專題小卷（10）一次函數(shù)的5種常見應(yīng)用類型一最大利潤(rùn)問(wèn)題1.(★★☆)某手機(jī)專賣店銷售一臺(tái)A型手機(jī)的利潤(rùn)為100元,銷售一臺(tái)B型手機(jī)的利潤(rùn)為150元,該

專賣店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的手機(jī)共20臺(tái),其中B型手機(jī)的進(jìn)貨量不超過(guò)A型手機(jī)的3倍,設(shè)購(gòu)

進(jìn)A型手機(jī)x臺(tái),這20臺(tái)手機(jī)的銷售總利潤(rùn)為y元.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.(2)該專賣店購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)、B型手機(jī)各多少臺(tái),才能使銷售總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少?(1)∵購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)x臺(tái),購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的手機(jī)共20臺(tái),∴購(gòu)進(jìn)B型手機(jī)(20-x)臺(tái).∵銷售一臺(tái)A型手機(jī)的利潤(rùn)為100元,銷售一臺(tái)B型手機(jī)的利潤(rùn)為150元,∴銷售總利潤(rùn)y=100x+150(20-x)=-50x+3000.∵B型手機(jī)的進(jìn)貨量不超過(guò)A型手機(jī)的3倍,∴20-x≤3x,解得x≥5,∴y=-50x+3000(5≤x≤20).(2)∵k=-50<0,∴y隨x的增大而減小,∴x=5時(shí),y最大,y最大=-50×5+3000=2750,此時(shí)20-x=15.答:該專賣店購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)5臺(tái),B型手機(jī)15臺(tái),才能使銷售總利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為2750元.類型二行程問(wèn)題2.(★★☆)甲、乙兩人參加全程7.5千米的馬拉松比賽,已知他們參賽時(shí)各自的路程y(千米)與時(shí)

間x(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系分別如圖所示.下面是甲、乙兩人的對(duì)話:甲:我前面跑得有點(diǎn)快了,在距離起點(diǎn)①千米的補(bǔ)給站休息了②分鐘,我的成績(jī)是③分鐘.乙:我在補(bǔ)給站見到你了,我的成績(jī)是④分鐘.根據(jù)信息,解決問(wèn)題:(1)填空:①

,②

,③

,④

.(2)已知甲、乙兩人于上午7:50起跑,則兩人何時(shí)在補(bǔ)給站相遇?(3)當(dāng)乙抵達(dá)終點(diǎn)時(shí),甲距離終點(diǎn)還有多少千米?

(1)由圖象可知,甲在距離起點(diǎn)5千米的補(bǔ)給站休息了45-30=15(分鐘),成績(jī)?yōu)?0分鐘,乙的成績(jī)?yōu)?0分鐘.故答案為5;15;70;60.(2)由圖象知,乙的速度為

=0.125(千米/分鐘),∴乙到達(dá)補(bǔ)給站所用時(shí)間為

=40(分鐘),∵甲、乙兩人于上午7:50起跑,∴甲、乙兩人于上午8:30在補(bǔ)給站相遇.(3)甲休息后的速度為

=0.1(千米/分鐘),當(dāng)乙抵達(dá)終點(diǎn)時(shí),甲距離終點(diǎn)還有(70-60)×0.1=1(千米).類型三方案選擇問(wèn)題3.(2024山東淄博臨淄期末,21,★★☆)小剛想在以下兩種燈中選購(gòu)一盞.一種是功率為9瓦(即0.00

9千瓦)的節(jié)能燈,售價(jià)為49元/盞;另一種是功率為40瓦(即0.04千瓦)的白熾燈,售價(jià)為18元/盞,已知

小剛家所在地的電價(jià)是每千瓦時(shí)0.5元.若照明時(shí)間是x小時(shí),一盞節(jié)能燈的費(fèi)用為y1元,一盞白熾

燈的費(fèi)用為y2元.【注:費(fèi)用包含燈的售價(jià)和電費(fèi);電費(fèi)=0.5×燈的功率(單位:千瓦)×照明時(shí)間(單

位:小時(shí))】(1)請(qǐng)分別寫出y1,y2與照明時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)若使用兩種燈的費(fèi)用一樣,則照明時(shí)間是多少小時(shí)?(3)小剛想在這兩種燈中選購(gòu)一盞.假設(shè)照明時(shí)間是3000小時(shí),則選購(gòu)哪一種燈比較合算?說(shuō)明理

由.(1)根據(jù)題意,得y1=0.5×0.009x+49=0.0045x+49,y2=0.5×0.04x+18=0.02x+18.(2)令y1=y2,則0.0045x+49=0.02x+18,解得x=2000,∴當(dāng)照明時(shí)間是2000小時(shí)時(shí),使用兩種燈的費(fèi)用一樣.(3)節(jié)能燈.理由如下:當(dāng)x=3000時(shí),y1=0.0045×3000+49=62.5,y2=0.02×3000+18=78.∵62.5<78,∴當(dāng)照明時(shí)間是3000小時(shí)時(shí),選購(gòu)節(jié)能燈比較合算.類型四分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題4.(2023四川達(dá)州期末改編,24,★★☆)為鼓勵(lì)居民節(jié)約用電,某市電力公司采用分段計(jì)費(fèi)方式計(jì)

算電費(fèi).計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表:用電量不超過(guò)180度的部分超過(guò)180度但不超過(guò)280度的部分超過(guò)280度的部分計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(元/度)0.50.60.8(1)若小明家每月交電費(fèi)y元,每月用電量為x度,用含x的代數(shù)式表示電費(fèi)y.①當(dāng)0≤x≤180時(shí),y=

.②當(dāng)180<x≤280時(shí),y=

.③當(dāng)x>280時(shí),y=

.(2)小明家某月交電費(fèi)132元,求小明家該月用電量為多少度.(3)采用分段計(jì)費(fèi)制度后,小明家月用電量為多少度時(shí),當(dāng)月的平均電價(jià)為0.55元/度?(1)①當(dāng)0≤x≤180時(shí),y=0.5x,故答案為0.5x.②當(dāng)180<x≤280時(shí),y=0.5×180+0.6×(x-180)=90+0.6x-108=0.6x-18,故答案為0.6x-18.③當(dāng)x>280時(shí),y=0.5×180+0.6×(280-180)+0.8×(x-280)=0.8x-74.故答案為0.8x-74.(2)易知小明家該月用電量超過(guò)180度但不超過(guò)280度.將y=132代入y=0.6x-18,可得0.6x-18=132,解

得x=250.故小明家該月用電量為250度.(3)當(dāng)月用電量超過(guò)180度但不超過(guò)280度時(shí),0.55x=0.6x-18,解得x=360(不符合題意,舍去);當(dāng)月用電量超過(guò)280度時(shí),0.55x=0.8x-74,解得x=296.答:當(dāng)小明家月用電量為296度時(shí),當(dāng)月的平均電價(jià)為0.55元/度.類型五幾何問(wèn)題5.(2024山東淄博沂源期末,23,★★★)如圖,已知函數(shù)y=-

x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱.(1)直接寫出A、B、C的坐標(biāo):A(

)、B(

)、C(

).(2)求直線AB的函數(shù)解析式.(3)設(shè)點(diǎn)M是x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線,交直線AB于點(diǎn)P,交直線BC于點(diǎn)Q.①若△PQB的面積為2,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).②點(diǎn)M在線段AO上運(yùn)動(dòng),連接BM,若∠BMP=∠BAC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(1)-4,0;0,2;4,0.詳解:對(duì)于y=-

x+2,令x=0,得y=2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),令y=0,得x=4,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0).故答案為-4,0;0,2;4,0.(2)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b(k≠0),將A(-4,0),B(0,2)代入得

解得

∴直線AB的函數(shù)解析式為y=

x+2.(3)①由題意,設(shè)M(m,0),其中m<0,則OM=-m,∵直線BC的解析式為y=-

x+2,直線AB的解析式為y=

x+2,∴P

,Q

,∴PQ=-

m+2-

=-m,∵S△PQB=

PQ·OM,∴

×(-m)2=2,解得m=-2或m=2(舍去),當(dāng)m=-2時(shí),-

m+2=3,∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,3).②如圖,由(1)知A(-4,0),B(0,2),C(4,0),∵點(diǎn)M在線段AO上運(yùn)動(dòng),∴設(shè)M(x,0),其中-4≤x≤0,∴BM2=x2+4,MC2=(4-x)2,BC2=20,

∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,∠BMP=∠BAC,∴∠BMP=∠BAC=∠