2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，則（）A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．3．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．4．已知直線：過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．5．設(shè)，，則的值為（）A． B．C． D．6．著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，滿足，，，若，則()A．2020 B．4038 C．4039 D．40407．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．8．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．9．一個組合體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．10．已知集合，，則A． B．C． D．11．已知冪函數(shù)的圖象過點，且，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，若圓上有且僅有一對點，使得的面積是的面積的2倍，則的值為_______.14．曲線在處的切線方程是_________．15．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有1，2，3，4，5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金．若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．16．在長方體中，，，，為的中點，則點到平面的距離是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，，若存在實數(shù)使成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點A，B，求線段的長.19．（12分）如圖，橢圓的左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為，，且，為等邊三角形，過點的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形面積的取值范圍．20．（12分）已知動圓恒過點，且與直線相切.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點，的平行線交軌跡于，兩點，交軌跡在處的切線于點，問：是否存在實常數(shù)使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21．（12分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.22．（10分）已知為坐標(biāo)原點，單位圓與角終邊的交點為，過作平行于軸的直線，設(shè)與終邊所在直線的交點為，.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先確定集合中的元素，然后由交集定義求解．【詳解】，.故選：A．【點睛】本題考查求集合的交集運算，掌握交集定義是解題關(guān)鍵．2、D【解析】

先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選：D【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3、B【解析】

根據(jù)，可知命題的真假，然后對取值，可得命題的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.【詳解】對命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用，識記真值表，屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)直線：過雙曲線的一個焦點，得，又和其中一條漸近線平行，得到，再求雙曲線方程.【詳解】因為直線：過雙曲線的一個焦點，所以，所以，又和其中一條漸近線平行，所以，所以，，所以雙曲線方程為.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用倍角公式求得的值，利用誘導(dǎo)公式求得的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，進而求得的值，最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，，，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題，涉及到的知識點有誘導(dǎo)公式，正切倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，正切差角公式，屬于基礎(chǔ)題目.6、D【解析】

計算，代入等式，根據(jù)化簡得到答案.【詳解】，，，故，，故.故選：.【點睛】本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.7、C【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項進行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：在上不單調(diào)，不符合題意；C：為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

分別取、的中點、，連接、、，利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，，，且、分別為、的中點，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內(nèi)，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題．9、C【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱，從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得，幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱，故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，即，故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.10、D【解析】

因為，，所以，，故選D．11、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】試題分析：，故選A.【考點】復(fù)數(shù)運算【名師點睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算的法則是進行復(fù)數(shù)運算的理論依據(jù)，加減運算類似于多項式的合并同類項，乘法法則類似于多項式的乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數(shù)化.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

寫出所在直線方程，求出圓心到直線的距離，結(jié)合題意可得關(guān)于的等式，求解得答案．【詳解】解：直線的方程為，即．圓的圓心到直線的距離，由的面積是的面積的2倍的點，有且僅有一對，可得點到的距離是點到直線的距離的2倍，可得過圓的圓心，如圖：由，解得．故答案為：．【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系以及點到直線的距離公式應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．14、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得，所以，所以切線方程為故答案為：【點睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.15、20.2【解析】

分別求出隨機變量ξ1和ξ2的分布列，根據(jù)期望和方差公式計算得解.【詳解】設(shè)a，b∈{1，2，1，4，5}，則p（ξ1＝a），其ξ1分布列為：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分別為：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案為：2，0.2．【點睛】此題考查隨機變量及其分布，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機變量取值的概率，根據(jù)公式準(zhǔn)確計算期望和方差.16、【解析】

利用等體積法求解點到平面的距離【詳解】由題在長方體中，，，所以，所以，設(shè)點到平面的距離為，解得故答案為：【點睛】此題考查求點到平面的距離，通過在三棱錐中利用等體積法求解，關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】試題分析：先將問題“存在實數(shù)使成立”轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可獲解.試題解析：存在實數(shù)使成立，等價于的最大值大于，因為，由柯西不等式：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，故常數(shù)的取值范圍是．考點：柯西不等式即運用和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的運用.18、（1）l：，C：；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進行轉(zhuǎn)換；

（2）由（1）可得曲線是圓，求出圓心坐標(biāo)及半徑，再求得圓心到直線的距離，即可求得的長.【詳解】（1）由題意可得直線：，由，得，即，所以曲線C：.（2）由（1）知，圓，半徑.∴圓心到直線的距離為：.∴【點睛】本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長的求法、運算求解能力，是中檔題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)和為等邊三角形可得，進而得到橢圓方程；（2）①當(dāng)直線斜率不存在時，易求坐標(biāo)，從而得到所求面積；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，并確定的取值范圍；利用，代入韋達定理的結(jié)論可求得關(guān)于的表達式，采用換元法將問題轉(zhuǎn)化為，的值域的求解問題，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域；結(jié)合兩種情況的結(jié)論可得最終結(jié)果.【詳解】（1），，為等邊三角形，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)四邊形的面積為．①當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，，．②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得：，，，．，，，，面積．令，則，，令，則，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，．綜上所述：四邊形面積的取值范圍是．【點睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的四邊形面積的取值范圍的求解問題；關(guān)鍵是能夠?qū)⑺竺娣e表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問題.20、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結(jié)合已知點的坐標(biāo)，即可求得方程；（2）由拋物線方程求得點的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，利用導(dǎo)數(shù)求得點的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，結(jié)合韋達定理，求得，進而求得與之間的大小關(guān)系，即可求得參數(shù).【詳解】（1）由題意得，點與點的距離始終等于點到直線的距離，由拋物線的定義知圓心的軌跡是以點為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，則，.∴圓心的軌跡方程為.（2）因為是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點，由（1）不妨取，所以直線的斜率為1.因為，所以設(shè)直線的方程為，.由，得，則在點處的切線斜率為2，所以在點處的切線方程為.由得所以，所以.由消去得，由，得且.設(shè)，，則，.因為點，，在直線上，所以，，所以，所以.∴故存在，使得.【點睛】本題考查拋物線軌跡方程的求解，以及拋物線中定值問題的求解，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬綜合性中檔題.21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）采用分析法論證，要證，分式化整式為，再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為，再作差提取公因式論證.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】（1）要證，即證，即證，即證，即證，即證，該式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故.（2）由基本不等式得，，