17.2一元二次方程的解法1.直接開方法第十七章一元二次方程一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用直接開平方法解形如x2=m,(ax+n)2=m(m≥0)的一元二次方程2.知道直接開平方法求一元二次方程的解的依據(jù)是數(shù)的開平方運(yùn)算二、新課導(dǎo)入(15+x)2=300

市區(qū)內(nèi)有一塊邊長為15米的正方形綠地,為了城市規(guī)劃,需擴(kuò)大綠化面積,預(yù)計(jì)規(guī)劃后的正方形綠地面積將達(dá)到300平方米,設(shè)這塊綠地的邊長增加了x米，請列出方程.怎么求解這個(gè)方程？三、概念剖析

對于形如x2=m(m≥0)的方程,可以直接用開平方得到x=.這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法,簡稱開平方法.回答下列問題：(1)9的平方根是

，那么x2=9的根是

；(2)0的平方根是

，那么x2=0的根是

；(3)-1的平方根

，那么x2=-1的根

；±3±300不存在不存在四、典型例題例1.用直接開平方法解下列方程：（1）y2-64=0（2）16x2-25=0

解：(1)移項(xiàng)，得y2=64

開平方，得y1=8,y2=-8(2)移項(xiàng)，得16x2=25

兩邊同時(shí)除以16，得x2=

開平方，得x1=,x2=提示：將方程化成x2=m(m≥0)的形式再求解用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟：首先將一元二次方程化為左邊是含有未知數(shù)的一個(gè)完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，然后用平方根的概念求解.四、典型例題例2.解方程：（1）(3x+)2=0（2）2(x+1)2-6=0

解：（1）開平方，得3x+=0

解得x=

提示：①括號(hào)內(nèi)看成一個(gè)整體

②將方程化成(ax+n)2=m(m≥0)的形式再求解（2）移項(xiàng)，得2(x+1)2=6

兩邊同時(shí)除以2，得(x+1)2=3開平方，得x+1=

解得x1=,x2=四、典型例題歸納總結(jié)：

用直接開平方法還可以解形如(ax+n)2=m(m≥0)方程

從(ax+n)2=max+n=

實(shí)質(zhì)上：一元二次方程兩個(gè)一元一次方程變形轉(zhuǎn)化四、典型例題思考：如果等號(hào)兩邊都是數(shù)的平方，怎么求解？以(2x-1)2=(2-x)2為例.提示：若兩個(gè)數(shù)的平方相等，則這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)解：開平方，得2x-1=±(2-x)當(dāng)2x-1=2-x時(shí)，解得x=1當(dāng)2x-1=-(2-x)時(shí)，解得x=-1

綜上所述：x1=1,x2=-1形如(ax+b)2=(cx+d)2的方程,可以用直接開平方法解決,得到兩個(gè)關(guān)于未知數(shù)的一元一次方程,即ax+b=±(cx+d)

四、典型例題【當(dāng)堂檢測】1.判斷下列一元二次方程能否用直接開方法求解,用“”“×”表示.(1)x2=2()(2)p2-49=0()(3)x2=3x2-5()(4)(5x+9)2-2x-16=0()(5)121-(y+3)2=0()×√√√√√【當(dāng)堂檢測】2.用直接開平方法解下列方程（1）(2x+3)2=24

（2）(x-2)2=3

（3）(1-3x)2=x2

解：（1）開平方，得2x+3=

解得x1=,x2=（2）兩邊同時(shí)乘以3，得(x-2)2=9

開平方，得x-2=±3

解得x1=5,x2=-1

（3）開平方，得1-3x=±x

解得x1=0.25,x2=0.5例3.探究一元二次方程a(x-n)2=m的解的個(gè)數(shù)情況及其a、m的符號(hào)關(guān)系.關(guān)鍵信息：題目隱藏的條件a≠0解：a(x-n)2=m可化簡為(x-n)2=根據(jù)平方根的性質(zhì)分三種情況討論，①方程無解，則<0，此時(shí)a、m異號(hào)②方程有一個(gè)解，則=0，此時(shí)a≠0，m=0③方程有兩個(gè)解，則>0，此時(shí)a、m同號(hào)平方根性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)平方根，0的平方根為0，負(fù)數(shù)沒有平方根.四、典型例題【當(dāng)堂檢測】3.下列選項(xiàng)中，使得關(guān)于x的一元二次方程(m+1)(x-4)2=m+m2有兩個(gè)相同的解的是()A.m=-1B.m=0C.m=0或-1D.m=4B五、課堂總結(jié)1.直接開平方法的依據(jù)是數(shù)的開方運(yùn)算;2.用直接開平方法