第0章自動控制原理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)0.1拉普拉斯變換0.2輻角原理0.3Z變換理論

拉普拉斯變換簡稱拉氏變換，是工程實踐中用來求解線性常微分方程的簡便工具，同時也是建立系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。經(jīng)過拉氏變換后，一個微分方程式將變?yōu)橐粋€代數(shù)方程式，這樣會使求解微分方程的過程簡化許多。

0.1拉普拉斯變換

0.1.1拉普拉斯變換的定義

如果f(t)是一個以時間為變量的函數(shù)，其定義域為t>0，且

式中，a

是正數(shù)，那么對所有實部大于a的復(fù)數(shù)來說，積分

是絕對收斂的，即滿足

s=σ+jω為復(fù)變量，則式(0-2)定義為f(t)的拉氏變換F(s)，即

式(0-4)中，F(xiàn)(s)是f(t)的象函數(shù)，記為F(s)=L[f(t)]；f(t)是F(s)的原函數(shù)，記為f(t)=L-1[F(s)]。

在本書中常用函數(shù)的拉普拉斯變換如表0-1所示。

0.1.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

1.線性性質(zhì)

若F1(s)=L[f1(t)]，F(xiàn)2(s)=L[f2(t)]，a

和b為常數(shù)，那么有

L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]=aF1(s)+bF2(s)(0-5)

2.微分定理

若F(s)=L[f(t)]，那么有

式中，f(0)是函數(shù)f(t)在t=0時的值。

函數(shù)f(t)的高階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換相應(yīng)為

當(dāng)原函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都等于零時，式(0-9)將變?yōu)?/p>

3.積分定理

若F(s)=L[f(t)]，那么有

式中，f

(-1)(0)是函數(shù)∫f(t)dt在t=0時的值。

4.位移定理

若F(s)=L[f(t)]，那么有

式(0-12)值和定式理(0-13)分別表示實域中的位移定理和復(fù)數(shù)域中的位移定理。

5.終值定理

若函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，那么函數(shù)f(t)的終值為

即函數(shù)f(t)在自變量t趨于無窮大時的極限值等于函數(shù)sF(s)在自變量s趨于零時的極限值。

6.初值定理

若函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，那么函數(shù)f(t)的初值為

即函數(shù)f(t)在自變量t趨于零(從正趨于零)時的極限值等于函數(shù)sF(s)在自變量s趨于無窮大時的極限值。

0.1.3拉普拉斯反變換

一般地，F(xiàn)(s)是復(fù)變量s的有理代數(shù)分式，可以表示為如下形式:

式中，系數(shù)a1，a2，…，an，b0，b1，b2，…，bm

都是實常數(shù)，且m<n。下面將F(s)寫為部分分式形式，則有

式中，s1，s2，…，sn

是A(s)=0的根，稱為F(s)的極點。根據(jù)A(s)=0有無重根，下面分兩種情況討論。

1)A(s)=0無重根

2)A(s)=0有重根

然后，根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)，可求出F(s)的原函數(shù)f(t)，即求出其拉氏反變換為

0.2輻角原理

0.2.1函數(shù)F(s)的映射設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)為復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，表示為式中，z1，z2，…，zm

為F(s)的零點；p1，p2，…，pn為F(s)的極點。

若F(s)是復(fù)變量s=σ+jω的一個函數(shù)，則F(s)為復(fù)數(shù)，可以寫成

式中，U(σ，ω)和V(σ，ω)是實函數(shù)。

定義在s平面某一個域內(nèi)的函數(shù)F(s)在該域內(nèi)解析的充分必要條件是它的導(dǎo)數(shù)在該域內(nèi)連續(xù)。可以證明，s的所有有理函數(shù)在s平面內(nèi)除了奇點外處處解析。

因此，在s平面內(nèi)畫一條封閉曲線，并使其不通過F(s)的任一奇點，則在F平面內(nèi)存在一條映射曲線與之對應(yīng)，如圖0-2所示。圖0-2s平面和F平面映射關(guān)系

0.2.2輻角原理

設(shè)復(fù)變量s沿封閉曲線Γs

在s平面內(nèi)順時針運動一周，那么，根據(jù)函數(shù)F(s)的性質(zhì)，在F平面內(nèi)那條對應(yīng)的映射曲線ΓF

的運動方向可能為順時針，也可能為逆時針。Γs曲線和ΓF

曲線的映射關(guān)系如圖0-3所示。圖0-3Γs曲線和ΓF曲線的映射關(guān)系

根據(jù)式(0-26)，復(fù)變函數(shù)F(s)相角可以表示為

輻角原理設(shè)s平面閉合曲線Γs圍F(s)的Z個零點和P個極點，則s沿閉合曲線Γs順時針運動一周時，在F平面上，F(xiàn)(s)閉合曲線ΓF包圍原點的圈數(shù)

R<0表示ΓF順時針包圍F平面的原點，R>0表示F逆時針包圍F平面的原點，R

=0表示不包圍F平面的原點(或順時針包圍F平面原點和逆時針包圍F平面原點的圈數(shù)相當(dāng)，這種情況視為不被包圍)。

0.3Z變換理論

0.3.1Z變換的定義

求Z變換的方法有很多，這里主要介紹兩種常用的方法。

1.級數(shù)求和法

級數(shù)求和法是直接根據(jù)Z變換的定義，將式(0-35)寫成展開形式:

2.部分分式法

若連續(xù)時間函數(shù)f(t)的拉氏變換式為有理函數(shù)形式，可以先展開成部分分式之和的形式，即

式中，si

是F(s)的極點，ci

為常系數(shù)，其計算方法同式(0-19)。這樣，ci

/(s-si)對應(yīng)的時間函數(shù)為ci

esit

，從而可知其Z變換為ci

z/(z-esiT)。所以可以得到

0.3.2Z變換的性質(zhì)

1.線性定理

2.實數(shù)位移定理(平移定理)

實數(shù)位移是指整個采樣序列在時間軸上左右平移若干個采樣周期，其中向左移為超前，向右移為滯后。實數(shù)位移定理為

3.復(fù)數(shù)位移定理(平移定理)

如果函數(shù)f(t)是可拉氏變換的，其Z變換為F(z)，則有

4.初值定理

5.終值定理

6.卷積定理

設(shè)x(nT)和y(nT)為兩個采樣函數(shù)，其離散卷積定義為

則卷積定理為

若g(nT)=x(nT)*y(nT)，則

卷積定理指出，兩個采樣函數(shù)卷積的Z變換等于這兩個采樣函數(shù)相應(yīng)Z變換的乘積。卷積定理是溝通時域與Z域的橋梁。

0.3.3Z反變換

和拉氏變換相似，Z反變換可表示為

1.冪級數(shù)法(綜合長除法)