2020年河南省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的．1．（3分）2的相反數(shù)是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．22．（3分）如圖擺放的幾何體中，主視圖與左視圖有可能不同的是（）A． B． C． D．3．（3分）要調(diào)查下列問題，適合采用全面調(diào)查（普查）的是（）A．中央電視臺《開學(xué)第一課》的收視率 B．某城市居民6月份人均網(wǎng)上購物的次數(shù) C．即將發(fā)射的氣象衛(wèi)星的零部件質(zhì)量 D．某品牌新能源汽車的最大續(xù)航里程4．（3分）如圖，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°5．（3分）電子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作為單位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某視頻文件的大小約為1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B6．（3分）若點A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y17．（3分）定義運算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．則方程1☆x＝0的根的情況為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根8．（3分）國家統(tǒng)計局統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，我國快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加．2017年至2019年我國快遞業(yè)務(wù)收入由5000億元增加到7500億元．設(shè)我國2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．500（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500 C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝75009．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC在x軸上，頂點A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，6）和（7，0）．將正方形OCDE沿x軸向右平移，當(dāng)點E落在AB邊上時，點D的坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（2，2） C．（，2） D．（4，2）10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分別以點A，C為圓心，AC的長為半徑作弧，兩弧交于點D，連接DA，DC，則四邊形ABCD的面積為（）A．6 B．9 C．6 D．3二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）請寫出一個大于1且小于2的無理數(shù)．12．（3分）已知關(guān)于x的不等式組其中a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則這個不等式組的解集為．13．（3分）如圖所示的轉(zhuǎn)盤，被分成面積相等的四個扇形，分別涂有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色．固定指針，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，每次停止后，記下指針?biāo)竻^(qū)域（指針指向區(qū)域分界線時，忽略不計）的顏色，則兩次顏色相同的概率是．14．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，連接EC，F(xiàn)D，點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，連接GH，則GH的長度為．15．（3分）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于點D，點E為半徑OB上一動點．若OB＝2，則陰影部分周長的最小值為．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．（8分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1．17．（9分）為發(fā)展鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，某村根據(jù)本地特色，創(chuàng)辦了山藥粉加工廠．該廠需購置一臺分裝機(jī)，計劃從商家推薦試用的甲、乙兩臺不同品牌的分裝機(jī)中選擇．試用時，設(shè)定分裝的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋500g，與之相差大于10g為不合格．為檢驗分裝效果，工廠對這兩臺機(jī)器分裝的成品進(jìn)行了抽樣和分析，過程如下：[收集數(shù)據(jù)]從甲、乙兩臺機(jī)器分裝的成品中各隨機(jī)抽取20袋，測得實際質(zhì)量（單位：g）如下：甲：501497498502513489506490505486502503498497491500505502504505乙：505499502491487506493505499498502503501490501502511499499501[整理數(shù)據(jù)]整理以上數(shù)據(jù)，得到每袋質(zhì)量x（g）的頻數(shù)分布表．質(zhì)量頻數(shù)機(jī)器485≤x＜490490≤x＜495495≤x＜500500≤x＜505505≤x＜510510≤x＜515甲224741乙135731[分析數(shù)據(jù)]根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到以下統(tǒng)計量．統(tǒng)計量機(jī)器平均數(shù)中位數(shù)方差不合格率甲499.7501.542.01b乙499.7a31.8110%根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表格中的a＝，b＝；（2）綜合上表中的統(tǒng)計量，判斷工廠應(yīng)選購哪一臺分裝機(jī)，并說明理由．18．（9分）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設(shè)測角儀，先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點N處，測得點A的仰角為45°．測角儀的高度為1.6m．（1）求觀星臺最高點A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6m．請計算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．19．（9分）暑期將至，某健身俱樂部面向?qū)W生推出暑期優(yōu)惠活動，活動方案如下．方案一：購買一張學(xué)生暑期專享卡，每次健身費用按六折優(yōu)惠；方案二：不購買學(xué)生暑期專享卡，每次健身費用按八折優(yōu)惠．設(shè)某學(xué)生暑期健身x（次），按照方案一所需費用為y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需費用為y2（元），且y2＝k2x．其函數(shù)圖象如圖所示．（1）求k1和b的值，并說明它們的實際意義；（2）求打折前的每次健身費用和k2的值；（3）八年級學(xué)生小華計劃暑期前往該俱樂部健身8次，應(yīng)選擇哪種方案所需費用更少？說明理由．20．（9分）我們學(xué)習(xí)過利用尺規(guī)作圖平分一個任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的．人們根據(jù)實際需要，發(fā)明了一種簡易操作工具﹣﹣三分角器．圖1是它的示意圖，其中AB與半圓O的直徑BC在同一直線上，且AB的長度與半圓的半徑相等；DB與AC垂直于點B，DB足夠長．使用方法如圖2所示，若要把∠MEN三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使DB經(jīng)過∠MEN的頂點E，點A落在邊EM上，半圓O與另一邊EN恰好相切，切點為F，則EB，EO就把∠MEN三等分了．為了說明這一方法的正確性，需要對其進(jìn)行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，點A，B，O，C在同一直線上，EB⊥AC，垂足為點B，．求證：．21．（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+c與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點A，B，且OA＝OB，點G為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式及點G的坐標(biāo)；（2）點M，N為拋物線上兩點（點M在點N的左側(cè)），且到對稱軸的距離分別為3個單位長度和5個單位長度，點Q為拋物線上點M，N之間（含點M，N）的一個動點，求點Q的縱坐標(biāo)yQ的取值范圍．22．（10分）小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：如圖，點D是上一動點，線段BC＝8cm，點A是線段BC的中點，過點C作CF∥BD，交DA的延長線于點F．當(dāng)△DCF為等腰三角形時，求線段BD的長度．小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗研究此問題．請將下面的探究過程補(bǔ)充完整：（1）根據(jù)點D在上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測量線段BD，CD，F(xiàn)D的長度，得到下表的幾組對應(yīng)值．BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中發(fā)現(xiàn)：①“當(dāng)點D為的中點時，BD＝5.0cm”．則上表中a的值是；②“線段CF的長度無需測量即可得到”．請簡要說明理由．（2）將線段BD的長度作為自變量x，CD和FD的長度都是x的函數(shù)，分別記為yCD和yFD，并在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出了函數(shù)yFD的圖象，如圖所示．請在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yCD的圖象；（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)△DCF為等腰三角形時，線段BD長度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）．23．（11分）將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過點D作DE垂直于直線BB′，垂足為點E，連接DB′，CE．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，△DEB′的形狀為，連接BD，可求出的值為；（2）當(dāng)0°＜α＜360°且α≠90°時，①（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由；②當(dāng)以點B′，E，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出的值．

2020年河南省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的．1．（3分）2的相反數(shù)是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2【分析】利用相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：2的相反數(shù)是﹣2．故選：A．【點評】此題主要考查了相反數(shù)的概念，正確把握定義是解題關(guān)鍵．2．（3分）如圖擺放的幾何體中，主視圖與左視圖有可能不同的是（）A． B． C． D．【分析】分別確定每個幾何體的主視圖和左視圖即可作出判斷．【解答】解：A、主視圖和左視圖是長方形，一定相同，故本選項不合題意；B、主視圖和左視圖都是等腰三角形，一定相同，故選項不符合題意；C、主視圖和左視圖都是圓，一定相同，故選項不符合題意；D、主視圖是長方形，左視圖是可能是正方形，也可能是長方形，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，確定三視圖是關(guān)鍵．3．（3分）要調(diào)查下列問題，適合采用全面調(diào)查（普查）的是（）A．中央電視臺《開學(xué)第一課》的收視率 B．某城市居民6月份人均網(wǎng)上購物的次數(shù) C．即將發(fā)射的氣象衛(wèi)星的零部件質(zhì)量 D．某品牌新能源汽車的最大續(xù)航里程【分析】由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似．【解答】解：A、調(diào)查中央電視臺《開學(xué)第一課》的收視率，適合抽查，故本選項不合題意；B、調(diào)查某城市居民6月份人均網(wǎng)上購物的次數(shù)，適合抽查，故本選項不合題意；C、調(diào)查即將發(fā)射的氣象衛(wèi)星的零部件質(zhì)量，適合采用全面調(diào)查（普查），故本選項符合題意；D、調(diào)查某品牌新能源汽車的最大續(xù)航里程，適合抽查，故本選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．4．（3分）如圖，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝70°，∴∠3＝∠1＝70°，∵l3∥l4，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故選：B．【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記兩直線平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．5．（3分）電子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作為單位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某視頻文件的大小約為1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B【分析】列出算式，進(jìn)行計算即可．【解答】解：由題意得：210×210×210B＝210+10+10＝230B，故選：A．【點評】本題考查同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加是計算法則．6．（3分）若點A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出y1、y2、y3的值，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：∵點A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，又∵﹣3＜﹣2＜6，∴y1＞y3＞y2．故選：C．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出y1、y2、y3的值是解題的關(guān)鍵．7．（3分）定義運算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．則方程1☆x＝0的根的情況為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【分析】根據(jù)新定義運算法則以及即可求出答案．【解答】解：由題意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，故選：A．【點評】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．8．（3分）國家統(tǒng)計局統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，我國快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加．2017年至2019年我國快遞業(yè)務(wù)收入由5000億元增加到7500億元．設(shè)我國2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．500（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500 C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：2017年的快遞業(yè)務(wù)量×（1+增長率）2＝2019年的快遞業(yè)務(wù)量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【解答】解：設(shè)我國2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為x，由題意得：5000（1+x）2＝7500，故選：C．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握平均變化率的方法，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC在x軸上，頂點A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，6）和（7，0）．將正方形OCDE沿x軸向右平移，當(dāng)點E落在AB邊上時，點D的坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（2，2） C．（，2） D．（4，2）【分析】根據(jù)已知條件得到AC＝6，OC＝2，OB＝7，求得BC＝9，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到DE＝OC＝OE＝2，求得O′E′＝O′C′＝2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BO′＝3，于是得到結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x軸向右平移后的正方形，∵頂點A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，6）和（7，0），∴AC＝6，OC＝2，OB＝7，∴BC＝9，∵四邊形OCDE是正方形，∴DE＝OC＝OE＝2，∴O′E′＝O′C′＝2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BO′＝3，∴OC′＝7﹣2﹣3＝2，∴當(dāng)點E落在AB邊上時，點D的坐標(biāo)為（2，2），故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分別以點A，C為圓心，AC的長為半徑作弧，兩弧交于點D，連接DA，DC，則四邊形ABCD的面積為（）A．6 B．9 C．6 D．3【分析】連接BD交AC于O，根據(jù)已知條件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝，∴AD＝CD＝AB＝3，∴四邊形ABCD的面積＝2×＝3，故選：D．【點評】本題考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）請寫出一個大于1且小于2的無理數(shù)．【分析】由于所求無理數(shù)大于1且小于2，則該數(shù)的平方大于1小于4，所以可選其中的任意一個數(shù)開平方即可．【解答】解：大于1且小于2的無理數(shù)是，答案不唯一．故答案為：．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的估算，現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算，估算應(yīng)是我們具備的數(shù)學(xué)能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．12．（3分）已知關(guān)于x的不等式組其中a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則這個不等式組的解集為x＞a．【分析】根據(jù)關(guān)于x的不等式組的解集表示在數(shù)軸上表示方法求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵b＜0＜a，∴關(guān)于x的不等式組的解集為：x＞a，故答案為：x＞a．【點評】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先根據(jù)題意得出不等式組的解集是解答此題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖所示的轉(zhuǎn)盤，被分成面積相等的四個扇形，分別涂有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色．固定指針，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，每次停止后，記下指針?biāo)竻^(qū)域（指針指向區(qū)域分界線時，忽略不計）的顏色，則兩次顏色相同的概率是．【分析】用樹狀圖或列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率．【解答】解：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，指針?biāo)竻^(qū)域所有可能出現(xiàn)的情況如下：共有16種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩次顏色相同的有4種，∴P（兩次顏色相同）＝＝，故答案為：．【點評】考查樹狀圖或列表法求隨機(jī)事件發(fā)生的概率，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，連接EC，F(xiàn)D，點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，連接GH，則GH的長度為1．【分析】方法一：連接CH并延長交AD于P，連接PE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PD＝CF＝，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．方法二：設(shè)DF，CE交于O，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根據(jù)線段中點的定義得到BE＝CF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根據(jù)勾股定理得到CE＝DF＝＝，點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，根據(jù)射影定理即可得到結(jié)論．【解答】解：方法一：連接CH并延長交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，∴AE＝CF＝×2＝，∵AD∥BC，∴△PDH∽△CFH，∴，∵H是FD的中點，∴DH＝FH，∴PD＝CF＝，∴AP＝AD﹣PD＝，∴PE＝＝＝2，∵點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，∴GH＝EP＝1；方法二：設(shè)DF，CE交于O，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴∠COF＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF＝＝，∵點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，∴CG＝FH＝，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴CF2＝OF?DF，∴OF＝＝＝，∴OH＝，OD＝，∵OC2＝OF?OD，∴OC＝＝，∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，∴HG＝＝＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了射影定理，勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于點D，點E為半徑OB上一動點．若OB＝2，則陰影部分周長的最小值為．【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，得出當(dāng)點E移動到點E′時，陰影部分的周長最小，此時的最小值為弧CD的長與CD′的長度和，分別進(jìn)行計算即可．【解答】解：如圖，作點D關(guān)于OB的對稱點D′，連接D′C交OB于點E′，連接E′D、OD′，此時E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由題意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的長l＝＝，∴陰影部分周長的最小值為2+＝．故答案為：．【點評】本題考查與圓有關(guān)的計算，掌握軸對稱的性質(zhì)，弧長的計算方法是正確計算的前提，理解軸對稱解決路程最短問題是關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．（8分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1．【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把a(bǔ)的值代入進(jìn)行計算即可．【解答】解：＝＝a﹣1，把a(bǔ)＝+1代入a﹣1＝+1﹣1＝．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵．17．（9分）為發(fā)展鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，某村根據(jù)本地特色，創(chuàng)辦了山藥粉加工廠．該廠需購置一臺分裝機(jī)，計劃從商家推薦試用的甲、乙兩臺不同品牌的分裝機(jī)中選擇．試用時，設(shè)定分裝的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋500g，與之相差大于10g為不合格．為檢驗分裝效果，工廠對這兩臺機(jī)器分裝的成品進(jìn)行了抽樣和分析，過程如下：[收集數(shù)據(jù)]從甲、乙兩臺機(jī)器分裝的成品中各隨機(jī)抽取20袋，測得實際質(zhì)量（單位：g）如下：甲：501497498502513489506490505486502503498497491500505502504505乙：505499502491487506493505499498502503501490501502511499499501[整理數(shù)據(jù)]整理以上數(shù)據(jù)，得到每袋質(zhì)量x（g）的頻數(shù)分布表．質(zhì)量頻數(shù)機(jī)器485≤x＜490490≤x＜495495≤x＜500500≤x＜505505≤x＜510510≤x＜515甲224741乙135731[分析數(shù)據(jù)]根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到以下統(tǒng)計量．統(tǒng)計量機(jī)器平均數(shù)中位數(shù)方差不合格率甲499.7501.542.01b乙499.7a31.8110%根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表格中的a＝501，b＝15%；（2）綜合上表中的統(tǒng)計量，判斷工廠應(yīng)選購哪一臺分裝機(jī)，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的計算方法，求出乙機(jī)器分裝實際質(zhì)量的中位數(shù)；乙機(jī)器的不合格的有1個，調(diào)查總數(shù)為20，可求出不合格率，從而確定a、b的值；（2）根據(jù)合格率進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）將乙的成績從小到大排列后，處在中間位置的兩個數(shù)都是501，因此中位數(shù)是501，b＝3÷20＝15%，故答案為：501，15%；（2）選擇乙機(jī)器，理由：乙的不合格率較小，【點評】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的意義和計算方法，理解中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的意義是正確解答的關(guān)鍵．18．（9分）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設(shè)測角儀，先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點N處，測得點A的仰角為45°．測角儀的高度為1.6m．（1）求觀星臺最高點A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6m．請計算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【分析】（1）過A作AD⊥PM于D，延長BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）建議為：為了減小誤差可以通過多次測量取平均值的方法．【解答】解：（1）過A作AD⊥PM于D，延長BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°＝＝＝0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：觀星臺最高點A距離地面的高度約為12.3m；（2）∵“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6m，∴本次測量結(jié)果的誤差為12.6﹣12.3＝0.3m，減小誤差的合理化建議為：為了減小誤差可以通過多次測量取平均值的方法．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．19．（9分）暑期將至，某健身俱樂部面向?qū)W生推出暑期優(yōu)惠活動，活動方案如下．方案一：購買一張學(xué)生暑期專享卡，每次健身費用按六折優(yōu)惠；方案二：不購買學(xué)生暑期專享卡，每次健身費用按八折優(yōu)惠．設(shè)某學(xué)生暑期健身x（次），按照方案一所需費用為y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需費用為y2（元），且y2＝k2x．其函數(shù)圖象如圖所示．（1）求k1和b的值，并說明它們的實際意義；（2）求打折前的每次健身費用和k2的值；（3）八年級學(xué)生小華計劃暑期前往該俱樂部健身8次，應(yīng)選擇哪種方案所需費用更少？說明理由．【分析】（1）把點（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到關(guān)于k1和b的二元一次方程組，求解即可；（2）根據(jù)方案一每次健身費用按六折優(yōu)惠，可得打折前的每次健身費用，再根據(jù)方案二每次健身費用按八折優(yōu)惠，求出k2的值；（3）將x＝8分別代入y1、y2關(guān)于x的函數(shù)解析式，比較即可．【解答】解：（1）∵y1＝k1x+b過點（0，30），（10，180），∴，解得，k1＝15表示的實際意義是：購買一張學(xué)生暑期專享卡后每次健身費用為15元，b＝30表示的實際意義是：購買一張學(xué)生暑期專享卡的費用為30元；（2）由題意可得，打折前的每次健身費用為15÷0.6＝25（元），則k2＝25×0.8＝20；（3）選擇方案一所需費用更少．理由如下：由題意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．當(dāng)健身8次時，選擇方案一所需費用：y1＝15×8+30＝150（元），選擇方案二所需費用：y2＝20×8＝160（元），∵150＜160，∴選擇方案一所需費用更少．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解兩種優(yōu)惠活動方案，求出y1、y2關(guān)于x的函數(shù)解析式．20．（9分）我們學(xué)習(xí)過利用尺規(guī)作圖平分一個任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的．人們根據(jù)實際需要，發(fā)明了一種簡易操作工具﹣﹣三分角器．圖1是它的示意圖，其中AB與半圓O的直徑BC在同一直線上，且AB的長度與半圓的半徑相等；DB與AC垂直于點B，DB足夠長．使用方法如圖2所示，若要把∠MEN三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使DB經(jīng)過∠MEN的頂點E，點A落在邊EM上，半圓O與另一邊EN恰好相切，切點為F，則EB，EO就把∠MEN三等分了．為了說明這一方法的正確性，需要對其進(jìn)行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，點A，B，O，C在同一直線上，EB⊥AC，垂足為點B，AB＝OB，EN切半圓O于F．求證：EB，EO就把∠MEN三等分．【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1＝∠2，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠2＝∠3，于是得到結(jié)論．【解答】解：已知：如圖2，點A，B，O，C在同一直線上，EB⊥AC，垂足為點B，AB＝OB，EN切半圓O于F．求證：EB，EO就把∠MEN三等分，證明：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE（SAS），∴∠1＝∠2，∵BE⊥OB，∴BE是⊙O的切線，∵EN切半圓O于F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO就把∠MEN三等分．故答案為：AB＝OB，EN切半圓O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+c與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點A，B，且OA＝OB，點G為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式及點G的坐標(biāo)；（2）點M，N為拋物線上兩點（點M在點N的左側(cè)），且到對稱軸的距離分別為3個單位長度和5個單位長度，點Q為拋物線上點M，N之間（含點M，N）的一個動點，求點Q的縱坐標(biāo)yQ的取值范圍．【分析】（1）先求出點B，點A坐標(biāo)，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出點M，點N坐標(biāo)，即可求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+2x+c與y軸正半軸分別交于點B，∴點B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴點A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點G為（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴對稱軸為直線x＝1，∵點M，N為拋物線上兩點（點M在點N的左側(cè)），且到對稱軸的距離分別為3個單位長度和5個單位長度，∴點M的橫坐標(biāo)為﹣2或4，點N的橫坐標(biāo)為6，∴點M坐標(biāo)為（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），點N坐標(biāo)（6，﹣21），∵點Q為拋物線上點M，N之間（含點M，N）的一個動點，∴﹣21≤yQ≤4或﹣21≤yQ≤﹣5．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．22．（10分）小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：如圖，點D是上一動點，線段BC＝8cm，點A是線段BC的中點，過點C作CF∥BD，交DA的延長線于點F．當(dāng)△DCF為等腰三角形時，求線段BD的長度．小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗研究此問題．請將下面的探究過程補(bǔ)充完整：（1）根據(jù)點D在上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測量線段BD，CD，F(xiàn)D的長度，得到下表的幾組對應(yīng)值．BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中發(fā)現(xiàn)：①“當(dāng)點D為的中點時，BD＝5.0cm”．則上表中a的值是5；②“線段CF的長度無需測量即可得到”．請簡要說明理由．（2）將線段BD的長度作為自變量x，CD和FD的長度都是x的函數(shù)，分別記為yCD和yFD，并在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出了函數(shù)yFD的圖象，如圖所示．請在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yCD的圖象；（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)△DCF為等腰三角形時，線段BD長度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【分析】（1）①由＝可求BD＝CD＝a＝5cm；②由“AAS”可證△BAD≌△CAF，可得BD＝CF，即可求解；（2）由題意可畫出函數(shù)圖象；