§8.5多元函數(shù)的極值與最值

一、二元函數(shù)的極值

二、二元函數(shù)的最值內(nèi)容提要

三、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、二元函數(shù)的極值在許多實(shí)際問題中，常常遇到求多元函數(shù)的極值或者最大值、最小值的問題．1．極值與極值點(diǎn)的定義

定義8.5.1函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的任意一點(diǎn)都有則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極大值稱為函數(shù)的極大值點(diǎn);如果都適合不等式則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極小值實(shí)例1函數(shù)在點(diǎn)處有極小值．因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)的鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都有從幾何上看這是顯然的，因?yàn)辄c(diǎn)是開口朝上的橢圓拋物面的頂點(diǎn)．實(shí)例2函數(shù)在點(diǎn)處有極大值．因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)的鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都有從幾何上看這是顯然的.實(shí)例3函數(shù)在點(diǎn)處既不取得極大值也不取得極小值．因?yàn)?，而在點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)，總有點(diǎn)使得和點(diǎn)使得成立．從幾何上看，它表示雙曲拋物面(馬鞍面).如何求二元函數(shù)的極值呢？下面兩個(gè)定理是關(guān)于二元函數(shù)極值問題的結(jié)論．2．極值存在的必要條件如果二元函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，那么固定，一元函數(shù)在點(diǎn)處也必取得相同的極值；同理，固定，在點(diǎn)處也取得相同的極值．因此，由一元函數(shù)極值的必要條件，我們可以得到二元函數(shù)極值的必要條件．極值存在的必要條件與一元函數(shù)的情形類似，對(duì)于多元函數(shù)，能使所有的一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)．定理8.5.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，且在該點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則必有注（1）由定理8.5.1可知，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)．（2）函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).如:點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是函數(shù)的極值點(diǎn)．（3）函數(shù)的極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)．如：函數(shù)在點(diǎn)處有極大值，但在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在(即不是駐點(diǎn))．怎樣判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？下面的定理回答了這個(gè)問題．3．極值存在的充分條件定理8.5.2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)一階與二階偏導(dǎo)數(shù),且是一個(gè)駐點(diǎn)，即令則在點(diǎn)取得極值的條件如表所示：判別式是極大值是極小值不是極值不確定ABC法則（A）.有極大值（B）.有極小值（C）.不取極值（D）.可能取極值，也可能不取極值課堂練習(xí)B例8.5.1求

的極值。解:

得方程組解之得駐點(diǎn)為(0,0),(1,1)，又因?yàn)榱?/p>

整理結(jié)果，各駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極值判別如表所示。由上表可知，(1,1)點(diǎn)是極小值點(diǎn)，f(1,1)=-1是函數(shù)的極小值．駐點(diǎn)

ABC0-30無極值6-36極小值例8.5.2求

的極值。解:

解方程組求得駐點(diǎn)為(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2),再求出二階偏導(dǎo)數(shù)整理結(jié)果，各駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極值判別如表所示。駐點(diǎn)

ABC(1,0)1206(1,2)120-6無極值(-3,0)-1206無極值(-3,2)-120-6極小值極大值課堂練習(xí)求函數(shù)的極值.

函數(shù)解解方程組得駐點(diǎn)為(0,0),(2,2),駐點(diǎn)

ABC-82-242-2無極值是極大值由上表可知，(0,0)是極大值點(diǎn)，f(0,0)=0是函數(shù)的極大值．二、二元函數(shù)最值與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.1.多元函數(shù)極值的一些結(jié)論：（2）函數(shù)在閉區(qū)域的最值只能在駐點(diǎn)、偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)及閉區(qū)域的邊界上取得。（1）閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。(1)求出函數(shù)在D內(nèi)部的駐點(diǎn)處的函數(shù)值駐點(diǎn)邊界上的最值比較這些函數(shù)值的大小,最大的就是函數(shù)在D上的最大值,最小的就是函數(shù)在D上的最小值.（內(nèi)點(diǎn)）（邊界上）(3)PK2.閉區(qū)域D上可導(dǎo)函數(shù)的最值一般求法(2)求函數(shù)在區(qū)域邊界上的最值

實(shí)際問題最值的求法則該駐點(diǎn)必為所求的最值點(diǎn).若只有唯一駐點(diǎn)，對(duì)該唯一駐點(diǎn)無需用ABC法則判斷其是否為極值點(diǎn)。三個(gè)條件缺一不可若實(shí)際問題在區(qū)域內(nèi)存在最值，且目標(biāo)函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)，問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省?解：設(shè)箱子的長寬高分別為x、y、z（單位m）則高箱子所用材料的面積當(dāng)表面積S最小時(shí)，所用材料最省例8.5.3要用鐵板做一個(gè)體積為的有蓋長方體水箱,

根據(jù)題意可斷定該問題必有最小值存在，又為定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn)，因此該駐點(diǎn)即為函數(shù)的最小值點(diǎn)，此時(shí)，高

從而得出當(dāng)長方體的長、寬、高都等于

m

時(shí)所用材料最省。是極大值.由問題的實(shí)際意義知最大利潤一定存在，且利潤函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)且只有這一個(gè)駐點(diǎn)，所以此駐點(diǎn)一定是最大值點(diǎn)．即生產(chǎn)120單位產(chǎn)品甲與80單位產(chǎn)品乙時(shí)所得利潤最大．三、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問題，對(duì)于函數(shù)的自變量一般只要求限制在定義域內(nèi)，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值．但在實(shí)際問題中，還會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有其它附加條件的極值問題，我們稱之為條件極值．設(shè)二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)(其中為參數(shù))的無條件極值問題．例8.5.5

求表面積為而體積為最大的長方體的體積．