第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣西來賓市忻城高級(jí)中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若zi3=1?5A.1 B.6 C.7 2.忻城縣高級(jí)中學(xué)有1100名高一學(xué)生，1000名高二學(xué)生，1200名高三學(xué)生，高一數(shù)學(xué)興趣小組欲采用分層抽樣的方法在全校抽取33名學(xué)生進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查，則下列說法正確的是(

)A.高三每一個(gè)學(xué)生被抽到的概率最大 B.高三每一個(gè)學(xué)生被抽到的概率最小

C.高一每一個(gè)學(xué)生被抽到的概率最大 D.每位學(xué)生被抽到的概率相等3.已知在正四面體A?BCD中，M為AB的中點(diǎn)，則直線CM與AD所成角的余弦值為(

)A.12 B.23 C.4.對(duì)某平面圖形使用斜二測畫法后得到的直觀圖是邊長為1的正方形(如圖)，則原圖形的面積是(

)A.2

B.2

C.225.若一個(gè)圓臺(tái)的兩個(gè)底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為32π，則它的體積為A.3π B.7π3 C.5π3 6.某藝術(shù)吊燈如圖1所示，圖2是其幾何結(jié)構(gòu)圖.底座ABCD是邊長為42的正方形，垂直于底座且長度為6的四根吊掛線AA1，BB1，CC1，DD一頭連著底座端點(diǎn)，另一頭都連在球O的表面上(底座厚度忽略不計(jì))A.108π3 B.256π3 C.500π37.在平行四邊形ABCD中，G為△ABC的重心，滿足AG=xAB+yAD(x,y∈R)A.43 B.53 C.0 8.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB和DD1的中點(diǎn)，過點(diǎn)B1，E，F(xiàn)的平面A.13

B.23

C.34二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法中，正確的有(

)A.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行

B.如果一條直線與一個(gè)平面相交，那么這條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線相交

C.過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行

D.如果一條直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等且不為0，那么這條直線和這個(gè)平面可能平行，也可能相交10.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列對(duì)△ABC的個(gè)數(shù)的判斷正確的是(

)A.當(dāng)a=22，A=30°，C=45°時(shí)，有兩解

B.當(dāng)a=5，b=7，C=60°時(shí)，有一解

C.當(dāng)a=2，b=1，A=30°時(shí)，有一解

D.當(dāng)a=6，11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)A.三棱錐A?D1PC的體積不變

B.直線CP與直線AD1的所成角的取值范圍為[π4,π2]

C.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(1,3)，b=(?2,2)，則向量a在向量b上的投影向量為______.(用坐標(biāo)表示13.已知z∈C，|z?2|=1，則|z+i|的取值范圍為______．14.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=BC=2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)．

(1)求異面直線C16.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c?b=2csin2A2．

(Ⅰ)試判斷△ABC的形狀；

(Ⅱ)若c=1，求17.(本小題15分)

我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，稱四面都為直角三角形的三棱錐為“鱉臑”.如圖，三棱錐A?BCD，中AB⊥平面BCD，BC⊥CD．

(1)證明：三棱錐A?BCD為鱉臑；

(2)若E為AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為BC，BE的中點(diǎn).平面DPQ與平面ACD的交線為l．

①證明：直線PQ/?/平面ACD；

②判斷PQ與l的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．18.(本小題17分)

忻城縣環(huán)境優(yōu)美，準(zhǔn)備在泮水生態(tài)公園建造一個(gè)四邊形的露營基地，如圖ABCD所示.為考慮露營客人娛樂休閑的需求，在四邊形ABCD區(qū)域中，將三角形ABD區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形BCD區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊AB、BC、CD、DA修建觀賞步道，邊BD修建隔離防護(hù)欄，其中CD=100米，BC=200米，∠A=π3．

(1)若BD=150米，求燒烤區(qū)的面積？

(2)考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形ABCD19.(本小題17分)

如圖，在四面體ABCD中，AB=BD=CD=3，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，點(diǎn)M為AD上一點(diǎn)，且AM=2MD，連接BM，CM．

(1)證明：BM⊥CD；

(2)求點(diǎn)D到平面BMC的距離；

(3)求二面角M?BC?D的余弦值．

參考答案1B

2D

3C

4C

5B

6C

7C

8D

9BD

10BC

11ABD

12(?1,1)

13[1417π

15(1)解：連接A1B，A1C1，

在正方體中，可得A1C1=A1B=BC1，CD1/?/A1B，

所以∠A1BC1=60°，∠A1BC1等于異面直線CD1與BC1所成的角，

所以異面直線CD1與BC1所成角為60°；

(2)證明：取CC1的中點(diǎn)E，連接ME，NE，

因?yàn)镸，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，

所以ME/?/BC，NE//C1D1，16解：(Ⅰ)因?yàn)閏?b=2csin2A2，得sin2A2=c?b2c，

可得1?cosA2=c?b2c，即cosA=bc，

由余弦定理得b2+c2?a22bc=bc，即a2+b2=c2，

可得C=π17證明：(1)因?yàn)锽C⊥CD，所以△BCD為直角三角形，

因?yàn)锳B⊥平面BCD，且BD?平面BCD，BC?平面BCD，CD?平面BCD，

所以AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD，

所以△ABC和△ABD為直角三角形，

因?yàn)锽D∩AB=B，所以CD⊥平面ABC，

又因?yàn)锳C?平面ABC，所以CD⊥AD，

所以△ACD為直角三角形，

所以三棱錐A?BCD為鱉曘；

(2)①連接CE，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別為BC，BE的中點(diǎn)，所以PQ/?/CE，

且PQ?平面ACD，CE?平面ACD，所以直線PQ/?/平面ACD，

②平行，

證明：由①可得：PQ/?/平面ACD，PQ?平面DPQ，平面DPQ∩平面ACD=l，

所以PQ/?/l．

18解：(1)在△BCD中，由余弦定理可知cosC=BC2+CD2?BD22BC?CD=1002+2002?15022×100×200=1116，

所以sinC=1?(1116)2=31516，

所以S△BCD=12BC?CDsinC=12×100×200×31516=187515平方米；

(2)S△BCD=12BC?CD?sinC≤12BC?CD=10000，

當(dāng)且僅當(dāng)C=π19(1)證明：因?yàn)锳B⊥平面BCD，CD?平面BCD，

所以AB⊥CD，

因?yàn)镃D⊥BD，AB∩BD=B，AB，BD?平面ABD，

所以CD⊥平面ABD，

因?yàn)锽M?平面ABD，

所以BM⊥CD；

(2)解：因?yàn)锳B⊥平面BCD，BD?平面BCD，所以AB⊥BD，

因?yàn)锳B=BD=3，所以AD=32，∠ADB=45°，

因?yàn)辄c(diǎn)M為AD上一點(diǎn)，且AM=2MD，

所以AM=22,DM=2，點(diǎn)M到平面BCD的距離為?=13AB=1，

因?yàn)镃D⊥BD，BD=CD=3，所以BC=32，S△BCD=12×3×3=92，

由(1)知CD⊥平面ABD，因?yàn)锳D?平面ABD，所以CD⊥AD，

所以CM=CD2+DM2=9+2=11，

在△BDM中，由余弦定理得BM=BD2+DM2?2BD?DMcos∠BDM

=9+2?2×3×2×22=5，

在△BCM中，由余弦定理得cos∠BMC=5+1