高2025屆高二（下）第一次月考數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可知切點坐標，由切線方程得到，利用導數(shù)概念解出即可.【詳解】依題意可知切點，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，，即又即故選：D.2.丹麥數(shù)學家琴生（Jensen）是世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設函數(shù)在上的導函數(shù)為，在上的導函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項驗證即可解出．【詳解】對A，，當時，，所以A錯誤；對B，，在上恒成立，所以B正確；對C，，，所以C錯誤；對D，，，因為，所以D錯誤．故選：B．3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則求出函數(shù)的導函數(shù)，再代入求值即可.【詳解】解：因為，所以，所以，解得；故選：B4.若函數(shù)的極值點是1，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】求導，利用求得，進而求出.【詳解】因為，所以，由題意，得，即，解得，即，則.故選：B.5.已知定義在上的函數(shù)滿足，且的導函數(shù)在上恒有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，根據(jù)題意可得在為單調遞減函數(shù)，進而即得.【詳解】因為可化為，令，則，因為，所以，所以在上單調遞減，因為，所以，所以，所以，即不等式的解集為．故選：A．6.函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在上單調遞增，可得在上恒成立，然后利用分離參數(shù)法即可求解.【詳解】因為，所以.因為函數(shù)在上單調遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即，即可令，則由函數(shù)單調性的性質知，在上減函數(shù)，，即.所以實數(shù)的取值范圍為。故選：A.7.已知函數(shù)的圖象與軸恰有兩個公共點，則A.或2 B.或3 C.或1 D.或1【答案】A【解析】【分析】利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性求出極值點為，利用或可得結果.【詳解】因為,所以f(x)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,所以的極大值為，極小值為，因為函數(shù)的圖象與軸恰有兩個公共點,所以只須滿足或，即或,故選A.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點，屬于中檔題.對于與“三次函數(shù)”的零點個數(shù)問題，往往考慮函數(shù)的極值符號來解決,設函數(shù)的極大值為，極小值為：一個零點或；兩個零點或；三個零點且.8.若曲線與曲線：=有公切線，則實數(shù)的最大值為（）A.+ B. C.+ D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出兩曲線在切點的切線方程，可得，整理得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性求出即可得出結果.【詳解】設在曲線上的切點為，則切線斜率為，在曲線上的切點為，切線斜率為，所以切線方程分別為、，即、，有，整理得，設，則，令，令，故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上，如圖，由圖可知，即k的最大值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列求函數(shù)的導數(shù)正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用復合函數(shù)的求導法則可判斷各選項的正誤.【詳解】，，，，故選：AC.10.函數(shù)的定義域為，它的導函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結論正確的是（）A. B.是的極小值點C.函數(shù)在上有極大值 D.是的極大值點【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)極值的定義，結合導數(shù)的性質和導函數(shù)的圖象逐一判斷即可.【詳解】由的圖象可知：當時，，所以函數(shù)單調遞增；當時，，所以函數(shù)單調遞減，因此有，是的極大值點，所以選項A、D正確；當，或時，，所以函數(shù)單調遞增，因此函數(shù)在上沒有極大值，且不是的極小值點，所以選項B、C不正確，故選：AD11.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】計算得函數(shù)解析式，計算判斷A，求導數(shù)確定函數(shù)的單調性得最值判斷B，計算，判斷正負后可判斷C，利用可判斷D．【詳解】因為，所以，所以，所以，所以A正確．因為，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．所以，所以B正確．因，所以，所以C錯誤．因為，所以，所以，所以D正確．故選：ABD．三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分，）12.函數(shù)的圖象在點處的切線方程的斜率為______．【答案】【解析】【分析】求導后借助導數(shù)的幾何意義計算即可得.【詳解】，則.故答案為：.13.函數(shù)的單調增區(qū)間為_________.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)與單調性的關系，由即可求出單調增區(qū)間．【詳解】因為函數(shù)的定義域為，而，所以函數(shù)的單調增區(qū)間為，．故答案為：，．14.記分別為函數(shù)的導函數(shù).若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”.已知：，若函數(shù)與存在“點”，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】分別求出，，然后根據(jù)“點”的定義，列出方程，構造，通過導數(shù)求出即可.【詳解】函數(shù)與，則與，由題意得，則，令，則，令，則，所以時，則，故單調遞增；時，則，故單調遞減；所以在處取得極小值，也是最小值，，且時，，所以實數(shù)的取值范圍為故答案為:四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求下列函數(shù)的最值：（1），；（2），．【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）先將函數(shù)化成正弦型函數(shù)，再根據(jù)定義域求出最值；（2）通過對函數(shù)求導，研究函數(shù)單調性，從而求出最值.【小問1詳解】，因為，所以故當，即時，函數(shù)的最大值為；當，即時，函數(shù)的最小值為.【小問2詳解】，由得（舍）或當時，，所以函數(shù)在單調遞增，當時，，所以函數(shù)在單調遞減.故.又，，所以.16.設函數(shù).（1）若曲線在點處與直線相切，求的值；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間與極值點.【答案】（1）（2）見解析.【解析】【分析】（1）已知函數(shù)的解析式，把點代入，再根據(jù)在點處與直線相切，求出，的值；（2）由題意先對函數(shù)進行求導，解出極值點，然后再根據(jù)極值點的值討論函數(shù)的增減性及其增減區(qū)間.【小問1詳解】，曲線在點處與直線相切，，∴【小問2詳解】，當時，，函數(shù)在上單調遞增，此時函數(shù)沒有極值點．當時，由，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，即函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；此時是的極大值點，是的極小值點．17.已知函數(shù)的圖象經過點．（1）求曲線在點A處的切線方程．（2）曲線是否存在過坐標原點的切線？若存在，求切點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）曲線存在過坐標原點的切線，且切點的坐標為或．【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）設出過坐標原點的切線方程以及切點坐標，利用導數(shù)的幾何意義以及切點既在切線上也在曲線上列出方程組求解即可.【小問1詳解】依題意可得，則,∵，∴，∴曲線在點（1，5）處的切線方程為，即；【小問2詳解】設過原點的切線方程為，則切點為，則,消去k，整理得，解得或，所以曲線存在過坐標原點的切線，且切點的坐標為或．18.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）討論的單調性；（2）若，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分類討論導數(shù)值正負即可作答.（2）將給定的不等式等價變形，構造函數(shù)并借助導數(shù)結合函數(shù)單調性求解作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為R，求導得：，若，則，即在上是增函數(shù)；若，由得，由得，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，函數(shù)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.【小問2詳解】當時，，，令，依題意，當時，恒成立，即函數(shù)在上單調遞增，因此，，即恒成立，令，求導得：，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，則，即，所以實數(shù)的取值范圍為.19.關于的函數(shù)，我們曾在必修一中學習過“二分法”求其零點近似值.現(xiàn)結合導函數(shù)，介紹另一種求零點近似值的方法——“牛頓切線法”.（1）證明：有唯一零點，且；（2）現(xiàn)在，我們任取(1,a)開始，實施如下步驟：在處作曲線的切線，交軸于點；在處作曲線的切線，交軸于點；……在處作曲線的切線，交軸于點；可以得到一個數(shù)列，它的各項都是不同程度的零點近似值.（i）設，求的解析式(用表示)；（ii）證明：當，總有.【答案】（1）證明見解析；（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調性，結合零點存在性定理證明即可；（2）（i）由導數(shù)的幾何意義得曲線在處的切線方程為，進而得；（ii）令，進而構造函數(shù)，結合函數(shù)單調性證明，再根據(jù)證明即可得答案.【小問1詳解】證明：，定義域為，所以，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，因為，所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點，且.【小問2詳解】解：（i）由（1）知，所以，曲線在處的切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為，即令得所以，切線與軸的交點，即，所以，.(ii)對任意的，由（i）知，曲線在處的切線方程為：，故令，令所