用于其它各個(gè)分支，它們是以函數(shù)作為研究對象的，基本工具都是極限，一個(gè)是從離散層面，另一個(gè)是從連續(xù)層面，綜合在一起來對函數(shù)展開探究。在對函數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，級數(shù)是其中的一種重要工具，無論是從理論來看還是從實(shí)際應(yīng)用來看，均占據(jù)著非常重要的地位，理由如下：1、通過級數(shù)可讓眾多較為常見的非初等函數(shù)得到表示；2、函數(shù)也可以通過級數(shù)來表達(dá)，這樣就可通過級數(shù)來對函數(shù)展開探究。黃勇等人[13]以學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)為例，指出在級數(shù)展開法的作用下，復(fù)雜程度相對較高的變系數(shù)微分方程是可以轉(zhuǎn)化的，得到一組線性代數(shù)方程，這種轉(zhuǎn)化研究的方法還是有很大的優(yōu)勢的。陳乾等人[14]還是以學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)為例，在無窮級數(shù)這個(gè)章節(jié)中，對學(xué)生面臨學(xué)習(xí)困境的有硬件進(jìn)行了剖析，而后從下述方面著手提出了可行策略：1、“教”，2、“學(xué)”。姜瑩瑩等人[15]通過級數(shù)等多個(gè)概念的引入，比較分析了中等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)采取的學(xué)習(xí)方法上的異同之處，指出應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)換適應(yīng)。于力等人[16]圍繞著帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開，探討如何應(yīng)用于極值的判定和極限的求解。袁秀萍[17]同樣針對帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開了探究，探討的是如何應(yīng)用于考研試題方面。從分析學(xué)來看，在點(diǎn)的鄰域上對函數(shù)進(jìn)行展開，得到一個(gè)冪級數(shù)，無疑是從實(shí)際計(jì)算來看還是從函數(shù)理論來看，實(shí)用性都是比較強(qiáng)的，可對處函數(shù)的解析作出判定；在對函數(shù)能否在點(diǎn)的鄰域上展開得到冪級數(shù)作出判定時(shí)，其關(guān)鍵在于對這一鄰域內(nèi)泰勒公式余項(xiàng)的極限是否等于0作出判定。下面就要著重對皮亞諾型余項(xiàng)怎樣用于對點(diǎn)的鄰域上函數(shù)可否展開得到冪級數(shù)作出判定展開探討。在函數(shù)給定的情況下，在點(diǎn)的鄰域上對其進(jìn)行展開，得到一個(gè)冪級數(shù)，那么就需對滿足進(jìn)行證明。對于一些函數(shù)而言，通過皮亞諾型余項(xiàng)就能夠證明，過程也會(huì)極為方便，具體可以參照下述例題。例3.3-1通過直接展開法在點(diǎn)的鄰域上對函數(shù)進(jìn)行展開，得到一個(gè)冪級數(shù)。解:因，從而，所以函數(shù)生成的麥克勞林級數(shù)是，（3.3-1）根據(jù)上述過程極易得出下述結(jié)論：級數(shù)(3.3-1)的收斂半徑為，在的情況下，該級數(shù)是收斂的，在的情況下，該級數(shù)是發(fā)散的，所以收斂區(qū)間為(-1，1]。在該收斂區(qū)間內(nèi)對泰勒公式余項(xiàng)具體的極限值展開探討。因?yàn)?，得到，使用皮亞諾型余項(xiàng)，所以.對于，使用拉格朗日型余項(xiàng)，得到，其中，在0與1之間。所以，，都有，得.3.3.2Qp函數(shù)空間中的隨機(jī)函數(shù)從泛函分析、復(fù)分析以及算子理論等多個(gè)領(lǐng)域來看，全純函數(shù)空間無疑是其中的熱點(diǎn)方向之一，和眾多學(xué)科存在著極大地相關(guān)性。如利用復(fù)合算子和復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)形成了極大地相關(guān)性，利用Lipschitz算子和泛函分析形成了極大地相關(guān)性，利用Hilbert算子和多變量算子理論形成了極大地相關(guān)性。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域來看，函數(shù)空間起到了至關(guān)重要的作用，表現(xiàn)出來的形式也不相同，以調(diào)和分析領(lǐng)域?yàn)槔?，常常?huì)遇到Besov空間以及Hardy空間等。上世紀(jì)上半葉，在Hardy等眾多數(shù)學(xué)家的帶領(lǐng)下，人們對單變量Hardy空間展開了系統(tǒng)性的探討。而后，單變量解析函數(shù)空間理論實(shí)現(xiàn)了迅猛發(fā)展，空間理論以及Bergman空間理論等也在不斷被提出。從全純函數(shù)空間理論來看，空間起到了極為重要的作用，其最早出現(xiàn)于1993年Aulaskari與Lappan的文章[18]中。對于空間，可以知道，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于Dirichlet空間；當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，可以作為一般的Dirichlet型空間的生成空間，這方面引起了一些學(xué)者的關(guān)注。此外，空間也有多種推廣形式，如和空間[19-20]。隨機(jī)級數(shù)提出于1896年，提出者為Broel，但是當(dāng)作理論研究，是從Zygmund以及Steinhaus等人在20世紀(jì)三十年代發(fā)表的文章為起始點(diǎn)的[21-22]。自此，國內(nèi)外非常多的學(xué)者都對隨機(jī)級數(shù)展開了探討，成果也是比較可喜的。在對隨機(jī)級數(shù)展開的探討中，我國學(xué)者也取得了大量成果，其中較具代表性的就是余家榮教授。隨機(jī)級數(shù)可以分為很多種，如隨機(jī)Dirichlet級數(shù)和隨機(jī)冪級數(shù)等。近年來，許多學(xué)者從值分布、收斂性以及增長性等多個(gè)方面展開了探究，得出的成果也是頗具創(chuàng)造性的。全純函數(shù)均可以表示成冪級數(shù)的形式，在對單位圓盤內(nèi)的解析函數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，缺項(xiàng)冪級數(shù)或者是一般冪級數(shù)又是其中的重要工具之一，在冪級數(shù)中，隨機(jī)冪級數(shù)為其中的特殊形式之一，和缺項(xiàng)冪級數(shù)之間存在諸多相似特征，但是不同之處也是有很多的。例如，對于Hadamard缺項(xiàng)級數(shù)：已有如下結(jié)果:，從文獻(xiàn)[23-24]可以看出，上述結(jié)果并不適用于隨機(jī)冪級數(shù)。相較于一般冪級數(shù)而言，隨機(jī)冪級數(shù)是存在諸多不同之處的，以Steinhaus序列為例：，而對于一般冪級數(shù)只有因此，研究隨機(jī)冪級數(shù)所表示的函數(shù)與函數(shù)空間的關(guān)系是有必要的。隨機(jī)Dirichlet級數(shù)是序列滿足的隨機(jī)級數(shù)，其中和均為實(shí)變量。文獻(xiàn)[25]中研究了隨機(jī)Dirichlet級數(shù)的一些性質(zhì)，如增長性和收斂性.上世紀(jì)九十年代至今，在隨機(jī)泰勒級數(shù)方面人們展開了深入地分析，這里的表示的是一個(gè)復(fù)數(shù)序列，表示的是一個(gè)Rademacher序列，即僅取±1的隨機(jī)序列。1993年，Cochran，Ullrich以及Shapiro對隨機(jī)泰勒級數(shù)是在函數(shù)空間內(nèi)的等多個(gè)系數(shù)的判別條件進(jìn)行了列示。關(guān)于隨機(jī)冪級數(shù)的研究，目前在等空間上已有很好的結(jié)果，其中為隨機(jī)Bernolli序列，也就是隨機(jī)變量之間并不存在相關(guān)性，且每個(gè)變量取+1和-1的概率均為1/2。田范基在文獻(xiàn)[26]中給出了一般隨機(jī)冪級數(shù)屬于函數(shù)空間的充分條件，這里的表示的是一個(gè)隨機(jī)變量序列，具有獨(dú)立對稱性，而且符合。具有Steinhaus序列的隨機(jī)冪級數(shù)，是一類重要的隨機(jī)級數(shù)，其中為Steinhaus序列是指對于所有的有。Anderson，Clunie和Pommerenke給出了時(shí)，大概率是在空間的條件內(nèi)的，Sledd給出了時(shí)，大概率是在空間的條件內(nèi)的。此外，1994年，烏蘭哈斯對隨機(jī)冪級數(shù)大概率在與內(nèi)的條件進(jìn)行了列示。3.3.3無理性冪級數(shù)理論在函數(shù)上的應(yīng)用從冪級數(shù)理論研究來看，構(gòu)造出某一種不在單位圓范圍內(nèi)不可開拓的冪級數(shù)是其中的一塊重要內(nèi)容。魏爾斯特拉斯最開始對其展開了探究，同時(shí)對自然邊界這個(gè)概念進(jìn)行了引入。隨后包括波萊爾以及龐加萊等在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)家展開了深入分析，同時(shí)構(gòu)造出了各式各樣的例子。1921年，赫克引入了無理性冪級數(shù)，作為不在單位圓范圍內(nèi)不可開拓的冪級數(shù)中的一種，施瓦茲、紐曼以及莫德爾等多位數(shù)學(xué)家都展開了深入探討，得出了非常多有用結(jié)論。Car01l等人則讓無理性冪級數(shù)理論得到了更為快速的發(fā)展。1921年，在《論解析函數(shù)和模1數(shù)的分布》[27]中，赫克以數(shù)為對象，根據(jù)外爾均勻分布以及模1均勻分布這兩大定理，提出，如果是一個(gè)無理數(shù)，那么不在單位圓范圍內(nèi)的情況下，與這兩個(gè)冪級數(shù)顯然是無法開拓的。這里的和分別代表的分?jǐn)?shù)部分與整數(shù)部分。需要注意，赫克認(rèn)為，二次域上還是能夠?qū)缂墧?shù)系數(shù)展開討論的。1938年，由于赫克帶來的影響，在《模l數(shù)的分布及其代數(shù)數(shù)》[28]中，CPisot在整系數(shù)的冪級數(shù)的基礎(chǔ)上結(jié)合了單位圓范圍內(nèi)的共軛代數(shù)數(shù)類，得出了許多頗有價(jià)值的結(jié)論，其中的一個(gè)結(jié)論是不在單位圓范圍內(nèi)的整系數(shù)冪級數(shù)能夠開拓，這個(gè)結(jié)論起到了重要作用。在Pisot等人進(jìn)行的工作的基礎(chǔ)上，RSalem對于與整系數(shù)冪級數(shù)相關(guān)的理論進(jìn)行了證實(shí)，指出問題中存在的代數(shù)性質(zhì)。1949年，在《具有整系數(shù)的冪級數(shù)》[29]中，Salem從對數(shù)進(jìn)行探究這一視角著手，對整系數(shù)冪級數(shù)的各種理論展開了分析。Salem總結(jié)得到，赫克定理不以均勻分布定理為前提也能得到證明，同時(shí)對下述結(jié)論進(jìn)行了證明，其中赫克的理論也涵蓋在內(nèi)。用代表一個(gè)正有理函數(shù)，是會(huì)無限增大的，存在一個(gè)級數(shù)，表示其收斂半徑，是的極點(diǎn)之一，是任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，那么如果為代數(shù)整數(shù)；就為代數(shù)的，而且有理數(shù)域的判定條件全部不符合，則。的自然邊界是單位圓。證明會(huì)用到兩個(gè)定理，一個(gè)是波利亞一卡爾松定理，另一個(gè)是普林斯海姆定理。1962年，在《無理性冪級數(shù)》[30]中，得益于擴(kuò)大數(shù)域法的采用，施瓦茲對這一定理進(jìn)行了推廣。Salem感謝KurtMahler教授，他是受到Mahler教授所寫的信的啟發(fā)，信中談及了ATllue(1863—1922)于1912年所寫的一篇文章，該文章對PV數(shù)具有的性質(zhì)展開了分析，這讓他也格外的注意。對于一個(gè)冪級數(shù)來看，其系數(shù)是會(huì)極大地影響到收斂邊界上的各種表現(xiàn)的，1892年阿達(dá)瑪就已經(jīng)對此進(jìn)行了明確。隨后，眾多數(shù)學(xué)家都對不在收斂區(qū)間內(nèi)的函數(shù)能不能夠解析開拓展開了探究，如斯?jié)晒?、波萊爾以及奧斯特洛斯基等，提出了部分極為重要的定理，也舉出了部分極具代表性的無法解析開拓的例子。在數(shù)論理論持續(xù)發(fā)展的同時(shí)，人們也構(gòu)造出了越來越多的無法解析開拓的例子，無理性冪級數(shù)便是其中之一。莫德爾、赫克以及紐曼等多位數(shù)學(xué)家展開了深入探討，已有較多深刻結(jié)論得出。在對所得結(jié)論進(jìn)行證明時(shí)，外爾均勻分布定理無疑是其中一個(gè)重要基礎(chǔ)。從無理性冪級數(shù)理論后期取得的發(fā)展來看，Caroll等多位數(shù)學(xué)家將該理論歸結(jié)到了不可開拓冪級數(shù)理論的范疇，使之變成了一種特殊情形。4結(jié)論與展望冪級數(shù)在賦值過程中存在截?cái)嗾`差，且很多無窮級數(shù)收斂速度慢，需要較大的展開項(xiàng)數(shù)才能獲得可靠的逼近效果。此外，這些逼近方法在自變量區(qū)間內(nèi)效果不穩(wěn)定，例如冪級數(shù)展開在零點(diǎn)附近時(shí)有較好的逼近效果，而漸近級數(shù)展開通常在自變量取值較大時(shí)才能很好地逼近原函數(shù)。在計(jì)算機(jī)技術(shù)持續(xù)發(fā)展的同時(shí)，計(jì)算能力的提高，出現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)軟件，例如Matlab、Maple等，這些數(shù)學(xué)軟件由算法標(biāo)準(zhǔn)程序發(fā)展而來，可以對函數(shù)進(jìn)行賦值和操作。但是這些數(shù)學(xué)軟件中對特殊函數(shù)的賦值算法還是不夠豐富、高效。因此，探索更精確高效的賦值算法，具有重要意義?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】方艷,程航.冪級數(shù)和函數(shù)的幾種常見解法[J].海峽科學(xué),2018(02):87-88.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