第第頁押浙江卷第11-14題（因式分解、平行線的性質(zhì)、概率、圓與正多邊形）押題方向一：因式分解2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年溫州、紹興、、金華、臺(tái)州第11題因式分解-提公因式從近幾年浙江各地中考來看，因式分解以填空題形式考查比較多，比較簡(jiǎn)單，主要考查提公因式法、運(yùn)用公式法（平方差公式、完全平方公式）及因式分解的應(yīng)用；預(yù)計(jì)2024年浙江卷必考因式分解。2023年寧波、麗水卷第11題因式分解-運(yùn)用公式法2023年舟山、嘉興卷第12題因式分解的應(yīng)用1．（2023?麗水）分解因式：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【思路點(diǎn)撥】本題中兩個(gè)平方項(xiàng)的符號(hào)相反，直接運(yùn)用平方差公式分解因式．【解析】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．故答案為：（x+3）（x﹣3）．【點(diǎn)睛】主要考查平方差公式分解因式，熟記能用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式的特征，即“兩項(xiàng)、異號(hào)、平方形式”是避免錯(cuò)用平方差公式的有效方法．2．（2023?金華）因式分解：x2+x＝x（x+1）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)觀察可知原式公因式為x，直接提取可得．【解析】解：x2+x＝x（x+1）．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法分解因式，通過觀察可直接得出公因式，直接觀察法是解此類題目的常用的方法．3．（2023?浙江）一個(gè)多項(xiàng)式，把它因式分解后有一個(gè)因式為（x+1），請(qǐng)你寫出一個(gè)符合條件的多項(xiàng)式：x2﹣1（答案不唯一）．．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可以寫出分解因式中含有（x+1）的一個(gè)多項(xiàng)式，本題答案不唯一，符合題意即可．【解析】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），∴符合條件的一個(gè)多項(xiàng)式是x2﹣1，故答案為：x2﹣1（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出符合題意的一個(gè)多項(xiàng)式．4．（2023?溫州）分解因式：2a2﹣2a＝2a（a﹣1）．【思路點(diǎn)撥】直接提取公因式2a，進(jìn)而分解因式即可．【解析】解：2a2﹣2a＝2a（a﹣1）．故答案為：2a（a﹣1）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．5．（2023?紹興）因式分解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．【思路點(diǎn)撥】直接提取公因式m，進(jìn)而分解因式即可．【解析】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案為：m（m﹣3）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．因式分解步驟：1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式；2）如果各項(xiàng)沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式；3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。1．分解因式：x2﹣2024x＝x（x﹣2024）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)式子的特點(diǎn)將公因數(shù)提取出來即可得到結(jié)果．【解析】解：x2﹣2024x式子中含有公因數(shù)x，∴x2﹣2024x＝x（x﹣2024），故答案為：x（x﹣2024）．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法分解因式，用適當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴绞墙忸}的關(guān)鍵．2．因式分解：16x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3）．【思路點(diǎn)撥】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解析】解：16x2﹣9＝（4x）2﹣32＝（4x+3）（4x﹣3），故答案為：（4x+3）（4x﹣3）．【點(diǎn)睛】本題考查用公式法分解因式，熟練掌握用平方差公式分解因式是解題的關(guān)鍵．3．分解因式：﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣2）2．【思路點(diǎn)撥】直接提取公因式﹣1，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式即可．【解析】解：﹣x2+4x﹣4＝﹣（x2﹣4x+4）＝﹣（x﹣2）2．故答案為：﹣（x﹣2）2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．4．分解因式：3m2﹣6m+3＝3（m﹣1）2．【思路點(diǎn)撥】首先提取公因式3，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式得出答案．【解析】解：3m2﹣6m+3＝3（m2﹣2m+1）＝3（m﹣1）2．故答案為：3（m﹣1）2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．5．分解因式：mn2﹣4m＝m（n+2）（n﹣2）．【思路點(diǎn)撥】先提取公因式m，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解．【解析】解：mn2﹣4m，＝m（n2﹣4），＝m（n+2）（n﹣2）．故答案為：m（n+2）（n﹣2）．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．6．已知a+b＝5，ab＝4，則多項(xiàng)式a2b+ab2的值為20．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，提公因式，a2b+ab2＝ab（a+b），結(jié)合已知條件代入數(shù)據(jù)即可．【解析】解：由題意可知，a2b+ab2＝ab（a+b）．∵a+b＝5，ab＝4，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝5×4＝20．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的運(yùn)用．押題方向二：平行線的判定與性質(zhì)2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年金華卷第7題、杭州卷第12題、臺(tái)州卷第13題平行線的性質(zhì)從近幾年浙江各地中考來看，有關(guān)平行線的判定與性質(zhì)的試題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題或填空題中，題目比較簡(jiǎn)單；預(yù)計(jì)2024年浙江卷還將繼續(xù)對(duì)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行考查。2022年臺(tái)州卷第4題平行線的判定2022年杭州卷第3題平行線的性質(zhì)1．（2023?金華）如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．130° D．135°【思路點(diǎn)撥】由同位角相等兩直線平行得到a與b平行，再由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，求出∠5的度數(shù)，根據(jù)對(duì)頂角相等即可求出∠4的度數(shù)．【解析】解：∵∠1＝∠3＝50°，∴a∥b，∴∠5+∠2＝180°，∵∠2＝50°，∴∠5＝130°，∴∠4＝∠5＝130°．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2023?杭州）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，且DE∥BC，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，則∠A＝90°．【思路點(diǎn)撥】由平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠ADE＝28°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．【解析】解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE＝28°，∵∠ACF＝∠A+∠B，∴∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù)．3．（2023?臺(tái)州）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為140°．【思路點(diǎn)撥】利用平行線的性質(zhì)和各角之間的關(guān)系即可求解．【解析】解：如圖，標(biāo)注三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵圖案是由一張等寬的紙條折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵紙條的長(zhǎng)邊平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案為：140°．【點(diǎn)睛】本題比較簡(jiǎn)單，主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用．4．（2022?杭州）如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在線段AD上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），連接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，則∠A＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°【思路點(diǎn)撥】由∠AEC為△CED的外角，利用外角性質(zhì)求出∠D的度數(shù)，再利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可求出∠A的度數(shù)．【解析】解：∵∠AEC為△CED的外角，且∠C＝20°，∠AEC＝50°，∴∠AEC＝∠C+∠D，即50°＝20°+∠D，∴∠D＝30°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝30°．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，以及外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．（2022?臺(tái)州）如圖，已知∠1＝90°，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的判定逐項(xiàng)分析即可得到結(jié)論．【解析】解：A．由∠2＝90°不能判定兩條鐵軌平行，故該選項(xiàng)不符合題意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定兩枕木平行，故該選項(xiàng)不符合題意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴兩條鐵軌平行，故該選項(xiàng)符合題意；D．由∠5＝90°不能判定兩條鐵軌平行，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等．②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．1．如圖，已知AB∥ED，∠B＝60°，∠C＝35°，則∠D的度數(shù)為25度．【思路點(diǎn)撥】要求∠D的度數(shù)，只需根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求得該三角形的外角∠1的度數(shù)．顯然根據(jù)平行線的性質(zhì)就可解決．【解析】解：如圖，∵AB∥ED，∠B＝60°，∠C＝35°，∴∠1＝∠B＝60°．∵∠1＝∠C+∠D，∴∠D＝∠1﹣∠C＝60°﹣35°＝25°．故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記兩直線平行同位角相等和三角形外角的性質(zhì)．2．已知直線a∥b，將一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖方式放置，若∠1＝25°，則∠2的度數(shù)是65°．【思路點(diǎn)撥】先利用平角定義求出∠DAB的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】解：如圖：∵∠1＝25°，∠BAC＝90°，∴∠DAB＝180°﹣∠1﹣∠BAC＝65°，∵a∥b，∴∠2＝∠DAB＝65°，故答案為：65°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，平行于主光軸MN的光線AB和CD經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射光線BE，DF的反向延長(zhǎng)線交于主光軸MN上一點(diǎn)P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，則∠EPF的度數(shù)是50°．【思路點(diǎn)撥】由平角得∠ABP＝30°，∠CDP＝20°，由平行線性質(zhì)得∠BPN＝∠ABP＝30°，∠NPD＝∠CDP＝20°，故∠EPF＝∠EPN+∠NPF＝50°．【解析】解：∵∠ABE＝150°，∴∠ABP＝30°，∵∠CDF＝160°，∴∠CDP＝20°，∵AB∥MN∥CD，∴∠BPN＝∠ABP＝30°，∠NPD＝∠CDP＝20°，∴∠EPF＝∠EPN+∠NPF＝50°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，會(huì)利用平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于D點(diǎn)，AE∥DC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知∠E＝36°，則∠B＝72度．【思路點(diǎn)撥】先利用平行線的性質(zhì)求出∠E＝∠BCD＝36°，再利用角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角計(jì)算．【解析】解：∵∠E＝36°，AE∥DC，∴∠E＝∠BCD＝36°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝72°；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°．【點(diǎn)睛】考查平行線及角平分線的有關(guān)性質(zhì)．5．如圖，若a∥b，∠3＝130°，∠2＝20°，則∠1的度數(shù)為30°．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠4的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得∠1的度數(shù)．【解析】解：∵a∥b，∴∠3＝∠4＝130°，∴∠5＝130°，又∵∠2＝20°，∴∠1＝180°﹣20°﹣130°＝30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同位角相等．6．有三面鏡子如圖放置，其中鏡子AB和BC相交所成的角∠ABC＝110°，已知入射光線EF經(jīng)AB、BC、CD反射后，反射光線與入射光線EF平行，若∠AEF＝α，則鏡子BC和CD相交所成的角∠BCD＝90°+α.（結(jié)果用含α的代數(shù)式表示）【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)入射角等于反射角畫出反射光線，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得出結(jié)論．【解析】解：根據(jù)入射光線FE畫出反射光線EG，交BC于點(diǎn)G，同理根據(jù)入射光線EG畫出反射光線GH，交CD于點(diǎn)H，根據(jù)入射光線GH畫出反射光線HK，過點(diǎn)G作EF的平行線，使得GP∥EF∥HK，∵入射角等于反射角，∴∠BEG＝∠AEF＝α，∴∠GEF＝180°﹣2α，∵∠ABC＝110°，∴∠BGE＝180°﹣110°﹣α＝70°﹣α，∵入射角等于反射角，∴∠HGC＝∠BGE＝70°﹣α，∴∠EGH＝180°﹣2（70°﹣α）＝40°+2α，∵GP∥EF∥HK，∴∠GEF+∠èGP＝180°，∠PGH+∠GHK＝180°，∵∠EGP+∠PGH＝∠EGH＝40°+2α，∴∠GEF+∠EGH+∠GHK＝360°，∴∠GHK＝360°﹣（180°﹣2α）﹣（40°+2α）＝140°，根據(jù)入射角等于反射角，可知：∠GHC＝∠KHD＝（180°﹣140°）＝20°，∴∠BCD＝180°﹣∠CGH﹣∠GHC＝90°+α，故答案為：90°+α．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，入射角和反射角以及三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于正確畫出輔助線．押題方向三：概率2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年湖州卷、衢州卷、臺(tái)州卷第12題隨機(jī)事件的概率從近幾年浙江各地中考來看，隨機(jī)事件的概率每年都有考查，難度較低。預(yù)計(jì)2024年浙江卷還將繼續(xù)考查隨機(jī)事件的概率、幾何概型、用樹狀圖或列表法求概率，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。2023年杭州卷、金華卷、舟山、嘉興第13題隨機(jī)事件的概率1．（2023?湖州）在一個(gè)不透明的箱子里放有7個(gè)紅球和3個(gè)黑球，它們除顏色外其余都相同．從這個(gè)箱子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是紅球的概率是．【思路點(diǎn)撥】直接由概率公式求解即可．【解析】解：從這個(gè)箱子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是紅球的概率是＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．熟記概率公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023?金華）如表為某中學(xué)統(tǒng)計(jì)的七年級(jí)500名學(xué)生體重達(dá)標(biāo)情況（單位：人），在該年級(jí)隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該生體重“標(biāo)準(zhǔn)”的概率是．“偏瘦”“標(biāo)準(zhǔn)”“超重”“肥胖”803504624【思路點(diǎn)撥】根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解析】解：七年級(jí)共有500名學(xué)生，體重“標(biāo)準(zhǔn)”的學(xué)生有350名，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率的計(jì)算．某事件的概率＝這個(gè)事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)除以總的結(jié)果數(shù)．3．（2023?杭州）一個(gè)僅裝有球的不透明布袋里只有6個(gè)紅球和n個(gè)白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，則n＝9．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)紅球的概率公式，列出方程求解即可．【解析】解：根據(jù)題意，＝，解得n＝9，經(jīng)檢驗(yàn)n＝9是方程的解．∴n＝9．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查概率公式，根據(jù)公式列出方程求解則可．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4．（2023?衢州）衢州飛往成都每天有2趟航班．小趙和小黃同一天從衢州飛往成都，如果他們可以選擇其中任一航班，則他們選擇同一航班的概率等于．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論．【解析】解：如圖所示，選擇航班從衢州飛往成都共有4種情況：（A，A）（A，B）（B，A）（B，B），其中選擇同一航班從衢州市飛往成都市的有兩種情況：（A，A），（B，B）．∴P（選擇同一航班從N市飛往S市）＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．1．公式法：P（A）=，其中n為所有事件的總數(shù)，m為事件A發(fā)生的總次數(shù)。2．列舉法：1）列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，應(yīng)不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法求事件發(fā)生的概率。2）畫樹狀圖法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及2個(gè)或更多的因素時(shí)，通常采用畫樹狀圖來求事件發(fā)生的概率。1．某校組織研學(xué)活動(dòng)，計(jì)劃從“太湖溇港景區(qū)”“荻港漁村”“東衡游子部落”“江南紅村”“五峰山運(yùn)動(dòng)村”五個(gè)研學(xué)基地中隨機(jī)選一個(gè)前往，則選中“太湖溇港景區(qū)”的概率是．【思路點(diǎn)撥】五個(gè)研學(xué)基地中隨機(jī)選一個(gè)前往共有5種等可能結(jié)果，其中選中“太湖溇港景區(qū)”的只有1種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．【解析】解：五個(gè)研學(xué)基地中隨機(jī)選一個(gè)前往共有5種等可能結(jié)果，其中選中“太湖溇港景區(qū)”的只有1種結(jié)果，所以選中“太湖溇港景區(qū)”的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率公式，隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．2．一個(gè)不透明的袋子里裝有6個(gè)紅球和4個(gè)黃球，它們除顏色外其余都相同．從袋中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為．【思路點(diǎn)撥】直接由概率公式求解即可．【解析】解：從袋中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率公式，解答本題的關(guān)鍵是掌握概率的求法：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．在學(xué)校舉行的“讀書節(jié)”活動(dòng)中，提供了四類適合學(xué)生閱讀的書籍：A．文學(xué)類，B．科幻類，C．漫畫類，D．?dāng)?shù)理類．小文同學(xué)從A，B，C，D四類書籍中隨機(jī)選擇一類，則選中A類書籍的概率為．【思路點(diǎn)撥】直接由概率公式求解即可．【解析】解：∵小文同學(xué)從A，B，C，D四類書籍中隨機(jī)選擇一類，∴選中A類書籍的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．熟記概率公式是解題的關(guān)鍵．4．一個(gè)僅裝有球的不透明布袋里只有6個(gè)紅球和n個(gè)白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，則n＝3．【思路點(diǎn)撥】由紅球的個(gè)數(shù)及任意摸出一個(gè)球是紅球的概率求得袋中球的總個(gè)數(shù)，繼而可得答案．【解析】解：由題意知，袋中球的總個(gè)數(shù)為6÷＝9（個(gè)），所以n＝9﹣6＝3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．5．在0，1，2，3四個(gè)實(shí)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為x的值，結(jié)果使分式的值為0的概率為．【思路點(diǎn)撥】確定使得分式為0的x的值，然后利用概率公式求得答案即可．【解析】解：在0，1，2，3四個(gè)實(shí)數(shù)中使分式的值為0的x的值為2或3，共2個(gè)，所以結(jié)果使分式的值為0的概率為＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的概率．6．小濱和小江分別從甲、乙兩個(gè)式樣、大小都相同的不透明袋子中隨機(jī)抽出一張卡片，其中，甲、乙兩個(gè)袋子中均裝有一張寫著正數(shù)的卡片和一張寫著負(fù)數(shù)的卡片．把各自抽出的卡片上的數(shù)字相乘，若乘積為正數(shù)則小濱獲勝，乘積為負(fù)數(shù)則小江獲勝，則該場(chǎng)游戲小江獲勝的概率是.若在乙袋中增加一張寫著負(fù)數(shù)的卡片，甲袋中的卡片數(shù)不變，兩人按照上述規(guī)則再次游戲，則小江獲勝的概率和第一場(chǎng)游戲中小江獲勝的概率相比將不變.（填“增加”“減小”或“不變”）【思路點(diǎn)撥】甲、乙兩個(gè)袋子中均裝有一張寫著正數(shù)的卡片和一張寫著負(fù)數(shù)的卡片時(shí)，列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及乘積為負(fù)數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得該場(chǎng)游戲小江獲勝的概率；在乙袋中增加一張寫著負(fù)數(shù)的卡片，甲袋中的卡片數(shù)不變時(shí)，列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及乘積為負(fù)數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得此時(shí)小江獲勝的概率，再作比較即可．【解析】解：列表如下：正數(shù)負(fù)數(shù)正數(shù)（正數(shù)，正數(shù)）（正數(shù)，負(fù)數(shù)）負(fù)數(shù)（負(fù)數(shù)，正數(shù)）（負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)）共有4種等可能的結(jié)果，其中乘積為負(fù)數(shù)的結(jié)果有：（正數(shù)，負(fù)數(shù)），（負(fù)數(shù)，正數(shù)），共2種，∴該場(chǎng)游戲小江獲勝的概率是＝．列表如下：正數(shù)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)正數(shù)（正數(shù)，正數(shù)）（正數(shù)，負(fù)數(shù)）（正數(shù)，負(fù)數(shù)）負(fù)數(shù)（負(fù)數(shù)，正數(shù)）（負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)）（負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)）共有6種等可能的結(jié)果，其中乘積為負(fù)數(shù)的結(jié)果有：（正數(shù)，負(fù)數(shù)），（正數(shù)，負(fù)數(shù)），（負(fù)數(shù)，正數(shù)），共3種，∴該場(chǎng)游戲小江獲勝的概率是＝，∴小江獲勝的概率和第一場(chǎng)游戲中小江獲勝的概率相比將不變．故答案為：；不變．【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．7．在一個(gè)木盒中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球（這些球除了顏色，其余均相同），從中隨意取出2個(gè)球，則恰好這2個(gè)球的顏色相同的概率是．【思路點(diǎn)撥】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和恰好這2個(gè)球的顏色相同的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解析】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，恰好這2個(gè)球的顏色相同有4種，∴恰好這2個(gè)球的顏色相同的概率為＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．8．如圖，電路圖上有4個(gè)開關(guān)A、B、C、D和1個(gè)小燈泡，同時(shí)閉合開關(guān)A、B或同時(shí)閉合開關(guān)C、D都可以使小燈泡發(fā)光．現(xiàn)隨機(jī)閉合兩個(gè)開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為．【思路點(diǎn)撥】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及能使小燈泡發(fā)光的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解析】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中能使小燈泡發(fā)光的結(jié)果有：AB，BA，CD，DC，共4種，∴隨機(jī)閉合兩個(gè)開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．押題方向四：圓與正多邊形2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年寧波卷第14題圓錐的計(jì)算從近幾年浙江中考來看，圓與正多邊形主要考查圓的內(nèi)接正多邊形、垂徑定理、切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)與扇形的面積的計(jì)算、圓錐的計(jì)算，試題以填空題形式呈現(xiàn)，整體難度中等；預(yù)計(jì)2024年浙江卷還將重視圓與正多邊形、弧長(zhǎng)與扇形的面積的相關(guān)計(jì)算、切線的性質(zhì)的考查。2023年湖州卷第13題垂徑定理2023年紹興卷第12題圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)2023年溫州卷第14題、金華卷第15題弧長(zhǎng)的計(jì)算2023年杭州卷第14題正多邊形和圓2023年溫州卷、舟山嘉興卷第16題扇形面積的計(jì)算2023年衢州卷、舟山嘉興卷第14題切線的性質(zhì)1．（2023?寧波）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長(zhǎng)為50cm，則煙囪帽的側(cè)面積為1500πcm2．（結(jié)果保留π）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．【解析】解：煙囪帽的側(cè)面積為：×2π×30×50＝1500π（cm2），故答案為：1500π．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的計(jì)算，熟記圓錐的側(cè)面展開圖是扇形以及扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023?溫州）若扇形的圓心角為40°，半徑為18，則它的弧長(zhǎng)為4π．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解析】解：由弧長(zhǎng)公式得，故答案為：4π．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)的公式，即（l表示弧長(zhǎng)，n是弧所對(duì)圓心角的度數(shù)，r表示半徑）．3．（2023?舟山、嘉興）如圖，點(diǎn)A是⊙O外一點(diǎn)，AB，AC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，點(diǎn)D在上．已知∠A＝50°，則∠D的度數(shù)是65°．【思路點(diǎn)撥】連接OC，OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ACO＝∠ABO＝90°，求得∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【解析】解：連接OC，OB，∵AB，AC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，∴∠ACO＝∠ABO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，∴∠D＝，故答案為：65°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023?衢州）如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于10cm．【思路點(diǎn)撥】連接OA，過點(diǎn)O作OE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則點(diǎn)E為餐盤與BC邊的切點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，則四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，得CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝8cm，設(shè)餐盤的半徑為xcm，則OA＝OE＝xcm，OF＝（x﹣4）cm，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【解析】解：由題意得：BC＝16cm，CD＝4cm，如圖，連接OA，過點(diǎn)O作OE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則∠OEC＝90°，∵餐盤與BC邊相切，∴點(diǎn)E為切點(diǎn)，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），設(shè)餐盤的半徑為xcm，則OA＝OE＝xcm，∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴餐盤的半徑為10cm，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023?金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則弧DE的長(zhǎng)為πcm．【思路點(diǎn)撥】連接OE，OD，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)．【解析】解：連接OE，OD，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠EOD＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠BAC＝50°，∴∠EOD＝∠BAC＝50°，∵OD＝AB＝×6＝3（cm），∴的長(zhǎng)＝＝π（cm）．故答案為：π．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)推出OD∥AC，從而求出∠EOD的度數(shù)．6．（2023?浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．將它們疊合在一起，邊BC與EF重合，CD與AB相交于點(diǎn)G（如圖1），此時(shí)線段CG的長(zhǎng)是6﹣6．現(xiàn)將△DEF繞點(diǎn)C（F）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），邊EF與AB相交于點(diǎn)H，連結(jié)DH，在旋轉(zhuǎn)0°到60°的過程中，線段DH掃過的面積是18+12π﹣18．【思路點(diǎn)撥】如圖1，過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，則∠CKG＝∠BKG＝90°，由等腰直角三角形性質(zhì)可得CK＝GK＝CG，進(jìn)而得出BK＝BC﹣CK＝12﹣CG，利用解直角三角形可得BK＝GK，建立方程求解即可得出答案；如圖2，以C為圓心，CD為半徑作圓，當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，CE′交AB于H′，連接DD′，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過點(diǎn)C作CN⊥DD′于N，則∠BCE′＝∠DCD′＝60°，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段BH′，因此在旋轉(zhuǎn)0°到60°的過程中，線段DH掃過的面積為S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，再利用等腰直角三角形性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、扇形面積公式即可求得答案．【解析】解：如圖1，過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，則∠CKG＝∠BKG＝90°，∵∠BCD＝45°，∴△CGK是等腰直角三角形，∴CK＝GK＝CG，∵BC＝12，∴BK＝BC﹣CK＝12﹣CG，在Rt△BGK中，∠GBK＝30°，∴＝tan∠GBK＝tan30°＝，∴BK＝GK，即12﹣CG＝×CG，∴CG＝6﹣6；如圖2，以C為圓心，CD為半徑作圓，當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，CE′交AB于H′，連接DD′，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過點(diǎn)C作CN⊥DD′于N，則∠BCE′＝∠DCD′＝60°，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段BH′，∴在旋轉(zhuǎn)0°到60°的過程中，線段DH掃過的面積為S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，∵CD＝BC?cosCBD＝12cos45°＝6，∴DG＝CD﹣CG＝6﹣（6﹣6）＝12﹣6，∵∠BCD+∠ABC＝60°+30°＝90°，∴∠BH′C＝90°，在Rt△BCH′中，CH′＝BC?sin30°＝12×＝6，BH′＝BC?cos30°＝12×＝6，∵△CD′E′是等腰直角三角形，∠CD′E′＝90°，D′H′⊥CE′，∴D′H′＝CE′＝6，∴BD′＝6+6，∵DM⊥AB，∴∠DMG＝90°，∴∠DMG＝∠CH′G，∵∠DGM＝∠CGH′，∴△DGM∽△CGH′，∴＝，即＝，∴DM＝3﹣3，∵CD′＝CD＝6，∠DCD′＝60°，∴△CDD′是等邊三角形，∴∠CDD′＝60°，∵CN⊥DD′，∴CN＝CD?sin∠CDD′＝6sin60°＝3，∴S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′＝×（6+6）×（3﹣3）+﹣×6×3＝18+12π﹣18；故答案為：6﹣6；18+12π﹣18．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等，得出DH掃過的面積為S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′是解題關(guān)鍵．7．（2023?杭州）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則＝2．【思路點(diǎn)撥】連接OA，OC，OE，首先證明出△ACE是⊙O的內(nèi)接正三角形，然后證明出△BAC≌△OAC（ASA），得到S△ABC＝S△AEE＝S△CDES△AOC＝S△OAE＝S△OCE，進(jìn)而求解即可．【解析】解：如圖所示，連接OA，OC，OE．∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是⊙O的內(nèi)接正三角形，∵∠B＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣∠B）＝30°，∵∠CAE＝60°，∴∠OAC＝∠OAE＝30°，∴∠BAC＝∠OAC＝30°，同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，又∵AC＝AC，∴△BAC≌△OAC（ASA），∴S△BAC＝S△AOC，圓和正六邊形的性質(zhì)可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，由圓和正三角形的性質(zhì)可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，∴，故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，正六邊形和正三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)：垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式、圓錐的計(jì)算公式、正多邊形的性質(zhì)是解決這一類問題的關(guān)鍵。1．如圖，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為2，以頂點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，圖中陰影部分的面積為．【思路點(diǎn)撥】求出正五邊形內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠A＝＝108°，∴S陰影部分＝S扇形ABE＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，扇形面積的計(jì)算，掌握正五邊形的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．2．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，得EC，連接AC，AE，則圖中扇形CAE的面積為.（結(jié)果保留π）【思路點(diǎn)撥】利用正六邊形的性質(zhì)求出∠EAC的度數(shù)和AC的長(zhǎng)，再利用扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF＝∠B＝∠F＝120°，AF＝EF，AB＝BC，∴∠FAE＝∠FEA＝30°，∠CAB＝∠BCA＝30°，∴∠EAC＝120°﹣30°﹣30°＝60°，作BH⊥AC于點(diǎn)H，則CH＝AH＝cos30°×AB＝×1＝，，AC＝，扇形CAE的面積＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓以及扇形的面積，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．一段圓弧形公路彎道的半徑為200m，圓心角為18°，則該彎道的長(zhǎng)度為20πm（結(jié)果保留π）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算．【解析】解：該彎道的長(zhǎng)度為＝20π（m）．故答案為：20π．【點(diǎn)睛】本題側(cè)重考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)公式是解決此題的關(guān)鍵．4．傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖1為明清時(shí)期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖2馬面裙可以近似地看作扇環(huán)，其中長(zhǎng)度為π米，裙長(zhǎng)AB為0.8米，圓心角∠AOD＝60°，則長(zhǎng)度為π米．【思路點(diǎn)撥】由弧長(zhǎng)公式：l＝（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r），即可計(jì)算．【解析】解：∵圓心角∠AOD＝60°，∴的長(zhǎng)＝＝π，∴OA＝1米，∴OB＝OA+AB＝1+0.8＝1.8（米），∴的長(zhǎng)＝＝π（米），故答案為：π米．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式．5．若扇形的圓心角為80°，半徑為，則它的面積為．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【解析】解：扇形的面積＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．6．若一個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的半徑為14cm，圓心角為90°，則該圓錐的底面半徑長(zhǎng)為cm．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)列方程即可．【解析】解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝，即該圓錐的底面半徑長(zhǎng)為cm．故答案為：cm．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．7．如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接OB，AB．如果∠OBA＝20°，那么∠P的度數(shù)為40°．【答案】40°．【思路點(diǎn)撥】利用切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)得到PA＝PB，OB⊥PB，則∠PBO＝90°，所以∠PBA＝70°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求∠P的度數(shù)．【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，∴PA＝PB，OB⊥PB，∴∠PBO＝90°，∴∠PBA＝∠PBO﹣∠OBA＝90°﹣20°＝70°，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝70°，∴∠P＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了切線長(zhǎng)定理．8．如圖，AB是⊙O的切線，OB交⊙O于點(diǎn)C，OD⊥OB，連接AD，CD，若∠B＝40°，則∠BAD的度數(shù)為160°．【答案】160°．【思路點(diǎn)撥】連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠BAO＝90