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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,且在上是單調(diào)函數(shù),則下列說法正確的是()A. B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱2.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.333.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為的共軛復(fù)數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.4.已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個相異的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.5.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,則的最小值為A. B. C. D.6.如圖在一個的二面角的棱有兩個點(diǎn),線段分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直于棱,且,則的長為()A.4 B. C.2 D.7.已知,,若,則實(shí)數(shù)的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或78.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.-60 B.240 C.-80 D.18010.已知橢圓的短軸長為2,焦距為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)為上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.12.二項(xiàng)式的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為()A. B.80 C. D.160二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),過點(diǎn)的一條直線與圓相交于兩點(diǎn),若存在點(diǎn),使得,則橢圓的離心率取值范圍為_________.14.執(zhí)行以下語句后,打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:_____.15.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有四個不同的解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16.已知為矩形的對角線的交點(diǎn),現(xiàn)從這5個點(diǎn)中任選3個點(diǎn),則這3個點(diǎn)不共線的概率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大?。唬?)求點(diǎn)到平面的距離.18.(12分)如圖,D是在△ABC邊AC上的一點(diǎn),△BCD面積是△ABD面積的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.(Ⅰ)若θ=,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求邊AC的長.19.(12分)已知某種細(xì)菌的適宜生長溫度為12℃~27℃,為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量(單位:個)隨溫度(單位:℃)變化的規(guī)律,收集數(shù)據(jù)如下:溫度/℃14161820222426繁殖數(shù)量/個2530385066120218對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后,得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值,如表所示:20784.11123.8159020.5其中,.(1)請繪出關(guān)于的散點(diǎn)圖,并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于溫度的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由);(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(結(jié)果精確到0.1);(3)當(dāng)溫度為27℃時(shí),該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為多少?參考公式:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計(jì)分別為,,參考數(shù)據(jù):.20.(12分)已知在ΔABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosB(1)求b的值;(2)若cosB+3sin21.(12分)設(shè)點(diǎn),動圓經(jīng)過點(diǎn)且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),且直線與軸交于點(diǎn),設(shè),,求證:為定值.22.(10分)在中,設(shè)、、分別為角、、的對邊,記的面積為,且.(1)求角的大??;(2)若,,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)函數(shù),在上是單調(diào)函數(shù),確定,然后一一驗(yàn)證,A.若,則,由,得,但.B.由,,確定,再求解驗(yàn)證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計(jì)算是否為0.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),在上是單調(diào)函數(shù),所以,即,所以,若,則,又因?yàn)?,即,解得,而,故A錯誤.由,不妨令,得由,得或當(dāng)時(shí),,不合題意.當(dāng)時(shí),,此時(shí)所以,故B正確.因?yàn)椋瘮?shù),在上是單調(diào)遞增,故C錯誤.,故D錯誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于較難的題.2、C【解析】
依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí),,n=2時(shí),,n=3時(shí),,n=4時(shí),,n=5時(shí),.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3、D【解析】
按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出,再寫出,進(jìn)而求出.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模,考查基本運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】=,當(dāng)時(shí)時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增,且當(dāng),當(dāng),
當(dāng)時(shí),恒成立,時(shí),單調(diào)遞增且,方程R)有四個相異的實(shí)數(shù)根.令=則,,即.5、C【解析】
將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對稱軸是,所以,即,所以,又,所以的最小值為.故選C.6、A【解析】
由,兩邊平方后展開整理,即可求得,則的長可求.【詳解】解:,,,,,,.,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.7、C【解析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,代入化簡可得.∴解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí),所以,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
求的展開式中的常數(shù)項(xiàng),可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng),再求和即可得出答案.【詳解】由題意,中常數(shù)項(xiàng)為,中項(xiàng)為,所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,考查學(xué)生計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
先求出橢圓方程,再利用橢圓的定義得到,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求,從而可得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有,故,故橢圓,因?yàn)辄c(diǎn)為上的任意一點(diǎn),故.又,因?yàn)椋?,所?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì),一般地,如果橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)為上的任意一點(diǎn),則有,我們常用這個性質(zhì)來考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題,本題屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù),即可容易求得最小值.【詳解】由于,故其最小值為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù),以及求三角函數(shù)的最值,屬綜合基礎(chǔ)題.12、A【解析】
求出二項(xiàng)式的展開式的通式,再令的次數(shù)為零,可得結(jié)果.【詳解】解:二項(xiàng)式展開式的通式為,令,解得,則常數(shù)項(xiàng)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解,關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通式,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè),設(shè)出直線AB的參數(shù)方程,利用參數(shù)的幾何意義可得,由題意得到,據(jù)此求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè),直線AB的參數(shù)方程為,(為參數(shù))代入圓,化簡得:,,,,存在點(diǎn),使得,,即,,,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解,考查直線、圓與橢圓的綜合運(yùn)用,考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用,屬于中檔題.14、1【解析】
根據(jù)程序框圖直接計(jì)算得到答案.【詳解】程序在運(yùn)行過程中各變量的取值如下所示:是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán),所以打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:1故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.15、【解析】
設(shè),判斷為偶函數(shù),考慮x>0時(shí),的解析式和零點(diǎn)個數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象,即可得到的范圍.【詳解】設(shè),則在是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,由得,記,,,故函數(shù)在增,而,所以在減,在增,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因此的圖象為因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)問題,涉及構(gòu)造函數(shù),函數(shù)的奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想方法,以及化簡運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.16、【解析】
基本事件總數(shù),這3個點(diǎn)共線的情況有兩種和,由此能求出這3個點(diǎn)不共線的概率.【詳解】解:為矩形的對角線的交點(diǎn),現(xiàn)從,,,,這5個點(diǎn)中任選3個點(diǎn),基本事件總數(shù),這3個點(diǎn)共線的情況有兩種和,這3個點(diǎn)不共線的概率為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查對立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)建立空間坐標(biāo)系,通過求向量與向量的夾角,轉(zhuǎn)化為異面直線與直線所成的角的大??;(2)先求出面的一個法向量,再用點(diǎn)到面的距離公式算出即可.【詳解】以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建系,設(shè)所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為,異面直線與直線所成的角的大小為.(2)因?yàn)椋?,設(shè)是面的一個法向量,所以有即,令,,故,又,所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點(diǎn)到面的距離,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)利用三角形面積公式以及并結(jié)合正弦定理,可得結(jié)果.(Ⅱ)根據(jù),可得,然后使用余弦定理,可得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ),所以所以;(Ⅱ),所以,所以,,所以,所以邊.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式,正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,關(guān)鍵在于識記公式,屬中檔題.19、(1)作圖見解析;更適合(2)(3)預(yù)報(bào)值為245【解析】
(1)由散點(diǎn)圖即可得到答案;(2)把兩邊取自然對數(shù),得,由計(jì)算得到,再將代入可得,最終求得,即;(3)將代入中計(jì)算即可.【詳解】解:(1)繪出關(guān)于的散點(diǎn)圖,如圖所示:由散點(diǎn)圖可知,更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于的回歸方程類型;(2)把兩邊取自然對數(shù),得,即,由.∴,則關(guān)于的回歸方程為;(3)當(dāng)時(shí),計(jì)算可得;即溫度為27℃時(shí),該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為245.【點(diǎn)睛】本題考查求非線性回歸方程及其應(yīng)用的問題,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力及運(yùn)算能力,是一道中檔題.20、(1)b=32【解析】試題分析:(1)本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值,所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將cosB,cosC分別用邊表示,再根據(jù)正弦定理可以將sinAsinC轉(zhuǎn)化為ac,于是可以求出b的值;(2)首先根據(jù)sinB+3cosB=2求出角B的值,根據(jù)第(1)問得到的b值,可以運(yùn)用正弦定理求出ΔABC外接圓半徑R,于是可以將a+c轉(zhuǎn)化為2RsinA+2R試題解析:(1)由cosB應(yīng)用余弦定理,可得a2化簡得2b=3則b=(2)∵cos∴12cos∵B∈(0,π)∴B+π6=法一.∵2R=b則a+c==sin=3=3sin又∵0<A<2π3,法二因?yàn)閎=32得34又因?yàn)閍c≤(a+c2)2所以34=(a+c)∴a+c≤3又由三邊關(guān)系定理可知綜上a+c∈(考點(diǎn):1.正、余弦定理;2.正弦型函數(shù)求值域;3.重要不等式的應(yīng)用.21、(1);(2)見解析.【解析】
(1)已知點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,由此可得曲線的方程;(2)設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達(dá)定理得,,由,,用橫坐標(biāo)表示出,然后計(jì)算,并代入,可得結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)動圓圓心,由拋物線定義知:點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,設(shè)其方程為,則,解得.∴曲線的方程為;(2)證明:設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由得,①,則,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.【點(diǎn)睛】本題考查求曲線方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線相交問題中的定值問題.解題方法是設(shè)而不求的思想方法,即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)直線方程,直線方程代入拋物線
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