第二章

第6節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)分類落實(shí)考點(diǎn)分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識(shí)分類落實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)回扣知識(shí)1知識(shí)梳理///////1.對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作

，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).x＝logaN2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式NlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)

定義域：值域：當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0

在(0，＋∞)上是

在(0，＋∞)上是(0，＋∞)R(1，0)增函數(shù)減函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)

(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線

對(duì)稱.4.反函數(shù)y＝logaxy＝x1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x. (

) (2)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對(duì)數(shù)函數(shù). (

)

(4)當(dāng)x>1時(shí)，若logax>logbx，則a<b. (

)

解析

(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)錯(cuò)誤. (2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)為對(duì)數(shù)函數(shù)，故(2)錯(cuò)誤. (4)若0<b<1<a，則當(dāng)x＞1時(shí)，logax＞logbx，故(4)錯(cuò)誤.××√×2.log29×log34＋2log510＋log50.25＝ (

) A.0 B.2 C.4 D.6

解析原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)

＝4＋log525＝4＋2＝6.D3.函數(shù)y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的圖象恒過的定點(diǎn)是______________.

解析當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值為2， 所以圖象恒過定點(diǎn)(2，2).(2，2)解析

法一因?yàn)閍log34＝2，所以log34a＝2，則4a＝32＝9，法二因?yàn)閍log34＝2，B5.(2019·天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系為(

) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b

解析

顯然c＝0.30.2∈(0，1).

因?yàn)閘og33<log38<log39， 所以1<b<2.

因?yàn)閘og27>log24＝2， 所以a>2.

故c<b<a.A6.(多選題)(2021·武漢聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的圖象與g(x)＝2x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，令h(x)＝f(1－|x|)，則關(guān)于函數(shù)h(x)有下列說法，其中正確的說法為(

) A.h(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.h(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C.h(x)的最大值為0 D.h(x)在區(qū)間(－1，1)上單調(diào)遞增 解析

函數(shù)f(x)的圖象與g(x)＝2x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱， ∴f(x)＝log2x， ∴h(x)＝log2(1－|x|)為偶函數(shù)，不是奇函數(shù)， ∴A錯(cuò)誤，B正確； 根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知D錯(cuò)誤； ∵1－|x|≤1， ∴h(x)≤log21＝0，故C正確.BC考點(diǎn)分層突破題型剖析考點(diǎn)聚焦2解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算///////自主演練A2.(多選題)(2021·臨沂期末)若10a＝4，10b＝25，則 (

) A.a＋b＝2 B.b－a＝1 C.ab＞8lg22 D.b－a＞lg6

解析

由10a＝4，10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25， 則a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正確；

ab＝lg4·lg25＝4lg2·lg5＞4lg2·lg4＝8lg22，故C正確.故選ACD.ACD1所以t＝2，則a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.421.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.感悟升華考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用///////師生共研D解析

如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線y＝－x＋a在y軸上的截距.由圖可知，當(dāng)a>1時(shí)，直線y＝－x＋a與y＝f(x)只有一個(gè)交點(diǎn).(1，＋∞)1.在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).2.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.感悟升華【訓(xùn)練1】(1)(多選題)函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)， 其中a＞0，a≠1)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是(

) A.a＞1

B.0＜c＜1 C.0＜a＜1

D.c＞1

解析

由圖象可知函數(shù)為減函數(shù)， 所以0＜a＜1， 令y＝0得loga(x＋c)＝0，

x＋c＝1，x＝1－c.由圖象知0＜1－c＜1， ∴0＜c＜1.BC【訓(xùn)練1】(2)(2021·西安調(diào)研)設(shè)x1，x2，x3均為實(shí)數(shù)，且e－x1＝lnx1，

e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，則 (

) A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x2<x3<x1 D.x2<x1<x3D由圖象直觀性，知x2<x1<x3.考點(diǎn)三解決與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題///////多維探究A解析

∵3log32＝log38<2，∵3log53＝log527>2，∴a<c<b.故選A.B∴a<b.解析因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)，B解

若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0，∴l(xiāng)og2(1＋a)＝0，∴a＝0.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－x是R上的奇函數(shù).所以a＝0.故只要a≥0，則a的取值范圍是[0，＋∞).則log2(1＋a)≥log2(4a＋2).1.比較對(duì)數(shù)值的大小與解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需要分a>1與0<a<1兩種情況討論.2.與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.感悟升華【訓(xùn)練2】(1)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系是 (

) A.a＝b<c B.a＝b>c C.a<b<c D.a>b>cB所以a＝b>c.【訓(xùn)練2】(2)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.

解析當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是減函數(shù)， 由f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立， 則f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1， 即8－2a>a，且8－2a>0，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在[1，2]上是增函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.∴8－a<a且8－2a>0，此時(shí)解集為?.課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3一、選擇題1.設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則 (

) A.a＋b<ab<0 B.ab<a＋b<0 C.a＋b<0<ab D.ab<0<a＋b

又a>0，b<0，故ab<a＋b<0.B所以m＋4≤0，即m≤－4.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－4].D3.已知lga＋lgb＝0，則函數(shù)f(x)＝a－x與函數(shù)g(x)＝logbx的圖象可能是 (

)

解析由lga＋lgb＝0，得ab＝1.

因此f(x)＝bx與g(x)＝logbx單調(diào)性相同. A，B，D中的函數(shù)單調(diào)性相反，只有C的函數(shù)單調(diào)性相同.C解析

由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.所以原式＝2|lg2|＋2|lg5|＝2(lg2＋lg5)＝2.AAAC因?yàn)樗?/p>

，故B錯(cuò)誤；因?yàn)樗怨蔆正確；二、填空題7.若log43＝mlog23，則logm＝________. ∴l(xiāng)ogm＝－2.－28.(2021·濟(jì)南檢測(cè))已知函數(shù)y＝loga(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A也在函數(shù)f(x)＝3x＋b的圖象上，則b＝________.

解析令2x－3＝1，得x＝2， ∴定點(diǎn)為A(2，2)，將定點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)f(x)中， 得2＝32＋b，解得b＝－7.－7所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此時(shí)無解.

三、解答題10.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1). (1)求函數(shù)f(x)的解析式； 解

當(dāng)x<0時(shí)，－x>0， 由題意知f(－x)＝loga(－x＋1)， 又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， 所以f(－x)＝f(x).

所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝loga(－x＋1)， 所以函數(shù)f(x)的解析式為三、解答題10.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1). (2)若－1<f(1)<1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解

因?yàn)椋?<f(1)<1，所以－1<loga2<1，所以f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<－1或x>1}.解

f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，當(dāng)x>1時(shí)，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因?yàn)閤∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范圍是(－∞，1].12.(2021·重慶調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在[m，n]?D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域?yàn)閇m，n]，那么就稱

y＝f(x)是定義域?yàn)镈的“成功函數(shù)”.若函數(shù)g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是 (

)

解析因?yàn)間(x)＝loga(a2x＋t)是定義在R上的“成功函數(shù)”， 所以g(x)為增函數(shù)，且g(x)在[m，n]上的值域?yàn)閇m，n]， 故g(m)＝m，g(n)＝n， 即g(x)＝x有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根.A又loga(a2x＋t)＝x，即a2x－ax＋t＝0.令s＝ax，s>0，即s2－s＋t＝0有兩個(gè)不同的正數(shù)根，13.(多選題)(2021·長(zhǎng)沙調(diào)研)關(guān)于函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列結(jié)論正確的是