關(guān)于投入產(chǎn)出系數(shù)和投入產(chǎn)出模型2

⒈直接消耗直接消耗包括在生產(chǎn)經(jīng)營過程中直接的生產(chǎn)消耗、直接用于管理的消耗、直接用于勞動(dòng)保護(hù)的消耗和直接用于中小修理的消耗等。

⒉直接消耗系數(shù)

⑴定義第j個(gè)部門（或第j種產(chǎn)品）的1個(gè)單位產(chǎn)出量所直接消耗的第i個(gè)部門（或第i種產(chǎn)品）產(chǎn)出量的數(shù)量。用aij表示。

一、直接消耗系數(shù)第2頁,共61頁，2024年2月25日，星期天3投入產(chǎn)出表基本表式第3頁,共61頁，2024年2月25日，星期天4

(2)計(jì)算

注意：計(jì)算公式中分母是Xj而不是Xi，為什么？第4頁,共61頁，2024年2月25日，星期天5﹤①②對(duì)于價(jià)值型投入產(chǎn)出表，存在﹤直接消耗系數(shù)的性質(zhì)第5頁,共61頁，2024年2月25日，星期天63、直接消耗系數(shù)矩陣

將直接消耗系數(shù)按照投入產(chǎn)出表中部門（或產(chǎn)品）的順序排列而成的矩陣。用A表示，為一n階方陣。第6頁,共61頁，2024年2月25日，星期天7

表1假想的某年某國4部門價(jià)值型投入產(chǎn)出表

單位：億元

中

間

使

用

最

終

使

用

產(chǎn)出投

入部門1部門2部門3部門4合計(jì)消費(fèi)資本形成合計(jì)總產(chǎn)出部門196224179160659894479411600部門21667277160925111819713152240部門3320336102432020002203405602560部門4483362561608004803208001600中間投入合計(jì)480156815368004384271290436168000折舊4015014080410勞動(dòng)報(bào)酬9522694614002082稅利1282534233201124最初投入合計(jì)112067210248003616總

投

入16002240256016008000第7頁,共61頁，2024年2月25日，星期天8對(duì)于假想表1所表示的投入產(chǎn)出模型，有第8頁,共61頁，2024年2月25日，星期天9

對(duì)于1997年中國價(jià)值型投入產(chǎn)出表（6部門）有如下直接消耗系數(shù)矩陣第9頁,共61頁，2024年2月25日，星期天102000年中國價(jià)值型投入產(chǎn)出表（6部門）直接消耗系數(shù)矩陣第10頁,共61頁，2024年2月25日，星期天11

⒈完全消耗的含義任何產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中，除了各種直接消耗關(guān)系外，還有各種間接消耗關(guān)系。

二、完全消耗和完全消耗系數(shù)完全消耗=直接消耗+全部間接消耗

=直接消耗+一次間接消耗

+二次間接消耗

+三次間接消耗

+…2.完全消耗系數(shù)完全消耗系數(shù)反映了部門間（產(chǎn)品間）的完全消耗關(guān)系，用bij表示。第11頁,共61頁，2024年2月25日，星期天12例：鋼的生產(chǎn)中對(duì)電的消耗第12頁,共61頁，2024年2月25日，星期天13

3、完全消耗系數(shù)計(jì)算公式的推導(dǎo)

首先，j產(chǎn)品的生產(chǎn)要直接消耗i產(chǎn)品，即bij中應(yīng)包括aij；

其次，計(jì)算j產(chǎn)品的生產(chǎn)中對(duì)i產(chǎn)品的全部間接消耗。

①j產(chǎn)品在生產(chǎn)中直接消耗了第k(k=1,2…n)種產(chǎn)品（包括對(duì)j產(chǎn)品自身的消耗）：akj

②而第k(k=1,2…n)種產(chǎn)品生產(chǎn)過程中全部消耗的第i種產(chǎn)品為:bik

③因此，j產(chǎn)品通過第k種產(chǎn)品而全部間接消耗的第i種產(chǎn)品為:bikakj第13頁,共61頁，2024年2月25日，星期天14

⑤最后，將第j種產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中直接消耗的第i種產(chǎn)品與全部間接消耗的第i種產(chǎn)品相加，即為第j種產(chǎn)品生產(chǎn)對(duì)第i種產(chǎn)品的完全消耗：

④于是，第j種產(chǎn)品生產(chǎn)中通過n種產(chǎn)品而全部間接消耗的第i種產(chǎn)品為第14頁,共61頁，2024年2月25日，星期天15

寫成矩陣形式第15頁,共61頁，2024年2月25日，星期天16

將完全消耗系數(shù)按照投入產(chǎn)出表中部門（或產(chǎn)品）的順序排列而成的矩陣。用B表示，為一n階方陣。

完全消耗系數(shù)矩陣第16頁,共61頁，2024年2月25日，星期天17對(duì)于表1所表示的投入產(chǎn)出表，可計(jì)算得到第17頁,共61頁，2024年2月25日，星期天18

同樣地，對(duì)于1997年中國全國價(jià)值型投入產(chǎn)出表（6部門），其完全消耗系數(shù)矩陣為：第18頁,共61頁，2024年2月25日，星期天19

4、完全消耗系數(shù)的性質(zhì)

①某一個(gè)完全消耗系數(shù)不能單獨(dú)求得，必須同時(shí)求出所有的完全消耗系數(shù)。為什么？第19頁,共61頁，2024年2月25日，星期天20中國1992年實(shí)物型投入產(chǎn)出表部分產(chǎn)品的消耗系數(shù)比較第20頁,共61頁，2024年2月25日，星期天21

1、折舊系數(shù)

三、其他消耗系數(shù)Dj

表示j產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中的折舊額，則adj表示單位j產(chǎn)品中的折舊。其向量形式為

同樣地，可計(jì)算完全折舊系數(shù)向量：第21頁,共61頁，2024年2月25日，星期天222、勞動(dòng)消耗系數(shù)Vj

表示j產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中所投入的勞動(dòng)報(bào)酬，則avj表示單位j產(chǎn)品中的勞動(dòng)報(bào)酬。其向量形式為同樣地，可計(jì)算完全勞動(dòng)消耗系數(shù)向量：第22頁,共61頁，2024年2月25日，星期天23

3、社會(huì)純收入系數(shù)

Mj

表示j產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中所形成的社會(huì)純收入（利稅額），則amj表示單位j產(chǎn)品中的社會(huì)純收入。其向量形式為同樣地，可計(jì)算完全社會(huì)純收入系數(shù)向量：第23頁,共61頁，2024年2月25日，星期天24中國1997年6部門價(jià)值型投入產(chǎn)出表

其他直接消耗系數(shù)與完全消耗系數(shù)表第24頁,共61頁，2024年2月25日，星期天25四、基于消耗系數(shù)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型

投入產(chǎn)出經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是在投入產(chǎn)出表的基礎(chǔ)上，通過引入各種消耗系數(shù)而建立起來的反映經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各“部分”（部門或產(chǎn)品）相互依存的“投入-產(chǎn)出”平衡關(guān)系式。

行模型：按行向平衡關(guān)系建立的模型

列模型：按列向平衡關(guān)系建立的模型其他各種復(fù)雜的投入產(chǎn)出應(yīng)用模型，都是這兩個(gè)最基本的投入產(chǎn)出經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的擴(kuò)展

第25頁,共61頁，2024年2月25日，星期天261.分配方程組和按行建立的模型

（1）分配方程組

對(duì)于投入產(chǎn)出表的每一行，不管是價(jià)值型還是實(shí)物型，都存在如下平衡方程：

引入直接消耗系數(shù)，可以寫成：

這就是分配方程組。它反映每個(gè)部門的總產(chǎn)出是如何分配與使用的。第26頁,共61頁，2024年2月25日，星期天27

用矩陣表示該方程組，有

AX+Y=X其中分別為直接消耗系數(shù)矩陣、最終需求矩陣、總產(chǎn)量矩陣第27頁,共61頁，2024年2月25日，星期天28

①模型形式

由AX+Y=X

，容易得到：

(I-A)X=Y

或X=(I-A)-1Y

這就是按行建立的投入產(chǎn)出基本經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。

（2）按行建立的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型其中：1)(--=AIB稱為“列昂惕夫逆矩陣”，其中的元素ijb表示生產(chǎn)單位j種最終產(chǎn)品對(duì)i產(chǎn)品的完全需要量，稱為列昂惕夫逆系數(shù)，或完全需求系數(shù)，因此，列昂惕夫逆矩陣也稱為完全需求系數(shù)矩陣。

第28頁,共61頁，2024年2月25日，星期天29

②

模型的經(jīng)濟(jì)意義

該模型揭示了最終使用量和總產(chǎn)出量之間的關(guān)系。即：已知：最終使用量，求出：保證經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部分之間綜合平衡的總產(chǎn)出量已知：各部門總產(chǎn)出量，求出：各部門產(chǎn)品最終使用量第29頁,共61頁，2024年2月25日，星期天30

Ⅰ.兩者相差一個(gè)單位矩陣：完全消耗系數(shù)完全需要系數(shù)

③完全需求系數(shù)與完全消耗系數(shù)第30頁,共61頁，2024年2月25日，星期天31Ⅱ.二者的經(jīng)濟(jì)意義不同注意：

完全消耗系數(shù)是相對(duì)于1個(gè)單位最終使用而言的，而直接消耗系數(shù)是相對(duì)于1個(gè)單位的總產(chǎn)出量而言的。這是十分重要的區(qū)別。第31頁,共61頁，2024年2月25日，星期天32第32頁,共61頁，2024年2月25日，星期天33④實(shí)例中國1997年全國價(jià)值型6部門投入產(chǎn)出經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型：第33頁,共61頁，2024年2月25日，星期天34

（1）.生產(chǎn)方程組

對(duì)于價(jià)值型投入產(chǎn)出表的每一列，存在如下平衡方程：

2.生產(chǎn)方程組與按列建立的模型

這就是生產(chǎn)方程組。它反映每個(gè)部門的總產(chǎn)出是如何形成的。可以寫成第34頁,共61頁，2024年2月25日，星期天35

用矩陣表示該方程組，有其中第35頁,共61頁，2024年2月25日，星期天36①模型形式

（2）按列建立的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型②

模型的經(jīng)濟(jì)意義該模型揭示了最初投入量和總產(chǎn)出量（總投入量）之間的關(guān)系。因此：

已知：最初投入量，求出：相應(yīng)的總產(chǎn)出量。

已知：總產(chǎn)出量，求出：最初投入量。這就是按列建立的投入產(chǎn)出基本經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。第36頁,共61頁，2024年2月25日，星期天37五、投入產(chǎn)出模型的基本假設(shè)和求解條件

任何經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型都是都實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的抽象，都是在若干基本假設(shè)下建立的，或者只有在若干基本假設(shè)下才能成立。關(guān)鍵在于所舍棄的是事物的本質(zhì)方面還是非本質(zhì)方面。

1.投入產(chǎn)出模型的基本假設(shè)

(1)同質(zhì)性假定（不可替代假設(shè)）

投入產(chǎn)出模型假設(shè)一個(gè)部門只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，而且只采用一種技術(shù)生產(chǎn)；同時(shí)，一種產(chǎn)品只由一個(gè)部門生產(chǎn)。部門稱為“純部門”或“產(chǎn)品部門”。

第37頁,共61頁，2024年2月25日，星期天38Ⅰ.各“部門”投入量與產(chǎn)出量成正比，比例系數(shù)就是直接消耗系數(shù)。

Ⅱ.產(chǎn)品生產(chǎn)中各投入要素之間有固定比例，即投入要素的增減均呈現(xiàn)同一比例。

（3）系數(shù)不變假設(shè)投入產(chǎn)出模型假設(shè)直接消耗系數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)是不變的。（4）關(guān)于生產(chǎn)周期的假設(shè)投入產(chǎn)出模型假設(shè)每個(gè)部門的生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)，從生產(chǎn)要素的投入到產(chǎn)出的分配與使用，都在一個(gè)周期內(nèi)完成。

（2）比例性假定（線性假設(shè)）第38頁,共61頁，2024年2月25日，星期天39

（1）投入產(chǎn)出模型能夠求解的條件

2、投入產(chǎn)出模型的求解條件

投入產(chǎn)出模型

X=(I-A)-1Y能夠求解的條件是矩陣(I-A)有逆，且逆矩陣的元素不為負(fù)。

這一條件是從數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)意義兩方面提出的。第39頁,共61頁，2024年2月25日，星期天40（2）價(jià)值型投入產(chǎn)出模型求解條件的證明

而在矩陣(I-A)中，主對(duì)角線元素為1-ajj，其它元素為-aij。所以該矩陣是主對(duì)角線元素占優(yōu)勢(shì)的矩陣。由線性代數(shù)知識(shí)可知，|I-A|0，所以矩陣(I-A)可逆。而且存在(I-A)的逆矩陣的元素都大于0。第40頁,共61頁，2024年2月25日，星期天41設(shè)有兩個(gè)部門的投入產(chǎn)出模型：（1-a11)X1-a12X2=Y1-a21X1+(1-a22)X2=Y2Y1/a12Y2/(1-a22)一個(gè)直觀的說明(霍金斯.西蒙(hawkinsSimon)條件)：X2X1

（1-a11)(1-a22)>a12

a21

或（1-a11)(1-a22)-a12

a21>0

要使該方程組有正解，必須使兩線交于第一象限，即可推出：

X2=(1-a11)/a12*X1-Y1/a12(1)X2=a21/(1-a22)*X1+Y2/(1-a22)(2)(2)(1)即必須：（1-a11)/a12>a21/(1-a22)第41頁,共61頁，2024年2月25日，星期天42數(shù)學(xué)證明第42頁,共61頁，2024年2月25日，星期天43第43頁,共61頁，2024年2月25日，星期天44第44頁,共61頁，2024年2月25日，星期天45第45頁,共61頁，2024年2月25日，星期天46六、分配系數(shù)投入產(chǎn)出表中，橫行表示各種產(chǎn)品的分配使用去向，分配系數(shù)表示部門之間產(chǎn)品的分配使用關(guān)系。

1.直接分配系數(shù)的含義：第i部門產(chǎn)品分配到第j消耗部門作中間使用的產(chǎn)品數(shù)量占第i部門總產(chǎn)品量的比重，稱為分配系數(shù)。第46頁,共61頁，2024年2月25日，星期天472.直接分配系數(shù)矩陣：

將直接分配系數(shù)按照投入產(chǎn)出表中部門（或產(chǎn)品）的順序排列而成的矩陣。用H表示，為一n階方陣。第47頁,共61頁，2024年2月25日，星期天483.完全分配系數(shù)

各個(gè)部門之間除了具有直接的分配關(guān)系外，還存在著間接的分配關(guān)系。

完全分配系數(shù)綜合反映了直接分配關(guān)系和間接分配關(guān)系。

設(shè)兩個(gè)部門（產(chǎn)品）間的完全分配系數(shù)為則

第48頁,共61頁，2024年2月25日，星期天49寫成矩陣形式，為整理，得

或

第49頁,共61頁，2024年2月25日，星期天503.引入直接分配系數(shù)的模型（1）行模型引入

系數(shù)，得代入上式，得該式也稱為分配方程組第50頁,共61頁，2024年2月25日，星期天51寫成矩陣形式其中第51頁,共61頁，2024年2月25日，星期天52當(dāng)中間產(chǎn)品分配系數(shù)確定后，可在已知總產(chǎn)品的情況下，求最終產(chǎn)品。行模型形式

當(dāng)中間產(chǎn)品分配系數(shù)確定后，可在已知最終產(chǎn)品的情況下，求總產(chǎn)品。①②第52頁,共61頁，2024年2月25日，星期天53（2）列模型引入

系數(shù)，得代入上式，得該式也稱為生產(chǎn)方程組第53頁,共61頁，2024年2月25日，星期天54寫成矩陣形式或者其中第54頁,共61頁，2024年2月25日，星期天55列模型形式①利用總產(chǎn)出求增加值利用增加值求總產(chǎn)出②第55頁,共61頁，2024年2月25日，星期天56

稱為Ghosh供給驅(qū)動(dòng)模型（Ghosh模型）。

(I-H)-1為Ghosh逆矩陣，也稱為完全供給系數(shù)矩陣，元素表示i部門增加1個(gè)單位初始投入，對(duì)第j部門完全供給的產(chǎn)品量