重難點專題05三角形中的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：周長問題題型二：面積問題題型三：長度問題題型四：轉化為角范圍問題題型五：倍角問題題型六：與正切有關的最值問題題型七：最大角問題題型八：三角形中的平方問題題型九：等面積法、張角定理【方法技巧與總結】1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉化為函數(shù)關系，將原問題轉化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結果的范圍過大.2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：(1)求角的最值；(2)求邊和周長的最值及范圍；(3)求面積的最值和范圍.【典例例題】題型一：周長問題【例1】（2024·湖北武漢·高二武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的值；(2)若，求的周長最小值.【解析】（1）由題意可得，即，得，由正弦定理得，因為，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得,當且僅當時取等號，所以，又因為，所以.所以，所以的周長最小值為.故的周長最小值為.【變式11】（2024·江蘇南京·高二?？茧A段練習）在銳角中，，，（1）求角；（2）求的周長l的范圍.注：在①，且，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并對其進行求解.【解析】（1）若選①，因為，且，所以，即，因為，所以.若選②，因為，，所以，因為，所以.又因為，所以.若選③，.因為，所以.又因為，，所以，.（2）因為，所以，.因為，所以，...因為銳角且，所以所以，，故.【變式12】（2024·山西運城·高二?？茧A段練習）在銳角中，內角A、B、C，的對邊分別是a、b、c，且(1)求角A的大?。?2)若，求周長的范圍.【解析】（1）由，可得，即，，解得或，，則，故，.（2）由正弦定理可得，則，，，因為為銳角三角形，則，可得，所以，，則，故，周長的范圍為.【變式13】（2024·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學校考階段練習）在銳角中，三個內角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，求周長的范圍.【解析】（1）由正弦定理得：，，，，，，，.（2）由正弦定理：，則，，，，周長為，又銳角，，結合，，，，即周長的范圍是.題型二：面積問題【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實驗中學校考開學考試）在中，角所對的邊分別為，且滿足.(1)已知為線段上一點，且滿足，若，求的長；(2)若為銳角三角形，求面積的范圍.【解析】（1）由題設，則，故，又，則，又，則為等邊三角形，故，由，則，所以（負值舍），故.（2）由題意，則，又，則，所以，由，而，所以.【變式21】（2024·河南開封·高二校聯(lián)考期中）在銳角中，內角，，的對邊分別為，，．且滿足：．(1)求角的大小；(2)若時，求面積的范圍．【解析】（1），即，整理得到：，故，，故.（2）根據(jù)正弦定理：，故，，，，故，，故面積范圍為：.【變式22】（2024·湖南長沙·高二長沙市明德中學?？茧A段練習）已知的內角，，的對邊分別為，，，．(1)求；(2)若角的平分線交于點，且，求面積的最小值．【解析】（1）由已知，得，在中，由正弦定理得，即．再由余弦定理得．又，所以.（2）因為是角的平分線，則，又，又，所以，得到，又因為，得到，解得，即，當且僅當時等號成立，所以，即面積的最小值是．【變式23】（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學?？茧A段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求A；(2)若，求面積的最大值.【解析】（1）∵，∴由正弦定理得，∴．∵，∴，又∵，∴，∴．（2）由余弦定理得，則由基本不等式可得，所以，故當時等號成立，∴，∴的面積，∴面積的最大值為．題型三：長度問題【例3】（2024·江西宜春·高二?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)已知，且角有兩解，求的范圍.【解析】（1）因為，由正弦定理得，所以，所以，因為，所以；（2）將代入正弦定理，得，所以，因為，角的解有兩個，所以角的解也有兩個，所以，即，又，所以，解得.所以的范圍為.【變式31】（2024·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習）銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的值；(2)若，D為AB的中點，求中線CD的范圍．【解析】（1）由，，，，，．（2），，，由余弦定理有：，，所以，，由正弦定理，，，，，，因為為銳角三角形，所以且，則，,則，．【變式32】（2024·河南濮陽·高二校聯(lián)考期末）已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量＝(cosB，cosC)，＝(2a＋c，b)，且⊥．(1)求角B的大??；(2)若b＝，求a＋c的范圍．【解析】(1)∵＝(cosB，cosC)，＝(2a＋c，b)，且⊥．∴(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，∴cosB(2sinA＋sinC)＋sinBcosC＝0，∴2cosBsinA＋cosBsinC＋sinBcosC＝0．即2cosBsinA＝－sin(B＋C)＝－sinA．∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosB＝－．∵0＜B＜π，∴B＝．(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2＝(a＋c)2，當且僅當a＝c時取等號．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范圍是(，2]．【變式33】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實驗中學?？奸_學考試）在中，角所對的邊分別是，且滿足，則的最大值為.【答案】2【解析】因為，由正弦定理可得：，注意到，即，整理得，且，則，可得，即，又因為，則，可得，所以，由余弦定理可得，即，當且僅當時，等號成立，且，可得，所以的最大值為2.故答案為：2.【變式34】（2024·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）在中，角的對邊分別為，若，且，則的最大值為.【答案】【解析】因為，，即，所以，由正弦定理可得，即，又由余弦定理，所以（負值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，，所以，其中，因為，當時，的最大值為.故答案為：題型四：轉化為角范圍問題【例4】（2024·陜西渭南·高二渭南市瑞泉中學?？茧A段練習）在，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等差數(shù)列.(1)證明：成等差數(shù)列；(2)求角B的范圍.【解析】（1）證明：已知a，b，c成等差數(shù)列，則，由正弦定理得：，則成等差數(shù)列；（2）由（1）得：，由余弦定理得：因為，所以，當且僅當時等號成立，則又，所以角B的范圍.【變式41】（2024·浙江嘉興·高二?？计谥校┰谥?，內角、、所對的邊分別為、、.已知.（1）求角的大?。唬?）若，，求角的大小；（3）求的范圍.【解析】（1）因為，，所以；（2）由正弦定理有：，即,所以，又因為，所以，所以；（3）由題意得因為，所以，則，所以，故的取值范圍是.【變式42】（2024·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）已知在中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，且滿足．(1)判斷角B與角C的關系，并說明理由；(2)若，求的范圍．【解析】（1）∵，，∴或，∴，∴，∴.∵，，∴.∵，∴或，∵，∴.（2）由（1）知：，∴，∴∵，，∴，∴【變式43】（2024·山東臨沂·高一?？计谀┯浀膬冉堑膶叿謩e為，已知.(1)若，求；(2)若，求的范圍.【解析】（1）由得：，，即，，，，，，解得：.（2）由（1）知：，，，，或，即或；，當時，，不合題意，，，，，.題型五：倍角問題【例5】（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）在銳角中，內角所對的邊分別為，且.(1)證明：；(2)若，求的周長的取值范圍.【解析】（1）由余弦定理可得，.又，所以有，整理可得.由正弦定理邊化角可得，.又，所以，，整理可得，.因為為銳角三角形，所以，，，所以，，.（2）由（1）知，，則.因為為銳角三角形，所以，，解得.根據(jù)正弦定理可得，，.因為，所以，，，所以，.因為，所以，，，所以，，所以，.所以，的周長的取值范圍為.【變式51】（2024·全國·模擬預測）在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【解析】（1）由，結合正弦定理得，即，所以，所以或（舍去），所以.（2）在銳角中，，，，即，所以..令，，，因為在上單調遞增，所以，，所以.【變式52】（2024·重慶·高三西南大學附中校聯(lián)考階段練習）在中，內角所對的邊分別為，滿足(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的最大值．【解析】（1）由題，由正弦定理：，所以，整理，所以，或（舍）,.（2）為銳角三角形,解得：,所以，且由（1）問，，令，則，所以因為,當時，所求的最大值為.題型六：與正切有關的最值問題【例6】（2024·湖南衡陽·高三衡陽市八中校聯(lián)考階段練習）在中，為邊上的高，已知.(1)若，求的值；(2)若，，求的最小值及取最小值時k的值.【解析】（1）設a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，則.在中，由余弦定理得.由，得，所以.因為，所以，于是，而.（2）法一：由（1）知，.如圖，在中，過B作的垂線，且使，則，則，即，所以.于是，即令函數(shù)，，則在上單調遞增，所以，此時.故所求的最小值為，此時k的值為.法二：由，得，即，化簡得，即，因為，，所以，于是，即令函數(shù)，，則在上單調遞增，所以，此時.故所求的最小值為，此時k的值為.【變式61】銳角是單位圓的內接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以.又，所以，所以.又，且，故，所以.又，所以，得，所以，故選：C.題型七：最大角問題【例7】（2024·山東濱州·統(tǒng)考二模）最大視角問題是1471年德國數(shù)學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.【答案】【解析】過C作，交AB于D，如圖所示：則，設，在中，，在中，，所以，當且僅當，即時取等號，所以取最大值時，最大，所以當離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.故答案為：【變式71】（2024·河南信陽·高一信陽高中校考階段練習）最大視角問題是1471年德國數(shù)學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”．如圖，樹頂離地面12米，樹上另一點離地面8米，若在離地面2米的處看此樹，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，過點作，交于點，則．設，在中，．在中，，所以，當且僅當，即時取等號．故選：C.【變式72】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）1471年米勒提出了一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長即可見角最大后人稱其為“米勒問題”.我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為直線l上兩點A，，則上述問題可以轉化為如下模型：如圖1，直線l垂直于平面，l上的兩點A，B位于平面同側，求平面上一點C，使得最大.建立圖2所示的平面直角坐標系.設，當最大時，（

）A．2ab B． C． D．a(chǎn)b【答案】B【解析】有題意可知，是銳角且，因為，所以，且，當且僅當，即時，等號成立，故當，，此時最大.故選:B【變式73】（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）1471年德國數(shù)學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角），這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由米勒問題的解答可知，此人應站在離塔水平距離為處觀察，設此時視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，則，則，故.故選：B題型八：三角形中的平方問題【例8】（2024·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）已知實數(shù)，，滿足，則的最小值是A． B． C．1 D．【答案】B【解析】根據(jù)題意利用與的基本不等式,再轉換為含的二次不等式求解即可.若取最小值,顯然異號且.故,即,故,當且僅當分別取時等號成立.故選：B【變式81】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習）在中，，，所對的邊長為，，，的面積為，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，因為，所以當時，取得最大值，故選：C【變式82】（2024·全國·高三專題練習）設為的三邊，為的面積，若，則的最大值為．【答案】【解析】解法一：直接套用（12）式：，有，，當且僅當，即時，取最大值．解法二：解法三：消元：基本不等式放縮：，移項配湊目標：，萬能代換：令，則，當且僅當，即，時，取最大值．【變式83】（2024·四川成都·高一成都外國語學校?？茧A段練習）在中，a，b，c為三邊，若，則面積的最大值為.【答案】【解析】由三角形面積公式可得，可得，∵，∴，∴，當且僅當時等號成立，結合二次函數(shù)的性質可知：當時，取得最大值，所以S的最大值為.故答案為：【變式84】（2024·河南鄭州·校聯(lián)考模擬預測）在中，角、、的對邊分別為、、，設的面積為，若，則的最大值為．【答案】【解析】由題知，則，當且僅當時取等