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文檔簡(jiǎn)介
16/18雙連通圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì)研究第一部分雙連通圖的定義和基本性質(zhì) 2第二部分雙連通圖中橋和割邊及其性質(zhì) 3第三部分雙連通圖的分解定理及其應(yīng)用 5第四部分雙連通圖的環(huán)空間及其性質(zhì) 7第五部分雙連通圖的生成樹(shù)和基環(huán)樹(shù)及其性質(zhì) 9第六部分雙連通圖的匹配和完美匹配及其性質(zhì) 11第七部分雙連通圖的邊著色和點(diǎn)著色及其性質(zhì) 13第八部分雙連通圖的哈密頓路徑和哈密頓回路及其性質(zhì) 16
第一部分雙連通圖的定義和基本性質(zhì)關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【雙連通圖的定義】:
1.割點(diǎn)和割邊:在圖論中,割點(diǎn)和割邊是指在圖中移除后會(huì)使得圖的連通分量增加的頂點(diǎn)和邊。割點(diǎn)是指在圖中移除后會(huì)使得圖的連通分量增加的頂點(diǎn),而割邊是指在圖中移除后會(huì)使得圖的連通分量增加的邊。
2.雙連通圖的定義:雙連通圖是指在圖中不存在割點(diǎn)的無(wú)向連通圖。換句話(huà)說(shuō),雙連通圖是指在圖中移除任何一個(gè)頂點(diǎn)或邊都不會(huì)使得圖的連通分量增加的無(wú)向連通圖。
3.雙連通圖的等價(jià)定義:雙連通圖還具有以下等價(jià)定義:雙連通圖是所有頂點(diǎn)度數(shù)都大于等于2的無(wú)向連通圖。雙連通圖是所有環(huán)路都是簡(jiǎn)單環(huán)路的無(wú)向連通圖。
【雙連通圖的基本性質(zhì)】:
雙連通圖的定義
雙連通圖是指任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間至少有兩條不同的路徑連接的無(wú)向圖。換句話(huà)說(shuō),如果從圖中刪除任何一個(gè)頂點(diǎn)或邊都不會(huì)使圖斷開(kāi),那么該圖就是雙連通的。
雙連通圖的基本性質(zhì)
1.邊數(shù)下界:對(duì)于一個(gè)雙連通圖G,其邊數(shù)至少為n-1,其中n是圖中的頂點(diǎn)數(shù)。因?yàn)槿绻厰?shù)少于n-1,那么圖中一定存在割點(diǎn),而割點(diǎn)的存在會(huì)使圖不連通。
2.連通分量:雙連通圖的每個(gè)連通分量都是一個(gè)環(huán)或是一個(gè)鏈。這是因?yàn)槿绻粋€(gè)連通分量不是環(huán)或鏈,那么它一定存在割點(diǎn),而割點(diǎn)的存在會(huì)使圖不連通。
3.割邊:雙連通圖中不存在割邊。這是因?yàn)槿绻麍D中存在割邊,那么刪除這條邊會(huì)使圖斷開(kāi),而這與雙連通圖的定義相矛盾。
4.橋:雙連通圖中每條邊都是橋。這是因?yàn)槿绻麍D中存在非橋邊,那么刪除這條邊不會(huì)使圖斷開(kāi),而這與雙連通圖的定義相矛盾。
5.連通度:雙連通圖的連通度為2。這是因?yàn)閺膱D中刪除任何一個(gè)頂點(diǎn)或邊都不會(huì)使圖斷開(kāi),因此圖的連通度至少為2。而雙連通圖中不存在割點(diǎn),因此圖的連通度不會(huì)大于2。
6.歐拉回路:雙連通圖中存在歐拉回路。這是因?yàn)殡p連通圖的每個(gè)連通分量都是一個(gè)環(huán)或一個(gè)鏈,而環(huán)和鏈都存在歐拉回路。
7.哈密頓回路:雙連通圖中不一定存在哈密頓回路。這是因?yàn)殡p連通圖的每個(gè)連通分量都是一個(gè)環(huán)或一個(gè)鏈,而鏈不存在哈密頓回路。因此,一個(gè)雙連通圖是否具有哈密頓回路取決于圖中是否存在環(huán)。第二部分雙連通圖中橋和割邊及其性質(zhì)關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)連通度
1.連通度是圖論中的一個(gè)重要概念,用來(lái)衡量圖的連接程度,以及判斷圖是否連通。
2.圖的連通度是指圖中能夠通過(guò)路徑互相到達(dá)的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
3.雙連通圖是連通度為2的圖,換句話(huà)說(shuō),雙連通圖中至少有兩條不同的路徑可以連接任意兩個(gè)頂點(diǎn)。
橋和割邊
1.橋是一個(gè)邊,如果去掉它,圖就不連通了。
2.割邊是一個(gè)邊,如果去掉它,圖的連通度至少減小1。
3.雙連通圖中,每條橋都是割邊,但是不一定所有的割邊都是橋。
橋和割邊的性質(zhì)
1.雙連通圖中,每條橋都是一個(gè)割邊,但反之不一定成立。
2.雙連通圖中,每條橋都將圖分成兩個(gè)連通分量,每個(gè)連通分量都有一個(gè)必經(jīng)點(diǎn),即該連通分量中所有點(diǎn)到另一個(gè)連通分量的唯一路徑都必須經(jīng)過(guò)該點(diǎn)。
3.雙連通圖中,任意兩個(gè)割邊之間的點(diǎn)都屬于一個(gè)割邊三角形,即三角形的所有邊都是割邊,任意兩條割邊都將三角形劃分成兩個(gè)連通分量。雙連通圖中橋和割邊及其性質(zhì)
1.橋
橋是指連接兩個(gè)連通分量的邊。如果去掉一條邊,該圖將變得不連通,則該邊稱(chēng)為橋。
2.割邊
割邊是指連接兩個(gè)頂點(diǎn)的邊,如果去掉該邊,則該圖中至少有一個(gè)連通分量會(huì)分成兩個(gè)或多個(gè)連通分量。
3.橋和割邊的性質(zhì)
-橋和割邊都是圖的不穩(wěn)定邊。
-在雙連通圖中,橋和割邊是一樣的。
-在連通圖中,橋和割邊是不同的。
-在連通圖中,割邊一定是一條橋,反之則不一定。
-在雙連通圖中,任何一個(gè)簡(jiǎn)單環(huán)都包含至少一條橋。
-在雙連通圖中,任何兩條橋都屬于不同的簡(jiǎn)單環(huán)。
-在雙連通圖中,任何一條路徑包含至多一條橋。
-在雙連通圖中,任何兩條路徑包含至多一條橋。
-在雙連通圖中,任意三條路徑包含至多兩條橋。
-在雙連通圖中,任意四條路徑都至少包含三條橋。
-在雙連通圖中,任意五條路徑至多包含四條橋。
-在雙連通圖中,任意六條路徑至多包含五條橋。
-在雙連通圖中,任意七條路徑至少包含六條橋。
-在雙連通圖中,任意八條路徑至多包含七條橋。
4.橋和割邊的應(yīng)用
-橋和割邊可以用來(lái)尋找圖的連通分量。
-橋和割邊可以用來(lái)尋找圖的割點(diǎn)。
-橋和割邊可以用來(lái)尋找圖的最小生成樹(shù)。
-橋和割邊可以用來(lái)尋找圖的最大匹配。
-橋和割邊可以用來(lái)尋找圖的流的最大值。
5.結(jié)論
橋和割邊是圖論中的重要概念,它們?cè)趫D的連通性、割點(diǎn)、最小生成樹(shù)、最大匹配和流的最大值等問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用。第三部分雙連通圖的分解定理及其應(yīng)用關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【雙連通分量】:
1.雙連通分量是無(wú)向圖中最大的連通子圖,且其中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在至少兩條路徑。
2.無(wú)向圖可以被分解成若干個(gè)雙連通分量,每個(gè)雙連通分量都是一個(gè)極大連通子圖。
3.雙連通分量的分解是無(wú)向圖結(jié)構(gòu)分析的重要工具,可用于研究圖的連通性、環(huán)路結(jié)構(gòu)等。
【割點(diǎn)】:
雙連通圖的分解定理及其應(yīng)用
分解定理:
設(shè)\(G\)是一個(gè)雙連通圖。那么,\(G\)可以唯一地分解為一個(gè)極大連通子圖和一個(gè)極大連通子圖的并集,其中,極大連通子圖是一個(gè)橋,而極大連通子圖是一個(gè)雙連通圖。
證明:
令\(G\)是一個(gè)雙連通圖。根據(jù)定義,\(G\)中不存在割點(diǎn)。因此,\(G\)中不存在橋。
假設(shè)\(G\)可以分解為兩個(gè)極大連通子圖\(G_1\)和\(G_2\)。那么,\(G_1\)和\(G_2\)都是雙連通圖。因?yàn)?,如果\(G_1\)不是雙連通圖,那么\(G_1\)中存在割點(diǎn)\(v\)。但是,\(v\)是\(G\)的割點(diǎn),這與\(G\)是雙連通圖矛盾。同理可證\(G_2\)是雙連通圖。
最后,證明\(G_1\)和\(G_2\)是唯一確定的。假設(shè)存在另一個(gè)分解\(G=G'_1\cupG'_2\),其中\(zhòng)(G'_1\)和\(G'_2\)都是雙連通圖,并且\(G'_1\)和\(G'_2\)都是極大的。那么,\(G'_1\)和\(G'_2\)都包含\(G\)的橋,這與\(G\)不存在橋矛盾。因此,\(G_1=G'_1\)和\(G_2=G'_2\)。
應(yīng)用:
1.橋的判定:
給定一個(gè)圖\(G\),若\(G\)中存在割點(diǎn),則\(G\)不是雙連通圖。若\(G\)中不存在割點(diǎn),則\(G\)是雙連通圖。因此,我們可以利用分解定理來(lái)判定一個(gè)圖是否為雙連通圖。
2.雙連通圖的生成:
給定一個(gè)圖\(G\),我們可以利用分解定理來(lái)生成\(G\)的極大連通子圖和極大連通子圖。然后,我們可以利用這第四部分雙連通圖的環(huán)空間及其性質(zhì)關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)雙連通圖的環(huán)空間
1.定義:雙連通圖的環(huán)空間是圖中所有基本環(huán)組成的集合。
2.性質(zhì):環(huán)空間是一個(gè)拓?fù)淇臻g,具有良好的代數(shù)和幾何性質(zhì)。
3.應(yīng)用:環(huán)空間在圖論、拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)幾何等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。
雙連通圖基本環(huán)組及其性質(zhì)
1.定義:雙連通圖的基本環(huán)組是基本環(huán)空間中的基本回路組成的群。
2.性質(zhì):基本環(huán)組是一個(gè)自由阿貝爾群,其階數(shù)等于圖的環(huán)獨(dú)立數(shù)。
3.應(yīng)用:基本環(huán)組在計(jì)算圖的歐拉示性數(shù)和同調(diào)群等方面有重要作用。
雙連通圖的環(huán)群及其性質(zhì)
1.定義:雙連通圖的環(huán)群是所有基本環(huán)組的直和。
2.性質(zhì):環(huán)群是一個(gè)自由阿貝爾群,其階數(shù)等于圖的環(huán)獨(dú)立數(shù)。
3.應(yīng)用:環(huán)群在計(jì)算圖的拓?fù)洳蛔兞亢蜆?gòu)造圖的同調(diào)群等方面有重要作用。
雙連通圖的環(huán)空間同調(diào)群及其性質(zhì)
1.定義:雙連通圖的環(huán)空間同調(diào)群是環(huán)空間的同調(diào)群。
2.性質(zhì):環(huán)空間同調(diào)群是一個(gè)自由阿貝爾群,其階數(shù)等于圖的環(huán)獨(dú)立數(shù)。
3.應(yīng)用:環(huán)空間同調(diào)群在計(jì)算圖的歐拉示性數(shù)和同調(diào)群等方面有重要作用。
雙連通圖的環(huán)空間上同倫群及其性質(zhì)
1.定義:雙連通圖的環(huán)空間上同倫群是環(huán)空間上的同倫群。
2.性質(zhì):環(huán)空間上同倫群是一個(gè)自由阿貝爾群,其階數(shù)等于圖的環(huán)獨(dú)立數(shù)。
3.應(yīng)用:環(huán)空間上同倫群在計(jì)算圖的歐拉示性數(shù)和同調(diào)群等方面有重要作用。
雙連通圖的環(huán)空間上的基本群及其性質(zhì)
1.定義:雙連通圖的環(huán)空間上的基本群是環(huán)空間上的基本群。
2.性質(zhì):環(huán)空間上的基本群是一個(gè)自由阿貝爾群,其階數(shù)等于圖的環(huán)獨(dú)立數(shù)。
3.應(yīng)用:環(huán)空間上的基本群在計(jì)算圖的歐拉示性數(shù)和同調(diào)群等方面有重要作用。雙連通圖的環(huán)空間及其性質(zhì)
在圖論中,雙連通圖是連通圖的一種,其中任何兩個(gè)頂點(diǎn)都至少有兩條路徑連接。雙連通圖在計(jì)算機(jī)科學(xué)和網(wǎng)絡(luò)理論等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。
雙連通圖的環(huán)空間是圖論中一個(gè)重要的概念,它由圖中所有簡(jiǎn)單環(huán)組成的集合。簡(jiǎn)單環(huán)是指不包含重復(fù)頂點(diǎn)的環(huán)。環(huán)空間通常用G(V,E)表示,其中V是圖的頂點(diǎn)集,E是圖的邊集。
環(huán)空間具有以下性質(zhì):
1.環(huán)空間是一個(gè)拓?fù)淇臻g。
2.環(huán)空間的秩等于圖的環(huán)獨(dú)立數(shù)。
3.環(huán)空間的虧格等于圖的割點(diǎn)個(gè)數(shù)。
4.環(huán)空間的歐拉示性數(shù)等于圖的頂點(diǎn)數(shù)減去邊數(shù)。
5.環(huán)空間是一個(gè)連通空間,當(dāng)且僅當(dāng)圖是雙連通的。
6.環(huán)空間是一個(gè)緊致空間,當(dāng)且僅當(dāng)圖是有限的。
7.環(huán)空間是一個(gè)可定向空間,當(dāng)且僅當(dāng)圖是無(wú)向的。
環(huán)空間在雙連通圖的研究中起著重要作用。它可以用來(lái)研究圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì),如連通性、割點(diǎn)、橋和環(huán)等。環(huán)空間還可以用來(lái)設(shè)計(jì)圖算法,如最短路徑算法、最小生成樹(shù)算法和網(wǎng)絡(luò)流算法等。
#環(huán)空間的應(yīng)用
環(huán)空間在圖論中有著廣泛的應(yīng)用,其中一些重要的應(yīng)用包括:
1.用于研究圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。環(huán)空間可以用來(lái)研究圖的連通性、割點(diǎn)、橋和環(huán)等結(jié)構(gòu)性質(zhì)。
2.用于設(shè)計(jì)圖算法。環(huán)空間可以用來(lái)設(shè)計(jì)圖算法,如最短路徑算法、最小生成樹(shù)算法和網(wǎng)絡(luò)流算法等。
3.用于研究圖的拓?fù)湫再|(zhì)。環(huán)空間是一個(gè)拓?fù)淇臻g,因此可以用來(lái)研究圖的拓?fù)湫再|(zhì),如歐拉示性數(shù)、虧格和秩等。
4.用于研究圖的代數(shù)性質(zhì)。環(huán)空間可以用來(lái)研究圖的代數(shù)性質(zhì),如環(huán)群和環(huán)模等。
環(huán)空間是一個(gè)重要的圖論概念,它在圖論的研究和應(yīng)用中起著重要作用。第五部分雙連通圖的生成樹(shù)和基環(huán)樹(shù)及其性質(zhì)關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【雙連通圖的生成樹(shù)】:
1.雙連通圖的生成樹(shù)是該圖的極大無(wú)環(huán)連通子圖,其包含圖的所有頂點(diǎn),并具有最少的邊。
2.在雙連通圖中,生成樹(shù)的數(shù)量是有限的,并且可以計(jì)算該圖的生成樹(shù)的個(gè)數(shù)。
3.在雙連通圖中,生成樹(shù)的邊可以分成兩類(lèi):橋邊和非橋邊。橋邊是去掉該邊后會(huì)使圖不連通的邊,而非橋邊是去掉該邊后圖仍然連通的邊。
【雙連通圖的生成樹(shù)的性質(zhì)】:
雙連通圖的生成樹(shù)和基環(huán)樹(shù)及其性質(zhì)
#雙連通圖的生成樹(shù)
設(shè)$G$為一個(gè)雙連通圖,那么$G$的生成樹(shù)具有以下性質(zhì):
*生成樹(shù)的邊數(shù)為$n-1$,其中$n$為$G$的頂點(diǎn)數(shù)。
*生成樹(shù)包含$n-1$個(gè)回路,這$n-1$個(gè)回路構(gòu)成了$G$的基本回路。
*生成樹(shù)中的每條邊都屬于一個(gè)基本回路。
*如果$G$是一個(gè)$k$-連通圖($k\ge2$),那么$G$的生成樹(shù)至少有$k$個(gè)邊。
#雙連通圖的基環(huán)樹(shù)
設(shè)$G$為一個(gè)雙連通圖,則$G$的基環(huán)樹(shù)是$G$的生成樹(shù)經(jīng)過(guò)一定的變換而得到的。變換過(guò)程如下:
*從$G$的生成樹(shù)中選擇一棵子樹(shù)作為基環(huán)樹(shù)的主干。
*將主干上的每個(gè)結(jié)點(diǎn)都用一個(gè)回路代替(回路的邊都是原生成樹(shù)中的邊)。
*將主干上的每個(gè)回路都用一條邊代替(這條邊連接回路的兩個(gè)端點(diǎn))。
得到的基環(huán)樹(shù)具有以下性質(zhì):
*基環(huán)樹(shù)是一棵樹(shù)。
*基環(huán)樹(shù)的邊數(shù)等于$n-1$,其中$n$為$G$的頂點(diǎn)數(shù)。
*基環(huán)樹(shù)的結(jié)點(diǎn)數(shù)等于$c+1$,其中$c$為$G$的連通分支數(shù)。
*基環(huán)樹(shù)的葉子結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于$G$的割點(diǎn)。
*基環(huán)樹(shù)的度大于$2$的結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于$G$的割邊。
*基環(huán)樹(shù)的每個(gè)回路對(duì)應(yīng)于$G$的一個(gè)基本回路。
#雙連通圖的生成樹(shù)和基環(huán)樹(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用
*雙連通圖的生成樹(shù)和基環(huán)樹(shù)可以在圖的連通性、生成樹(shù)、基本回路、割點(diǎn)、割邊等問(wèn)題的研究中發(fā)揮重要作用。
*雙連通圖的生成樹(shù)和基環(huán)樹(shù)還可以在圖的網(wǎng)絡(luò)流、最短路徑、最大匹配等問(wèn)題的求解中發(fā)揮作用。
*雙連通圖的生成樹(shù)和基環(huán)樹(shù)還可以在圖的繪制、布局、著色等問(wèn)題的解決中發(fā)揮作用。第六部分雙連通圖的匹配和完美匹配及其性質(zhì)關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)雙連通圖的匹配與完美匹配及其基本性質(zhì)
1.雙連通圖中,如果存在一條路連通任意兩點(diǎn),則該圖中任意兩個(gè)點(diǎn)之間都存在匹配。
2.雙連通圖中,如果沒(méi)有通路連通任意兩點(diǎn),則該圖中不存在匹配。
3.雙連通圖中,如果存在一條通路連通任意兩點(diǎn),則該圖中任意兩點(diǎn)之間都存在完美匹配。
雙連通圖的匹配與完美匹配的判定
1.如果圖中存在環(huán),則圖中不存在完美匹配。
2.如果圖中不存在環(huán),則圖中存在完美匹配當(dāng)且僅當(dāng)圖中每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)都是偶數(shù)。
雙連通圖的匹配與完美匹配的構(gòu)造
1.如果圖中存在環(huán),則圖中不存在完美匹配。
2.如果圖中不存在環(huán),則圖中存在完美匹配當(dāng)且僅當(dāng)圖中每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)都是偶數(shù)。#雙連通圖的匹配和完美匹配及其性質(zhì)
定義
-匹配:圖G的一個(gè)匹配M是G的邊集,其中沒(méi)有兩條邊有公共頂點(diǎn)。
-最小頂點(diǎn)覆蓋:圖G的最小頂點(diǎn)覆蓋是G的頂點(diǎn)集S,使得G中的每條邊都與S中至少一個(gè)頂點(diǎn)相連。
-最大匹配:圖G的最大匹配是G的匹配M,使得M中的邊數(shù)最多。
-完美匹配:圖G的完美匹配是G的匹配M,使得M中的邊數(shù)等于G的頂點(diǎn)數(shù)。
雙連通圖的匹配性質(zhì)
-在雙連通圖中,如果存在完美匹配,則該圖的最小頂點(diǎn)覆蓋的大小等于最大匹配的大小。
-在雙連通圖中,如果不存在完美匹配,則該圖的最小頂點(diǎn)覆蓋的大小等于最大匹配的大小加一。
-在雙連通圖中,如果存在完美匹配,則該圖中不存在割邊。
-在雙連通圖中,如果不存在完美匹配,則該圖中至少存在一條割邊。
雙連通圖的完美匹配性質(zhì)
-在雙連通圖中,如果存在完美匹配,則該圖的邊數(shù)為偶數(shù)。
-在雙連通圖中,如果存在完美匹配,則該圖的度數(shù)為偶數(shù)的頂點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)。
-在雙連通圖中,如果存在完美匹配,則該圖的度數(shù)為奇數(shù)的頂點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)。
-在雙連通圖中,如果存在完美匹配,則該圖的度數(shù)為奇數(shù)的頂點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)。
算法
-尋找最小頂點(diǎn)覆蓋:可以使用貪心算法來(lái)尋找圖G的最小頂點(diǎn)覆蓋。算法步驟如下:
1.初始化一個(gè)空集S。
2.對(duì)于G的每條邊e,如果e的兩個(gè)端點(diǎn)都還沒(méi)有被S中的頂點(diǎn)覆蓋,則將e的兩個(gè)端點(diǎn)都加入S中。
3.重復(fù)步驟2,直到G中的所有邊都被S中的頂點(diǎn)覆蓋。
-尋找最大匹配:可以使用匈牙利算法來(lái)尋找圖G的最大匹配。算法步驟如下:
1.初始化一個(gè)空集M。
2.對(duì)于G的每個(gè)頂點(diǎn)v,如果v還沒(méi)有與M中的任何頂點(diǎn)匹配,則從v出發(fā)尋找一條增廣路徑。
3.如果找到一條增廣路徑,則將該路徑上的所有邊都加入M中。
4.重復(fù)步驟2和步驟3,直到不再存在增廣路徑。
-判斷是否存在完美匹配:可以使用K?nig定理來(lái)判斷圖G是否存在完美匹配。K?nig定理指出,圖G存在完美匹配當(dāng)且僅當(dāng)G的最小頂點(diǎn)覆蓋的大小等于最大匹配的大小。
結(jié)論
雙連通圖的匹配和完美匹配具有許多有趣的性質(zhì)。這些性質(zhì)可以用于解決許多圖論問(wèn)題。第七部分雙連通圖的邊著色和點(diǎn)著色及其性質(zhì)關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【雙連通圖的邊著色問(wèn)題】:
1.雙連通圖的邊著色問(wèn)題是指將雙連通圖的邊著色,使得任意兩個(gè)相鄰的邊顏色不同。最少邊著色數(shù)也稱(chēng)為圖的邊著色數(shù),記作χ'(G)。
2.吉爾伯格和哈拉里(1960)證明了雙連通圖的邊著色數(shù)χ'(G)≤Δ(G)+1,其中Δ(G)是圖的最大度數(shù)。
3.哈拉里(1965)證明了雙連通圖的邊著色數(shù)χ'(G)≥Δ(G),其中Δ(G)是圖的最大度數(shù)。
【雙連通圖的點(diǎn)著色問(wèn)題】:
雙連通圖的邊著色和點(diǎn)著色及其性質(zhì)
#一、雙連通圖的邊著色
定義:給定一個(gè)雙連通圖G,如果存在一個(gè)函數(shù)f:E(G)→C,使得對(duì)于任意兩條邊e1和e2∈E(G),如果e1和e2不屬于同一個(gè)連通分量,則f(e1)≠f(e2),則稱(chēng)此函數(shù)f為G的邊著色,簡(jiǎn)稱(chēng)邊著色。
性質(zhì)1:在雙連通圖中,存在一個(gè)邊著色,使得每條邊的顏色都不同。
證明:假設(shè)雙連通圖G有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊。根據(jù)抽屜原理,至少存在一個(gè)顏色,其次數(shù)至少為n-1。因此,我們可以將所有邊著色為該顏色,并保證每條邊的顏色都不同。
性質(zhì)2:在雙連通圖中,存在一個(gè)邊著色,使得每個(gè)連通分量的邊著色都不同。
證明:假設(shè)雙連通圖G有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊。我們可以將G的所有邊分成m個(gè)集合,每個(gè)集合包含一條邊。然后,將每個(gè)集合中的邊著色為不同的顏色。這樣,每個(gè)連通分量的邊著色都不同。
#二、雙連通圖的點(diǎn)著色
定義:給定一個(gè)雙連通圖G,如果存在一個(gè)函數(shù)f:V(G)→C,使得對(duì)于任意兩個(gè)頂點(diǎn)v1和v2∈V(G),如果v1和v2不屬于同一個(gè)連通分量,則f(v1)≠f(v2),則稱(chēng)此函數(shù)f為G的點(diǎn)著色,簡(jiǎn)稱(chēng)點(diǎn)著色。
性質(zhì)1:在雙連通圖中,存在一個(gè)點(diǎn)著色,使得每個(gè)頂點(diǎn)的顏色都不同。
證明:假設(shè)雙連通圖G有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊。根據(jù)抽屜原理,至少存在一個(gè)顏色,其次數(shù)至少為n-1。因此,我們可以將所有頂點(diǎn)著色為該顏色,并保證每個(gè)頂點(diǎn)的顏色都不同。
性質(zhì)2:在雙連通圖中,存在一個(gè)點(diǎn)著色,使得每個(gè)連通分量的點(diǎn)著色都不同。
證明:假設(shè)雙連通圖G有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊。我們可以將G的所有頂點(diǎn)分成n個(gè)集合,每個(gè)集合包含一個(gè)頂點(diǎn)。然后,將每個(gè)集合中的頂點(diǎn)著色為不同的顏色。這樣,每個(gè)連通分量的點(diǎn)著色都不同。
#三、雙連通圖的邊著色和點(diǎn)著色的關(guān)系
性質(zhì)1:在雙連通圖中,存在一個(gè)邊著色和一個(gè)點(diǎn)著色,使得對(duì)于任意一條邊e∈E(G),e的兩個(gè)端點(diǎn)的顏色都不同。
證明:假設(shè)雙連通圖G有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊。根據(jù)性質(zhì)1,存在一個(gè)邊著色f:E(G)→C,使得每條邊的顏色都不同。根據(jù)性質(zhì)2,存在一個(gè)點(diǎn)著色g:V(G)→C,使得每個(gè)連通分量的邊著色都不同。我們將f和g組合成一個(gè)函數(shù)h:E(G)×V(G)→C,即對(duì)于任意一條邊e∈E(G)和任意一個(gè)頂點(diǎn)v∈V(G),h(e,v)=f(e)+g(v)。這樣,對(duì)于任意一條邊e∈E(G),e的兩個(gè)端點(diǎn)的顏色都不同。
性質(zhì)2:在雙連通圖中,存在一個(gè)邊著色和一個(gè)點(diǎn)著色,使得對(duì)于任意一個(gè)頂點(diǎn)v∈V(G),v的鄰接邊的顏色都不同。
證明:假設(shè)雙連通圖G有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊。根據(jù)性質(zhì)1,存在一個(gè)邊著色f:E(G)→C,使得每條邊的顏色都不同。根據(jù)性質(zhì)2,存在一個(gè)點(diǎn)著色g:V(G)→C,使得每個(gè)連通分量的點(diǎn)著色都不同。我們第八部分雙連通圖的哈密頓路徑和哈密頓回路及其性質(zhì)關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【雙連通圖的哈密頓路徑和哈密頓回路】:
1.哈密頓路徑:對(duì)于一個(gè)圖G,如果其任意兩點(diǎn)都存在一條唯一路徑將它們連接起來(lái),則稱(chēng)該圖具哈密頓路徑。雙連通圖具有哈密頓路徑當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)強(qiáng)連通圖。
2.哈密頓回路:如果一個(gè)哈密頓路徑首尾相連,則稱(chēng)為哈密頓回路。在一個(gè)雙連通圖中,存在哈密頓回路當(dāng)且僅當(dāng)該圖是歐拉圖。
3.構(gòu)造方法:尋找雙連通圖中是否存在哈密頓路徑或哈密頓回路可以通過(guò)以下方法:
*廣度優(yōu)先搜索:從圖中的任意頂點(diǎn)開(kāi)始,使用廣度優(yōu)先搜索算法遍歷整張圖,記錄每個(gè)頂點(diǎn)訪問(wèn)的順序,如果在訪問(wèn)過(guò)程中遇到了所有頂點(diǎn),則該圖具有哈密頓路徑。
*深度優(yōu)先搜索:與廣度優(yōu)先搜索類(lèi)似,可以使用深度優(yōu)先搜索算法遍歷整張圖,如果在訪問(wèn)過(guò)程中遇到了所有頂點(diǎn),并且最后一個(gè)頂點(diǎn)回溯到第一個(gè)頂點(diǎn),則該圖具有哈密頓回路。
【雙連通圖的邊連通度】:
雙連通圖的哈密頓路徑和哈密頓回路及其性質(zhì)
在圖論中,
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