知識點(diǎn)

橢圓的幾何性質(zhì)3.1.2

橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程

+

=1(a>b>0)

+

=1(a>b>0)范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a對稱性對稱軸為x軸、y軸,對稱中心為原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長長軸長為2a,短軸長為2b離心率e=

(0<e<1)知識拓展1.橢圓的通徑:過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫作橢圓的通徑,通徑長為

.2.焦半徑:橢圓上的任一點(diǎn)P(x0,y0)與焦點(diǎn)F1或F2之間的線段的長度叫作橢圓的焦半徑.記r1=

PF1,r2=PF2,則①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),r1=a+ex0,r2=a-ex0;②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),r1=a+ey0,r2=a-ey0.3.焦點(diǎn)弦:過焦點(diǎn)的直線與橢圓相交形成的弦.焦點(diǎn)弦中通徑最短.4.最大角:已知橢圓C:

+

=1(a>b>0),F1,F2分別為它的左、右焦點(diǎn),A,B分別為它的左、右頂點(diǎn),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P為C的上(下)頂點(diǎn)時(shí),∠F1PF2最大且∠APB最大.知識辨析1.橢圓的頂點(diǎn)是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)嗎?2.若橢圓的中心在原點(diǎn),頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,則一定能根據(jù)橢圓頂點(diǎn)的坐標(biāo)判斷橢圓焦點(diǎn)的位置

嗎?3.橢圓的離心率e決定著橢圓的扁平程度,e越大,橢圓越扁;e越小,橢圓越圓,這種說法正確嗎?一語破的1.不一定是.橢圓的頂點(diǎn)是橢圓與其對稱軸的交點(diǎn).若橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,則此時(shí)橢圓的

對稱軸是坐標(biāo)軸,頂點(diǎn)可看作橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).2.不一定.當(dāng)橢圓的中心在原點(diǎn)時(shí),若只知道橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo),或一條坐標(biāo)軸上的兩個(gè)頂

點(diǎn)坐標(biāo),無法判斷焦點(diǎn)的位置;若知道不在同一條坐標(biāo)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),則可判斷焦點(diǎn)

位置.3.正確.由e=

=

可知,e越大,

越小,橢圓越扁;e越小,

越大,橢圓越圓.

1.已知橢圓方程,確定橢圓的幾何性質(zhì)的步驟(1)將所給方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式;(2)判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸;(3)確定a,b,由a2=b2+c2求出c,從而確定相關(guān)性質(zhì).2.利用橢圓的性質(zhì)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,通常用待定系數(shù)法:(1)與橢圓

+

=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程為

+

=k1(k1>0,a>b>0)或

+

=k2(k2>0,a>b>0).(2)與橢圓

+

=1(a>b>0)有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為

+

=1(a2>b2>k).定點(diǎn)1橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用?關(guān)鍵能力定點(diǎn)破典例(1)求兩個(gè)頂點(diǎn)分別為(3,0),(-3,0),離心率為

的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)(

,-

),且與橢圓

+

=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析

(1)若焦點(diǎn)在x軸上,則a=3,由

=

,得c=2

,∴b2=a2-c2=1,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+y2=1;若焦點(diǎn)在y軸上,則b=3,將

=

代入b2=a2-c2中,得a2-

a2=9,∴a2=81,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+y2=1或

+

=1.(2)解法一:設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0),由題意得c=

=4,又橢圓過點(diǎn)(

,-

),所以由橢圓的定義知2a=

+

=4

,所以a=2

,故b2=a2-c2=4.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.解法二:設(shè)所求橢圓的方程為

+

=1(k<9),把點(diǎn)(

,-

)代入,得

+

=1,解得k=5或k=21(舍).所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.

求橢圓離心率的兩種方法(1)若已知a,c,則可直接利用e=

求解;若已知a,b(或b,c),可由a2=b2+c2求出c(或a),再代入e=

求解;(2)若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立a,b,c的關(guān)系式,由a2=b2+c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程

或不等式,然后兩邊同時(shí)除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程或不等式,解得e的值或范圍,最

后結(jié)合0<e<1得出結(jié)果.定點(diǎn)2橢圓離心率的求解典例(1)若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,求橢圓的離心率;(2)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0),點(diǎn)F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),在橢圓C上存在點(diǎn)P,且P在以原點(diǎn)O為圓心,

c為半徑的圓上,求橢圓離心率的取值范圍.解析

(1)不妨設(shè)該橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,根據(jù)題意得橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等

邊三角形,如圖,則∠BF1F2=60°,tan∠BF1F2=

=

=

,所以b=

c,由a2=b2+c2=3c2+c2=4c2,得e2=

=

,因?yàn)?<e<1,所以e=

.(2)因?yàn)镻在以原點(diǎn)為圓心,

c為半徑的圓上,所以b≤

c≤a,又

c≤a?e≤

,b≤

c?

≤3?

≤3?

≤2?e≥

,所以

≤e≤

.故橢圓離心率的取值范圍是

.與橢圓有關(guān)的最值問題的常用解法(1)利用定義將其轉(zhuǎn)化為幾何問題,解題時(shí)可結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)、平面幾何中的定理、性

質(zhì)等進(jìn)行求解.特別地,橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn),距離的最大值

為a+c,最小值為a-c.(2)利用換元法將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理,此時(shí),應(yīng)注意橢圓中x,y的取值范圍.定點(diǎn)3與橢圓有關(guān)的最值問題典例已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,離心率e=

,長軸長為4,過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn)(非長軸端點(diǎn)).(1)求橢圓C的方程;(2)已知點(diǎn)Q(0,2),求線段MQ長度的取值范圍;(3)延長MO交橢圓C于點(diǎn)P,求△MNP的面積的最大值.思路點(diǎn)撥

(1)利用長軸長及離心率求出a,c,再利用b2=a2-c2求出b2,從而求得橢圓方程.(2)設(shè)點(diǎn)

M(x0,y0),利用兩點(diǎn)間距離公式,結(jié)合點(diǎn)在橢圓上及變量的范圍,即可求得MQ長度的范圍.(3)設(shè)

直線l的方程為x=my+

,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線l與橢圓的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出線段MN的長,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離,表示出三角形的面積,最后根據(jù)基本不等式求面積的最

大值.解析

(1)由題意得2a=4,∴a=2.又∵e=

=

,∴c=

,∴b2=a2-c2=1.∴橢圓C的方程為

+y2=1.(2)設(shè)M(x0,y0),則

+

=1,y0∈[-1,0)∪(0,1],∴MQ=

=

=

,y0∈[-1,0)∪(0,1].結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知,線段MQ長度的取值范圍是[1,2

)∪

.(3)設(shè)直線l的方程為x=my+

,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立

消去x,得(4+m2)y2+2

my-1=0.易知Δ>0,y1+y2=

,y1y2=

,∴MN=

=

.又原點(diǎn)O到直線l的距離d=

,∴P到直線l的距離為2d=

,∴S△MNP=

MN·2d=

.令

=t,則m2=t2-1,t≥1,則S△MNP=

=

≤

=2,當(dāng)且僅當(dāng)t=

時(shí),取等號.所以△MNP的面積的最大值是2.1.解決定點(diǎn)問題,需要注意兩個(gè)方面(1)抓“特值”,涉及的定點(diǎn)多在兩條坐標(biāo)軸上,所以可以從斜率不存在或斜率為0的特殊情況

入手找出定點(diǎn),為解題指明方向.(2)抓“參數(shù)之間的關(guān)系”,定點(diǎn)問題多是直線過定點(diǎn),其實(shí)質(zhì)就是求解直線方程中參數(shù)之間

的關(guān)系,所以要熟悉直線方程的特殊形式,若直線方程為y=kx+b,則直線恒過點(diǎn)(0,b),若直線方

程為y=k(x-a),則直線恒過點(diǎn)(a,0).2.定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題,解決定值問題的常用方法:(1)從特殊情況入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān).(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.定點(diǎn)4與橢圓有關(guān)的定點(diǎn)、定值問題典例已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)均在直線x+y-

=0上.(1)求橢圓C的方程;(2)已知點(diǎn)A(2,1),若過點(diǎn)B(3,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,直線AM和直線AN的斜率

分別為k1和k2,求證:k1+k2為定值.思路點(diǎn)撥

(1)求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),可得橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得c,b,再

由a2=b2+c2求出a2,從而得橢圓方程.(2)設(shè)直線方程為y=k(x-3),M(x1,y1),N(x2,y2),將直線方程與橢

圓方程聯(lián)立,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算k1+k2即可.解析

(1)對于x+y-

=0,當(dāng)x=0時(shí),y=

,當(dāng)y=0時(shí),x=

,因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)均在直線x+y-

=0上,所以b=

,c=

,所以a2=b2+c2=6,所以橢圓的方程為

+

=1.(2)證明:易知B(3,0)在橢圓外,因?yàn)檫^點(diǎn)B(3,0)的直線