數學文化（第三節(jié)）思考題：求函數的最小值（1）y=|x+1|+|x-1|（2）y=|x-1|+|x-2|+|x-3|（3）y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|

（4）y=|x+10|+|x+9|+|x+8|+

……|x|+|x-1|+|x-2|+……+|x-10|數學思想與方法1.邏輯劃分的思想（分類討論）2.數形結合的思想引申1若a<|x-1|+|x-2|恒成立，求a的取值范圍。2若a>|x-1|-|x-2|恒成立，求a的取值范圍。二、祖氏數學世家

祖沖之（公元429~500），字文遠，祖籍河北省淶源縣，南北朝宋、齊時代的一位杰出的數學家、天文學家。他的先世遷入江南，祖父祖昌曾任“大匠卿”,掌管土木建筑，父親祖朔之學識淵博，也在朝中做官。祖沖之自幼好學，接受家傳科學知識，尤喜歷算，青年時曾任南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史，后來回健康（今南京）任公府參軍，任婁縣（今昆山縣東北）縣令、謁者仆射、長水校尉等職。

祖沖之父子及其數學思想

公元265年，繼秦朝以后中國獲得了第二次統(tǒng)一，魏國的司馬炎建立了晉朝（西晉）。經濟的發(fā)展和日益增加的跨地域交往刺激了地理學的發(fā)展，并產生地圖學家裴秀，他提出了比例尺、方位、距離等基本原則，奠定了中國制圖學的理論基礎。一些新的風俗習慣隨之出現了，如喝茶，還發(fā)明了若干新的節(jié)約勞動力的工具，如獨輪車和水磨。公元283年，道家中的博物學家兼煉丹術士葛洪也出世了?？墒?，北方的經濟區(qū)仍面臨著多個外來民族入侵的危險，公元317年，晉室被迫遷到長江以南，建都建康（南京），史稱東晉，一共延續(xù)了一百余年（北方則被分割成了16個小國）。此后南方的晉朝滅亡，相繼被4個軍人篡權并改國號，即宋（劉宋）、齊、梁、陳，史稱南朝，歷時約170年，依然設都建康。就在劉宋10年，即公元429年，祖沖之出生在首都建康的一個歷法世家。雖然他后來只在徐州做過幾次小官，卻是中國數學史上第一個名列正史的數學家。

三國兩晉南北朝時期，社會動蕩不定，人民飽受戰(zhàn)亂之苦，許多問題找不到現實的解答，因而極易接受佛教的宣傳。封建統(tǒng)治者希望佛教成為麻醉人民的精神鴉片，以鞏固自己的統(tǒng)治地位；統(tǒng)治者自身也希望死后進入極樂世界。由于以上原因，佛教在魏晉時期得到廣泛傳播，并在南北朝時期空前盛行。陳寅恪在《崔浩與寇謙之》一文中提出寇謙之采用釋家（天竺）之天算醫(yī)藥之學以改進中國傳統(tǒng)道教的觀點，頗有道理。中國古代的天文與算數雖然發(fā)達，但古代印度在這方面可能還要先進。三國兩晉南北朝時期大量天竺人以及深受天竺文化影響的西域人進入中國南北方，給中國帶來了豐富的天算醫(yī)藥新知識，這可能對促進祖沖之的學術成就有一定作用。

同佛教有關的建筑和石窟藝術得到迅速發(fā)展。隨著佛教的傳播，佛教寺廟大量興建，建筑技巧日益高超。例如大同云岡、洛陽龍門等；有的是壁畫和塑像，例如敦煌千佛洞等。

“南朝四百八十寺，多少樓臺煙雨中”（一）、祖沖之及其成就1.著《綴術》、《大明歷》、《重差注》《綴術》是我國極為重要的數學著作。祖沖之父子的數學研究成果匯集于他的《綴術》中。這本書及其高深，以至于“學官莫能究其深奧，是故廢而不理”。在隋唐的官學中，《綴術》也被列為必讀的十部算經之一，且需學習4年，年限為各經之首。后來，《綴術》漸漸在各國失傳了。盡管今天已無從知道《綴術》的具體內容，但從該書在唐代官學中的學習年限及史書中的相關的零星記載，我們仍可以想見其學術價值。

2.關于圓周率的計算圓周率并不是祖沖之發(fā)現的,他之前,劉徽就就計算過圓周率.

作為數學家,研究計算圓周率應該是他們的專業(yè)方向之一.我國古代數學家對圓周率方面的研究工作，成績是突出的。秦漢以前,人們以"徑一周三"做為圓周率,這就是"古率".后來發(fā)現古率誤差太大,圓周率應是"圓徑一而周三有余",不過究竟余多少,意見不一.

直到三國時期劉徽提出了計算圓周率的科學方法--"割圓術",用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長.劉徽計算到圓內接96邊形,求得π=3.14,并指出內接正多邊形的邊數越多,所求得的π值越精確.南北朝時期的祖沖之在劉徽研究的基礎上，將圓周率精確到了小數點后7位，這一成就比歐洲人要早一千多年。祖沖之是和他兒子一起從事這項研究工作的，當時條件很差。他們在一間大屋的地上畫了一個直徑1丈的大圓。從內接正6邊形開始計算，12邊形，24邊形，48邊形的翻翻，一直算到96邊形，計算的結果和劉徽的一樣。接著，內接邊數再逐次翻翻，邊數每翻一次，要進行7次加減運算，2次乘方，2次開方，運算的數字都很大，很復雜，在當時的條件下，是十分困難的。祖沖之父子一直把邊數算到24576邊，得出了圓周率有3.1415926<π<3.1415927，精確到了小數點后7位。

并得出了π分數形式的近似值:如果將π表示成連分數，則其漸進分數為，3/1，22/7，333/106，355/113，……第一項與巴比倫人和《九章算術》里的結果相同，可稱3/1作古率，第二項是約率(約3.1428571),，第四項是密率(約3.1415929)，這是分子和分母都不超過1000的分數里最接近π真值的分數。究竟祖沖之用什么方法得出這一結果?現在無從考查.德國數學家奧托在1573年重新得出這個近似分數。當時，歐洲人還不知道在一千多年之前祖沖之就己經算出來了。后來荷蘭人安托尼茲也算出這個近似分數，于是歐洲人就把這個稱為"密率"的近似分數叫著"安托尼茲率"。日本數學家認為應該恢復其本來面目，肯定祖沖之在圓周率方面研究的貢獻，改稱"祖率"才對。3.關于球體積的計算

祖沖之在劉微指出的“牟合方蓋”與球體積之比才是方與圓的比，從而更正了《九章算術》中關于球體積與外切等高圓柱體體積之比等于圓率與方率之比（π：4）的錯誤的基礎上，進一步努力，與其子祖暅（geng）一起，巧妙地解決了球體積問題。其次是天文上。他編的大明歷是當時最科學、最進步的歷法，391年內和現在誤差不超過50秒，并且用大明歷推算了從元嘉十三年（公元436年）到大明三年（公元459年），23年間發(fā)生的4次月食時間，結果與實際完全符合。得出木星每84年超辰一次的結論，即定木星公轉周期為11.858年（今測為11.862年）。給出了更精確的五星會合周期，其中水星和木星的會合周期也接近現代的數值。提出了用圭表測量正午太陽影長以定冬至時刻的方法。

再次，他設計制造過水碓磨、銅制機件傳動的指南車、千里船、定時器等等。此外，他在音律、文學、考據方面也有造詣，他精通音律，擅長下棋，還寫有小說《述異記》。是歷史上少有的博學多才的人物。

為紀念這位偉大的古代科學家，人們將月球背面的一座環(huán)形山命名為“祖沖之環(huán)形山”，把小行星1888命名為“祖沖之小行星”。

4.“開差冪”和“開差立”祖沖之還研究過“開差冪”和“開差立”問題，“差冪”一詞在劉徽注中已經用過，是面積差，“差立”不見記載，以理推之應是體積差?！伴_差冪”“開差立”應是由面積差或體積差求有關邊長或直徑，其中包括與圓、球有關的問題。涉及了二次、三次方程求根的問題，祖沖之在求解中甚至“兼以正負參之”，可見其研究水平之高。5.在天文歷法上成就卓著祖沖之博覽當時的名家經典，堅持實事求是，他從親自測量計算的大量資料中對比分析，發(fā)現何承天“元嘉年”誤差太大而用于改進和修改，于大明六年（462年）終于完成《大明歷》，書中首次應用了“歲差”理論，開辟了中國歷法史的新紀元。祖沖之以不畏權勢的膽識，與戴興法開展了堅決的斗爭，堅持其大膽改革的正確主張，捍衛(wèi)真理。6.在機械制造上多有貢獻還可以說，祖沖之是著名的機械專家。他重造了當時已經失傳的了的指南車；創(chuàng)制了利用水力舂米、磨面的水硾磨，是當時世界上先進的糧食加工機械；又制造了歷史上有名的能日行百里的“千里船”，在我國造船史上譜寫出了引人注目的一頁。

另外，祖沖之對音律、文學、考據等方面也有造詣，他還撰寫過文學作品《述異記》十卷。祖沖之是歷史上少有的博學多才的人物?？傊?，祖沖之是我國杰出的數學家、天文學家和機械制造家，他不僅受到中國人民的敬仰，同時也受到世界各

國科學界人士的推崇。1960年，前蘇聯(lián)科學家們在研究月球背面的照片以后，用世界上一些最有貢獻的科學家的名字來命名那上面的山谷，其中有一座環(huán)形山被命名為“祖沖之環(huán)形山”。在前蘇聯(lián)莫斯科大學塑有“祖沖之”全身像，作為世界優(yōu)秀科學家而紀念他。（二）、祖暅及其學術成就祖暅（geng）（5~6世紀），又稱祖暅之，著名數學家、天文學家，祖沖之之子，字景爍。從小受家學熏陶，曾在梁朝做過員外散騎侍郎、太府卿、南康太守、材官將軍、奉朝請等官職。青年時對數學、天文造詣很深，是祖沖之科學事業(yè)的繼承人。他的主要貢獻有：

1.修補編輯《綴術》

《綴術》實際上由祖氏父子共同創(chuàng)造，可惜現已失傳。估計《綴術》的內容主要是與《九章算術》各章有關的問題，也肯能是若干篇天文歷法的計算問題，其中包括圓周率的計算和球體積公式推導。2.祖暅原理

《九章算術》少廣章李淳風注所引祖暅之“開立圓術”，詳細記載了祖氏父子解決球體積的方法。劉徽注釋《九章算術》時指出球與外切“牟合方蓋”的體積比為(π：4)，但他未能求出牟合方蓋的體積。祖暅在劉徽工作的基礎上推導出球體積公式，并提出兩立體等高處截面積相等則兩體積相等（“冪勢既同則積不容異”）定理，解決了這個問題，給出了球體積的正確公式。這一原理后人稱之為“祖暅原理”。西方直至17世紀才被意大利數學家卡瓦列利重新發(fā)現，西方稱為“卡瓦列利原理”公理

夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。PQ冪勢既同，則積不容異祖暅原理類比把夾在兩條平行線間的兩個平面圖形的面積相等的條件，用祖暅原理的形式敘述出來，并根據矩形面積公式，求平行四邊形的面積公式。夾在兩條平行線間的兩個平面圖形,被與這兩條平行直線平行的直線所截,如果截得的線段總是相等的,那么這兩個平面圖形的面積相等.hQ1p1p2Q27/1/2024二、幾何體的體積柱體的體積結論：兩個底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）的體積相等．即底面積為S，高為h的柱體的體積為

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似；并且它們的面積的比等于頂點要截面的距離和已知棱錐的高的平方比。定理：棱錐的體積棱錐體積：探究錐體的體積公式結論1：等底面積等高的兩個錐體的體積相等。結論2：三棱錐的體積等于它的底面積乘以高的積的三分之一。歸納：錐體的體積計算公式：

S為底面面積，h為高。用“祖暅原理”得到球體積公式R

高等于底面半徑的旋轉體體積對比AOO.2、球的體積B2C2BiCiAO已知球的半徑為R問題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.球的體積公式球的表面積公式推導球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢?從球的體積公式的推導方法,得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來推導球的表面積公式。則球的體積為：OO球的表面積公式推導3.天文學上的貢獻

祖暅著《漏刻經》、《天文錄》等。前者已失傳，后者存有殘篇。他曾于504年，509年和510年3次上書建議采用祖沖之的《大明歷》，終于被梁武帝欽天監(jiān)采用頒行，實現了父親的遺愿。他還親自監(jiān)造八尺銅表，測量日影長度，改進了當時通用的計時器---漏壺。三、悖論：“兔子永遠追不上烏龜”

烏龜：“你別想抓住我，老朋友。只要你一到我原先所在的地方，我就已經跑到前面一截了，那怕這個距離比頭發(fā)絲還小”。

烏龜和兔子的賽跑中，兔子速度為烏龜的十倍，所以讓