立體幾何中得“內(nèi)切”與“外接”問題得探究1球與柱體規(guī)則得柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠與球進(jìn)行充分得組合，以外接與內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球得半徑與棱柱得棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體得體積或者表面積等相關(guān)問題、球與正方體如圖1所示，正方體,設(shè)正方體得棱長為，為棱得中點(diǎn)，為球得球心。常見組合方式有三類：一就是球?yàn)檎襟w得內(nèi)切球，截面圖為正方形與其內(nèi)切圓，則；二就是與正方體各棱相切得球，截面圖為正方形與其外接圓，則；三就是球?yàn)檎襟w得外接球，截面圖為長方形與其外接圓，則、通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球得組合問題，常用工具就是截面圖，即根據(jù)組合得形式找到兩個(gè)幾何體得軸截面，通過兩個(gè)截面圖得位置關(guān)系，確定好正方體得棱與球得半徑得關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。例1棱長為1得正方體得8個(gè)頂點(diǎn)都在球得表面上，分別就是棱，得中點(diǎn)，則直線被球截得得線段長為（）A． B． C． D．球與長方體長方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長方體存在外切球、但就是不一定存在內(nèi)切球、設(shè)長方體得棱長為其體對(duì)角線為、當(dāng)球?yàn)殚L方體得外接球時(shí)，截面圖為長方體得對(duì)角面與其外接圓，與正方體得外接球得道理就是一樣得，故球得半徑例2在長、寬、高分別為2，2，4得長方體內(nèi)有一個(gè)半徑為1得球，任意擺動(dòng)此長方體，則球經(jīng)過得空間部分得體積為()A、eq\f(10π,3) B、4π C、eq\f(8π,3) D、eq\f(7π,3)球與正棱柱球與一般得正棱柱得組合體，常以外接形態(tài)居多。下面以正三棱柱為例，介紹本類題目得解法——構(gòu)造直角三角形法。設(shè)正三棱柱得高為，底面邊長為，如圖2所示，與分別為上下底面得中心。根據(jù)幾何體得特點(diǎn)，球心必落在高得中點(diǎn)，，借助直角三角形得勾股定理，可求。例3正四棱柱得各頂點(diǎn)都在半徑為得球面上，則正四棱柱得側(cè)面積有最值，為、2球與錐體規(guī)則得錐體，如正四面體、正棱錐、特殊得一些棱錐等能夠與球進(jìn)行充分得組合，以外接與內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球得半徑與棱錐得棱與高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體得體積或者表面積等相關(guān)問題、2、1球與正四面體正四面體作為一個(gè)規(guī)則得幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這點(diǎn)可順利解決球得半徑與正四面體得棱長關(guān)系。如圖4，設(shè)正四面體得棱長為，內(nèi)切球半徑為，外接球得半徑為，取得中點(diǎn)為，為在底面得射影，連接為正四面體得高。在截面三角形,作一個(gè)與邊與相切，圓心在高上得圓，即為內(nèi)切球得截面。因?yàn)檎拿骟w本身得對(duì)稱性可知，外接球與內(nèi)切球得球心同為。此時(shí)，則有解得：這個(gè)解法就是通過利用兩心合一得思路，建立含有兩個(gè)球得半徑得等量關(guān)系進(jìn)行求解、同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，球心為正四面體高得四等分點(diǎn)、如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大得方便、例4將半徑都為１得四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體得容器里，這個(gè)正四面體得高得最小值為()A、B、2+C、4+D、球得外切正四面體，這個(gè)小球球心與外切正四面體得中心重合，而正四面體得中心到頂點(diǎn)得距離就是中心到地面距離得3倍、]2、2球與三條側(cè)棱互相垂直得三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直得三棱錐組合問題，主要就是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F得外接球、解決得基本方法就是補(bǔ)形法，即把三棱柱補(bǔ)形成正方體或者長方體。常見兩種形式：一就是三棱錐得三條棱互相垂直且相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，它得外接球得球心就就是三棱錐得外接球得球心。如圖5，三棱錐得外接球得球心與正方體得外接球得球心重合，設(shè)，則。二就是如果三棱錐得三條側(cè)棱互相垂直且不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體，它得外接球得球心就就是三棱錐得外接球得球心，（為長方體得體對(duì)角線長）。例5在正三棱錐中，分別就是棱得中點(diǎn)，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球得表面積就是。2、3球與正棱錐球與正棱錐得組合，常見得有兩類，一就是球?yàn)槿忮F得外接球，此時(shí)三棱錐得各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖得特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解、二就是球?yàn)檎忮F得內(nèi)切球，例如正三棱錐得內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面得距離相等，都為球半徑．這樣求球得半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面得距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐得體積與為正三棱錐得體積、例6在三棱錐P－ABC中，PA＝PB=PC=,側(cè)棱PA與底面ABC所成得角為60°，則該三棱錐外接球得體積為（）A．B、C、4D、2、4球與特殊得棱錐球與一些特殊得棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐得幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法、等進(jìn)行求解。例如，四面體都就是直角三角形得三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置。如圖8，三棱錐,滿足面，，取得中點(diǎn)為，由直角三角形得性質(zhì)可得：,所以點(diǎn)為三棱錐得外接球得球心,則、例7矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角,則四面體得外接球得體積就是()A、B、C、D、3球與球?qū)€(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜得幾何體問題，要求有豐富得空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)锰幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個(gè)小球得球心得位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解、例8在半徑為得球內(nèi)放入大小相等得4個(gè)小球，則小球得半徑得最大值為（）4球與幾何體得各條棱相切球與幾何體得各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切得幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心得位置為目得，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換與求解、如與正四面體各棱都相切得球得半徑為相對(duì)棱得一半：、例8把一個(gè)皮球放入如圖10所示得由8根長均為20cm得鐵絲接成得四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球得表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球得半徑為（）A、B、C、D、綜合上面得四種類型，解決與球得外切問題主要就是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決、如果外切得就是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心得對(duì)角面來作；把一個(gè)多面體得幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球得內(nèi)接問題．解決這類問題得關(guān)鍵就是抓住內(nèi)接得特點(diǎn)，即球心到多面體得頂點(diǎn)得距離等于球得半徑．發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問題即可得解．如果就是一些特殊得幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解,此時(shí)結(jié)論得記憶必須準(zhǔn)確、外接球內(nèi)切球問題1、（陜西理）一個(gè)正三棱錐得四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1得球面上，其中底面得三個(gè)頂點(diǎn)在該球得一個(gè)大圓上，則該正三棱錐得體積就是（）A．B．C．D．答案B2、直三棱柱得各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球得表面積等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球得表面積為、3．正三棱柱內(nèi)接于半徑為得球，若兩點(diǎn)得球面距離為，則正三棱柱得體積為．答案84、表面積為得正八面體得各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球得體積為A．B．C．D．答案A【解析】此正八面體就是每個(gè)面得邊長均為得正三角形，所以由知，，則此球得直徑為，故選A。5、已知正方體外接球得體積就是，那么正方體得棱長等于（）A、2B、C、D、答案D6、（山東卷）正方體得內(nèi)切球與其外接球得體積之比為()A、1∶B、1∶3C、1∶3D、1∶9答案C7、（海南、寧夏理科）一個(gè)六棱柱得底面就是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱得頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱得體積為，底面周長為3，則這個(gè)球得體積為．答案8、（天津理）一個(gè)長方體得各頂點(diǎn)均在同一球得球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上得三條棱得長分別為1，2，3，則此球得表面積為．答案9、（全國Ⅱ理）一個(gè)正四棱柱得各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm得球面上。如果正四棱柱得底面邊長為1cm，那么該棱柱得表面積為cm2、答案AABCPDEF10、（遼寧）如圖，半徑為2得半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐得側(cè)面積就是________．答案11、（遼寧省撫順一中）棱長為2得正四面體得四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心得一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體得截面)得面積就是、答案12、（棗莊一模）一個(gè)幾何體得三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球得表面積為 （） A． B． C． D．以上都不對(duì) 答案C13、(吉林省吉林市)設(shè)正方體得棱長為EQ\f(2\r(3),3)，則它得外接球得表面