專題15全等模型專題：全等三角形中的常見(jiàn)解題模型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】 1【模型二一線三等角模型】 5【模型三三垂直模型】 12【模型四倍長(zhǎng)中線模型】 19【典型例題】【模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】例題：（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BF．(1)試說(shuō)明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？【模型二一線三等角模型】例題：（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【探究】如圖①，點(diǎn)B、C在的邊上，點(diǎn)E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，CD＝AB，點(diǎn)E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如圖1，求證：BD＝CE；(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．2．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C的一條直線，．E、F分別是直線上兩點(diǎn)，且．(1)若直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，且E、F在射線上，請(qǐng)解決下面問(wèn)題：①如圖1，若，，求證：；②如圖2，若，探索三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖3，若直線經(jīng)過(guò)的外部，，題（1）②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確的結(jié)論再給予證明．3．（2023秋·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題背景：(1)如圖1，已知中，，，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，⊥直線m，⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：．

拓展延伸：(2)如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有．請(qǐng)寫出、、三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．實(shí)際應(yīng)用：(3)如圖3，在中，，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2022·河南鄭州·七年級(jí)期末）在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．【模型三三垂直模型】例題：（2023秋·甘肅·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是的相同長(zhǎng)方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻和，點(diǎn)P在上，已知．(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東佛山·七年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．2．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）在中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①；②．(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．3．（2021·北京·東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時(shí)，①求證：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關(guān)系并證明．（2）將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D（D不與AB點(diǎn)重合），請(qǐng)你探究直線l，EF、AE、BF之間的關(guān)系．（直接寫出）【模型四倍長(zhǎng)中線模型】例題：（2023秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，，，求中線的取值范圍．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：多項(xiàng)式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長(zhǎng)分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．2．（2023秋·遼寧鞍山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，交BC于點(diǎn)D．(1)如圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE．求證：△ACD≌△EBD；(2)如圖②，若∠BAC＝90°，試探究AD與BC有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．3．（2022秋·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┘鸭淹瑢W(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，中，，，是中線，求的取值范圍．她的做法是：延長(zhǎng)到，使，連接，證明，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)回答：(1)為什么？寫出推理過(guò)程；(2)求出的取值范圍；(3)如圖，是的中線，在上取一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求證：．4．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決的問(wèn)題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來(lái)，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類比應(yīng)用如圖2，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；拓展創(chuàng)新如圖3，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．專題15全等模型專題：全等三角形中的常見(jiàn)解題模型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】 1【模型二一線三等角模型】 5【模型三三垂直模型】 12【模型四倍長(zhǎng)中線模型】 19【典型例題】【模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】例題：（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連接AC，證明△ACE≌△ACF，則S△ACE＝S△ACF，根據(jù)三角形面積公式求得S△ACF與S△ACE，根據(jù)S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角形的外角性質(zhì)可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：連接AC，如圖，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC證明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC與∠AFC互補(bǔ)，∠BEC與∠AEC互補(bǔ)，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BF．(1)試說(shuō)明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)CE+BG=EG，理由見(jiàn)解析；(3)當(dāng)∠EDG=90°-α?xí)r，（2）中結(jié)論仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判斷出，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出．（2）猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出；然后根據(jù)，可得，，再根據(jù)，判斷出，據(jù)此推得，所以，最后根據(jù)，判斷出即可．（3）根據(jù)（2）的證明過(guò)程，要使仍然成立，則，即，據(jù)此解答即可．(1)證明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如圖，連接，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．證明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，則，即，當(dāng)時(shí)，仍然成立．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【模型二一線三等角模型】例題：（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【探究】如圖①，點(diǎn)B、C在的邊上，點(diǎn)E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【答案】探究：見(jiàn)解析；應(yīng)用：6【分析】探究：根據(jù)，，得出，根據(jù)，得出，再根據(jù)證明即可；應(yīng)用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：，進(jìn)而得出，根據(jù)，的面積為9，得出，即可得出答案．【詳解】探究證明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和中，∴；應(yīng)用解：∵，∴，∴，∵，的面積為9，∴，∴與的面積之和為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，CD＝AB，點(diǎn)E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如圖1，求證：BD＝CE；(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C【解析】【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△DCE，可得BD=CE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求解．(1)證明：在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE．(2)解：∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴與∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，掌握全等三角形的判定，明確角度的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C的一條直線，．E、F分別是直線上兩點(diǎn)，且．(1)若直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，且E、F在射線上，請(qǐng)解決下面問(wèn)題：①如圖1，若，，求證：；②如圖2，若，探索三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖3，若直線經(jīng)過(guò)的外部，，題（1）②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確的結(jié)論再給予證明．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②，見(jiàn)解析(2)不成立，，見(jiàn)解析【分析】（1）①利用垂直及互余的關(guān)系得到，證明≌即可；②利用三等角模型及互補(bǔ)證明，得到≌即可；（2）利用互補(bǔ)的性質(zhì)得到，證明≌即可．【詳解】（1）①證明：∵，∴，∴，∴，在和中，，∴≌，∴；②解：．證明：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∴；（2）解：．理由：∵，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用三等角模型快速證明三角形全等是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題背景：(1)如圖1，已知中，，，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，⊥直線m，⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：．

拓展延伸：(2)如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有．請(qǐng)寫出、、三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．實(shí)際應(yīng)用：(3)如圖3，在中，，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)數(shù)量關(guān)系DE=BD＋CE，理由見(jiàn)解析(3)點(diǎn)B的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可以得到，，再用角度等量代換，可以證得，從而證得≌，得到，，用等量代換證得結(jié)論．（2）同問(wèn)題1，也可以證明≌，得到，，用等量代換證得結(jié)論DE=BD＋CE；（3）如圖，作軸于E，軸于F，由（1）可知，≌，然后根據(jù)上述結(jié)論可以直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)為．【詳解】（1）證明：∵⊥直線m，直線m，∴．∵，∴，∵，∴．∵在和中，，∴≌，∴，，∴，即：．（2）解：數(shù)量關(guān)系．理由如下：在中，，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴；（3）如圖，作軸于E，軸于F，由（1）可知，≌，，∴，，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的運(yùn)用，利用三角形的全等來(lái)解決幾何問(wèn)題，找到對(duì)應(yīng)邊，合理利用等量代換是解題的關(guān)鍵．4．（2022·河南鄭州·七年級(jí)期末）在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由見(jiàn)解析(3)△FBD與△ACE的面積之和為4【解析】【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出S△ABF即可得出結(jié)果．(1)解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；(3)解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，設(shè)△ABC的底邊BC上的高為h，則△ABF的底邊BF上的高為h，∴S△ABC＝BC?h＝12，S△ABF＝BF?h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD與△ACE的面積之和為4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．【模型三三垂直模型】例題：（2023秋·甘肅·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是的相同長(zhǎng)方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻和，點(diǎn)P在上，已知．(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的長(zhǎng)為【分析】（1）根據(jù)垂直及各角之間的等量代換得出，再由全等三角形的判定即可證明；（2）由題意得：，再由全等三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）證明：由題意得：，∴．∴．∵，∴．∴在和中，∴；（2）解：由題意得：，由（1）得，∴．∴，答：的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東佛山·七年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)90°(2)見(jiàn)解析(3)CD=BE+DE，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據(jù)AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案為：90°．(2)證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由圖可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．2．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）在中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①；②．(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）①由垂直關(guān)系可得，則由即可證明；②由的性質(zhì)及線段和的關(guān)系即可證得結(jié)論；（2）由垂直可得，則由可證明，由全等三角形的性質(zhì)及線段差的關(guān)系即可證得結(jié)論；（3）由垂直可得，則由可證得，由全等三角形的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系即可得到三線段間的關(guān)系．【詳解】（1）如圖①∵，∴，∴．又∵，，∴．②∵，∴，，∴．（2）∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，所滿足的等量關(guān)系是（或等）．∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，互余的性質(zhì)等知識(shí)，證明兩個(gè)三角形全等是問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2021·北京·東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時(shí)，①求證：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關(guān)系并證明．（2）將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D（D不與AB點(diǎn)重合），請(qǐng)你探究直線l，EF、AE、BF之間的關(guān)系．（直接寫出）【答案】（1）①證明見(jiàn)解析，②EF＝AE+BF；證明見(jiàn)解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．【解析】【分析】（1）①根據(jù)∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等證明∠EAC＝∠FCB即可；②根據(jù)AAS證△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；（2）類比（1）證得對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形全等，求出線段之間的關(guān)系即可．【詳解】（1）證明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，②EF＝AE+BF；證明：在△EAC和△FCB中，，∴△EAC≌△FCB（AAS），∴CE＝BF，AE＝CF，∴EF＝CE+CF＝AE+BF，即EF＝AE+BF；（2）①當(dāng)AD＞BD時(shí)，如圖①，∵∠ACB＝90°，AE⊥l直線，同理可證∠BCF＝∠CAE（同為∠ACD的余角），又∵AC＝BC，BF⊥l直線即∠BFC＝∠AEC＝90°，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，CE＝BF，∵CF＝CE+EF＝BF+EF，∴AE＝BF+EF；②當(dāng)AD＜BD時(shí)，如圖②，∵∠ACB＝90°，BF⊥l直線，同理可證∠CBF＝∠ACE（同為∠BCD的余角），又∵AC＝BC，BE⊥l直線，即∠AEC＝∠BFC＝90°．∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，BF＝CE，∵CE＝CF+EF＝AE+EF，∴BF＝AE+EF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，主要涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是證明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性質(zhì)得出線段之間的關(guān)系．【模型四倍長(zhǎng)中線模型】例題：（2023秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，，，求中線的取值范圍．【答案】【分析】延長(zhǎng)到，使,證明兩邊之和大于，兩邊之差小于，證明三角形全等，得到線段相等，等量代換得．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，∵為中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，在中，，即，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：多項(xiàng)式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長(zhǎng)分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．【答案】(1)，(2)2<CD<8【解析】【分析】（1）把展開(kāi)，然后根據(jù)多項(xiàng)式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使CD=DH，連接AH，可得△CDB≌△HAD，從而得到BC=AH=a=6，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解．(1)解：∵，根據(jù)題意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如圖，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使CD=DH，連接AH，∵CD是AB邊上的中線，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，∴10-6<2CD<10+6，∴2<CD<8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法和二元一次方程組的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法法則，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·遼寧鞍山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，交BC于點(diǎn)D．(1)如圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE．求證：△ACD≌△EBD；(2)如圖②，若∠BAC＝90°，試探究AD與BC有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AD＝BC，理由見(jiàn)解析【分析】（1）運(yùn)用“”即可證明△ACD≌△EBD；（2）根據(jù)（1）方式作出輔助線，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明ACBE，然后再證明△BAC≌△ABE即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，∴CD＝BD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）；（2）AD與BC的數(shù)量關(guān)系為：AD＝BC，理由如下：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，如圖2所示：同（1）得：△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB