9.2.4總體離散程度的估計學(xué)習(xí)任務(wù)1．結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析)2．理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義．(直觀想象)甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．經(jīng)過計算可知甲、乙的命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)都是7環(huán)．問題：若從二人中選一人去參與射擊大賽，只用平均數(shù)能否作出選擇？學(xué)問點(diǎn)方差、標(biāo)準(zhǔn)差1．一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差和標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為1ni＝1nx2．總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差：假如總體中全部個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體的平均數(shù)為Y，則稱S2＝1Ni＝1N(2)總體方差的加權(quán)形式：假如總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1，2，…，k)，則總體方差為S2＝1N3．樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差假如一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為y，則稱s2＝1ni＝1n4．標(biāo)準(zhǔn)差的意義標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?．分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為x，其中兩層的個體數(shù)量分別為n1，n2，兩層的平均數(shù)分別為x1，x2，方差分別為s121．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒有波動變更，則標(biāo)準(zhǔn)差為0． ()(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍為[0，＋∞)． ()(3)標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)四周越集中；標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)四周越分散． ()(4)一般狀況下數(shù)據(jù)中絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在x-2s，(5)計算分層隨機(jī)抽樣中總樣本的平均數(shù)與方差時，必需已知各層的權(quán)重． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√(5)√2．已知一個樣本中的數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，則該樣本的方差為________；標(biāo)準(zhǔn)差為________．[答案]223．某班為了了解學(xué)生每周購買零食的支出狀況，利用分層隨機(jī)抽樣抽取了一個15人的樣本統(tǒng)計如下：性別學(xué)生數(shù)平均支出(元)方差男生9406女生6354則全班學(xué)生每周購買零食的平均費(fèi)用為________；方差為________．[答案]3811.2類型1方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)與計算【例1】(1)已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為x，方差為s2，則()A．x＝4，s2<2 B．x＝4，s2>2C．x>4，s2<2 D．x>4，s2>2(2)若40個數(shù)據(jù)的平方和是56，平均數(shù)是22(1)A(2)0.931010[(1)因?yàn)槟?個數(shù)的平均數(shù)為4，所以這7個數(shù)的和為4×7＝28，因?yàn)榧尤胍粋€新數(shù)據(jù)4，所以x＝28+48＝4．又因?yàn)檫@7個數(shù)的方差為2，且加入一個新數(shù)據(jù)4，所以這8個數(shù)的方差(2)由方差公式s2＝x1得s2＝x12+由已知得n＝40，∴s2＝5640-222＝0.9方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算技巧與性質(zhì)(1)方差的計算①基本公式：s2＝1n[x1-x2②簡化計算公式：s2＝1nx12(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)若把一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)變?yōu)樵瓉淼膋倍并加上或減去常數(shù)a，則它的標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍，方差變?yōu)樵瓉淼膋2倍，而與a的大小無關(guān)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(多選)下列四個選項(xiàng)中，正確的是()A．極差與方差都反映了數(shù)據(jù)的集中程度B．方差是沒有單位的統(tǒng)計量C．標(biāo)準(zhǔn)差比較小時，數(shù)據(jù)比較分散D．只有兩個數(shù)據(jù)時，極差是標(biāo)準(zhǔn)差的2倍(2)樣本中共有五個個體，其值分別為a，0，1，2，3．若該樣本的平均數(shù)為1，則樣本的方差為________．(1)AD(2)2[(1)設(shè)兩個數(shù)據(jù)分別為x1，x2，則極差等于x2-x(2)由平均數(shù)為1可得a+解得a＝－1．所以樣本的方差s2＝-1-1類型2方差和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用【例2】為響應(yīng)“綠色出行”號召，某市先后推出了“共享單車”和“新能源分時租賃汽車”，并支配在甲、乙兩個工廠選擇一個工廠生產(chǎn)汽車輪胎，現(xiàn)分別從甲、乙兩廠各隨機(jī)選取10個輪胎，將每個輪胎的寬度(單位：mm)記錄下來并繪制出如下的折線圖：(1)分別計算甲、乙兩廠供應(yīng)的10個輪胎寬度的平均數(shù)；(2)輪胎的寬度在[194，196]內(nèi)，則稱這個輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎．試比較甲、乙兩廠分別供應(yīng)的10個輪胎中全部標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小，依據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動狀況，推斷這兩個工廠哪個工廠會被選擇．[解](1)甲廠供應(yīng)的10個輪胎寬度的平均數(shù)為110×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝19乙廠供應(yīng)的10個輪胎寬度的平均數(shù)為110×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝19(2)甲廠供應(yīng)的10個輪胎的寬度在[194，196]內(nèi)的數(shù)據(jù)為195，194，196，194，196，195，共6個，標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均數(shù)為195+194+196+乙廠供應(yīng)的10個輪胎的寬度在[194，196]內(nèi)的數(shù)據(jù)為195，196，195，194，195，195，共6個，標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均數(shù)為195+方差為16×(0＋1＋0＋1＋0＋0)＝1由于甲、乙兩廠標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均數(shù)相等，但乙的方差更小，所以乙廠的輪胎會被選擇．在實(shí)際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要探討方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度．在平均數(shù)相同的狀況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，離散程度越小，數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．汽車行業(yè)是碳排放量比較大的行業(yè)之一，某檢測單位對甲、乙兩類MI型品牌的新車各抽取了5輛進(jìn)行CO2排放量檢測，記錄如下(單位：g/km)，則甲、乙兩品牌汽車CO2的排放量穩(wěn)定性更好的是()甲80110120140150乙100120100120160A．甲 B．乙C．甲、乙相同 D．無法確定B[甲類品牌汽車的CO2排放量的平均值x甲甲類品牌汽車的CO2排放量的方差s甲2＝15×[(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)乙類品牌汽車的CO2排放量的平均值x乙乙類品牌汽車的CO2排放量的方差s乙2＝15×[(100－120)2＋(120－120)2＋(100－120)2＋(120－120)2所以s乙故選B.]類型3分層隨機(jī)抽樣的方差【例3】某市教化部門接受分層隨機(jī)抽樣的方法從甲、乙、丙三個學(xué)校選取了100名學(xué)生的某次考試數(shù)學(xué)成果(單位：分)，并制成如下表格：學(xué)校學(xué)生數(shù)平均數(shù)方差甲409810乙309212丙309515試估計這次考試數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)與方差．[解]由題意可得，樣本平均數(shù)x＝1100(40×98＋30×92＋30×95)＝95.3(分)，方差s2＝1100{40×[10＋(98－95.3)2]＋30×[12＋(92－95.3)2]＋30×[15＋(95－95.3)2]}＝18.3分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為x1，x2，…，xn，方差分別為s12，s22，…，sn2，相應(yīng)的權(quán)重分別為w1，[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．甲、乙兩支田徑隊(duì)體檢結(jié)果為：甲隊(duì)體重的平均數(shù)為60kg，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1∶4，求甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差．[解]由題意可知x甲＝60，甲隊(duì)隊(duì)員在全部隊(duì)員中所占權(quán)重為11+4＝15，x乙＝70，乙隊(duì)隊(duì)員在全部隊(duì)員中所占權(quán)重為41+4＝45，則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重為x1．甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環(huán)數(shù)x及其方差s2如表所示，則選送決賽的最佳人選應(yīng)是()項(xiàng)目甲乙丙丁x7887s26.36.378.7A.甲B．乙C．丙D．丁B[∵x乙＝x丙>2．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是3，方差是12，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5A．5，12B．5，2C．3，2D．3，B[因?yàn)閿?shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是3，方差是12，所以x＝3，15i＝15xi-32＝12，因此數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，2x3－1，23．某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為________；(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為________．(1)7(2)2[(1)x＝7(2)∵s2＝110×[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2．4．在對某中學(xué)高一學(xué)生體重的調(diào)查中，實(shí)行按樣本量比例支配的分層隨機(jī)抽樣，已知抽取了男生30人，其平均數(shù)和方差分別為55和15，抽取了女生20人，其平均數(shù)和方差分別為45和20．依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該校高一學(xué)生體重的總樣本的平均數(shù)為________，方差為________．5141[總樣本的平均數(shù)為3030+20×55+2030+20×45＝51，總樣本的方差為回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．描述數(shù)據(jù)的離散程度的量有哪些？分別如何描述的？[提示]數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述．(1)極差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差．它反映了一組數(shù)據(jù)變更的最大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值特別敏感．(2)方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。疄榱说玫揭詷颖緮?shù)據(jù)的單位表示的波動幅度通常用標(biāo)準(zhǔn)差．在平均數(shù)相同的狀況下，方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性差；方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)越小，數(shù)據(jù)越集中、越穩(wěn)定．2．如何計算一組數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差？[提示](1)公式法：s2＝1n[x1-x2＋x2-(2)性質(zhì)法：若x1，x2，…，xn的方差為s2，則mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的方差為m2s2．3．如何計算分層隨機(jī)抽樣的方差？[提示]計算分層隨機(jī)抽樣的方差s2的步驟(1)分層隨機(jī)抽樣中兩組數(shù)據(jù)x，y的抽樣比例是nm(2)總體均值為z＝(3)總體方差s2＝nn+m[sx2＋x課時分層作業(yè)(四十三)總體離散程度的估計一、選擇題1．為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)B[平均數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的平均水平；中位數(shù)是把一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列，若該組數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)，則取中間的數(shù)據(jù)，若該組數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)．平均數(shù)和中位數(shù)都能反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，標(biāo)準(zhǔn)差和方差都能反映一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度．]2．(多選)已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)和方差均為2，則下列敘述正確的是()A．x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1的平均數(shù)為3B．x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1的方差為3C．2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差為4D．2x1＋2，2x2＋2，2x3＋2，2x4＋2，2x5＋2的方差為8AD[將每個數(shù)據(jù)在原基礎(chǔ)上加1，故平均數(shù)加1，但是方差保持不變，故其平均數(shù)是3，方差是2，故A正確，B錯誤；將每個數(shù)據(jù)乘以2，故其方差變?yōu)樵瓉淼?倍，即為8，故C錯誤；將每個數(shù)據(jù)乘以2再加2，故其方差也變?yōu)樵瓉淼?倍，即為8，故D正確．故選AD.]3．甲、乙、丙三名學(xué)生在一項(xiàng)集訓(xùn)中的40次測試分?jǐn)?shù)都在[50，100]內(nèi)，將他們的測試分?jǐn)?shù)分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，記甲、乙、丙的分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為()A．s1>s2>s3 B．s1>s3>s2C．s3>s1>s2 D．s3>s2>s1B[比較三個頻率分布直方圖知，甲為“雙峰”直方圖，兩端數(shù)據(jù)最多，最分散，方差最大；乙為“單峰”直方圖，數(shù)據(jù)最集中，方差最?。槐麨椤皢畏濉敝狈綀D，但數(shù)據(jù)分布相對勻整，方差介于甲、乙之間．綜上可知s1>s3>s2．]4．在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數(shù)學(xué)成果統(tǒng)計如下表：班級人數(shù)平均數(shù)方差甲20x2乙30x3其中x甲A．3B．2C．2.6D．2.5C[由題意可知兩個班的數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)為x＝x甲＝x乙，則兩個班數(shù)學(xué)成果的方差為s2＝20205．某選手的9個得分分別為87，87，94，90，91，90，9x，99，91，其中有一個數(shù)據(jù)的個位數(shù)模糊，無法辨別，以x表示．若去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，則7個剩余分?jǐn)?shù)的方差為()A．1169B．367B[由題意知去掉的兩個數(shù)是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4．故s2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝36二、填空題6．已知樣本9，10，11，x，y的平均數(shù)是10，方差是4，則xy＝________．91[由平均數(shù)是10，得x＋y＝20．①由方差是4，得x2＋y2＝218．②①2－②得2xy＝182，∴xy＝91．]7．現(xiàn)有10個數(shù)，其平均數(shù)是4，且這10個數(shù)的平方和是200，那么這組數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是________．2[由題意知x＝所以s＝1＝1＝200-160108．為了調(diào)查公司員工的健康狀況，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，已知所抽取的全部員工的平均體重為60kg，標(biāo)準(zhǔn)差為60，男員工的平均體重為70kg，標(biāo)準(zhǔn)差為50，女員工的平均體重為50kg，標(biāo)準(zhǔn)差為60，若樣本中有20名男員工，則女員工的人數(shù)為________.200[設(shè)男、女員工的權(quán)重分別為ω男，ω女，由題意可知s2＝ω男[s男2＋x男-x2]＋ω女[s女2＋x女-x2]，即ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)·[602＋(50－60)2]＝602，解得三、解答題9．某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組，她們的勞動技術(shù)課考試成果(單位：分)如下：甲組：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；乙組：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85．(1)試分別計算兩組數(shù)據(jù)的極差、方差；(2)哪一組的成果較穩(wěn)定？[解](1)甲組：最高分為95，最低分為60，極差為95－60＝35，平均數(shù)為x甲方差為s甲2＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)乙組：最高分為95，最低分為65，極差為95－65＝30，平均數(shù)為x乙＝1方差為s乙2(2)由于乙組的方差小于甲組的方差，因此乙組的成果較穩(wěn)定．從(1)中得到的極差也可看出乙組的成果比較穩(wěn)定．10．一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都乘2，再都減80，得一組新數(shù)據(jù)，若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2，方差是4.4，則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A．40.6，1.1 B．48.8，4.4C．81.2，44.4 D．78.8，75.6A[法一：設(shè)原來的數(shù)據(jù)為x1，x2，x3，…，xn，則新數(shù)據(jù)為2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80，所以2x1-所以2x1+即x1+1n[(2x1－80－1.2)2＋(2x2－80－1.2)2＋…＋(2xn－80－1.2)2]＝4.4即1n[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝4.4所以14n[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝14×4.4法二：設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，方差為s2，則數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都乘2，再都減80，得一組新數(shù)據(jù)后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2x－80，方差為22s2由題意得2x－80＝1.2，22s2＝4.4，解得x＝40.6，s2＝1.1．]11．如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為xA和xB，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sA．xA>xB，sA>B．xA<xB，sA>C．xA>xB，sA<D．xA<xB，sA<B[由題圖知，A組的6個數(shù)分別為2.5，10，5，7.5，2.5，10；B組的6個數(shù)分別為15，10，12.5，10，12.5，10，所以xAxB明顯xA<x又由圖形可知，B組數(shù)據(jù)的分布比A組的勻整，變更幅度不大，故B組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，方差較小，從而標(biāo)準(zhǔn)差較小，所以sA>sB.]12．(多選)已知樣本x1，x2，…，xl的平均數(shù)為x，方差為s12，樣本y1，y2，…，ym的平均數(shù)為y，方差為s22，樣本z1，z2，…，zn的平均數(shù)為z，方差為s32，設(shè)樣本x1，x2，…，xl，y1，y2，…A．ωB．ωCD．s2＝1l+m+n{l[s12＋xACD[依題意，x1＋x2＋…＋xl＝l·x，y1+y[[i＝[＝1l+m+n{l[s13．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得頻率分布直方圖如圖，則這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差s2＝________(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．110[由頻率分布直方圖得抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值為(100×0.010＋110×0.020＋120×0.035＋130×0.030＋140×0.005)×10＝120，∴樣本方差s2＝[(100－120)2×0.010＋(110－120)2×0.020＋(120－120)2×0.035＋(130－120)2×0.030＋(140－120)2×0.005]×10＝110．]14．(2024·全國乙卷)某廠研制了