6.2.1向量的加法運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.借助實(shí)例掌握向量加法的概念以及向量加法的幾何意義.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)2.掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,會(huì)進(jìn)行向量的加法運(yùn)算.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.掌握向量加法的交換律和結(jié)合律,會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)思維導(dǎo)圖一、問題引入

矢量與向量都是既有大小又有方向的量.在數(shù)學(xué)中，向量是可以任意平移的，我們也稱之自由向量.

注意

向量加法的三角形法則適用于首尾相連的兩個(gè)向量.

想一想現(xiàn)在這兩個(gè)向量有什么特征？能否直接用三角形法則對(duì)其求和？

想一想

平行四邊形向量加法的平行四邊形法則一、知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一

向量的加法及運(yùn)算法則1.向量加法的定義:求兩個(gè)向量

的運(yùn)算,叫做向量的加法,兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.和

三角形法則平行四邊形法則適用條件首尾相連的兩個(gè)向量有公共起點(diǎn)的兩個(gè)向量作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則作，，以為鄰邊作平行四邊形，連接，則結(jié)論是與的和向量對(duì)角線是與的和向量圖形聯(lián)系平行四邊形法則與三角形法則是可以相互轉(zhuǎn)化的口訣：首尾相接，連首尾口訣：共起點(diǎn)，連對(duì)角規(guī)定:對(duì)于零向量與任意向量a,規(guī)定:a+0=0+a=a.注意：向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別:(1)三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相接”,平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”;(2)三角形法則適用于所有的兩個(gè)非零向量求和,而平行四邊形法則僅

適用于不共線的兩個(gè)向量求和.聯(lián)系:三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半,當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí),兩種加法法則在本質(zhì)上是一致的.思考？當(dāng)向量a,b是兩個(gè)非零的向量共線時(shí),如何求兩個(gè)向量的和向量?提示當(dāng)向量a,b是向量共線時(shí),不能用平行四邊形法則作出兩個(gè)向量的和向量,但可以用三角形法則作出兩個(gè)向量的和向量,分兩向量同向和反向兩種情形:①同向

②反向

知識(shí)點(diǎn)二

向量加法的運(yùn)算律1.向量加法的交換律:a+b=

.2.向量加法的結(jié)合律:

=a+(b+c).b+a(a+b)+c對(duì)任意兩個(gè)向量a,b,有

,當(dāng)且僅當(dāng)a,b方向相同時(shí)等號(hào)成立.注意：當(dāng)a與b不共線時(shí),|a+b|<|a|+|b|的幾何意義為三角形兩邊之和大于第三邊.知識(shí)點(diǎn)三

|a+b|與|a|,|b|之間的關(guān)系|a+b|≤|a|+|b|二、課堂練習(xí)探究一已知向量作和向量

（1）（2）（3）（4）求

作

和

向

量

的

方

法(1)利用三角形法則.在平面內(nèi)任取一點(diǎn),以該點(diǎn)為起點(diǎn),將兩向量平移到首尾相接,從該起點(diǎn)到另外一個(gè)終點(diǎn)的向量就是這兩個(gè)向量的和.一定要注意首尾相接.(2)利用平行四邊形法則.在平面內(nèi)任取一點(diǎn),從此點(diǎn)出發(fā)分別作兩個(gè)向量等于已知向量,以這兩個(gè)向量所在線段為鄰邊作平行四邊形,以所取的點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量就是這兩個(gè)向量的和.反思感悟探究二向量加法運(yùn)算或化簡(jiǎn)

解決向量加法運(yùn)算時(shí)應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)(1)可以利用向量的幾何表示,畫出圖形進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算.(2)要靈活運(yùn)用向量加法運(yùn)算律,注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字母的排列順序,特別注意勿將0寫成0.反思感悟跟蹤練習(xí)2.

如圖,四邊形ABDC為等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn).化簡(jiǎn):解

由已知得四邊形ACEB,四邊形ABDE均為平行四邊形.例3.在靜水中船的速度為20m/min，水流的速度為10m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，求船行進(jìn)的方向．?探究三利用向量加法法則解決實(shí)際問題向量加法應(yīng)用的關(guān)鍵及技巧(1)三個(gè)關(guān)鍵:一是搞清構(gòu)成平面圖形的向量間的相互關(guān)系;二是熟練找出圖形中的相等向量;三是能根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則作出向量的和向量.(2)應(yīng)用技巧:①準(zhǔn)確畫出幾何圖形,將幾何圖形中的邊轉(zhuǎn)化為向量;②將所求問題轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算,進(jìn)而利用向量加法的幾何意義進(jìn)行求解.反思感悟跟蹤練習(xí)3.

在某地抗震救災(zāi)中,一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達(dá)B地接到受傷人員,然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院,求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和.其中∠BAC=45°,所以方向?yàn)楸逼珫|35°+45°=80°.從而飛機(jī)