XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社2024/3/23XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社例1：求已知直線與平面的夾角的實(shí)際大小。

Findthetrueanglebetweenthegivenlineandplanem'

n'

nm步驟：a'c'b'abc1'122'

d'

de'

e??過M作MD△ABCDrawMD

△ABC

NDM

EMN求NMD(△MND)的實(shí)形TruesizeofNMD(△MND)NMD的余角即為ThecomplementaryangelofNMDis需求得MN、ND、MD的實(shí)長如畫水平線NE，只需求MN、ME的實(shí)長MPNSKθDE不求交？Withoutfindingtheintersection?XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社問題：如何求異面直線的公垂線？Problem：Howtoconstructcommonperpendiculartoskewlines?如果其中一條直線是投射線？Whatifoneoftheskewlinesperpendiculartoprojectionplane?XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社第四章投影變換Projectiontransformation一、問題的提出Problems如何求一般位置平面圖形的真實(shí)大??？Howtogetthetruesizeofaninclinedplane?換面法Projectiontransformation：物體本身在空間的位置不動，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使物體相對新的投影面處于解題所需要的有利位置，然后將物體向新投影面進(jìn)行投射。Withtheobjectstayingwhereitis,usinganewprojectionplane(auxiliaryprojectionplane)toreplacetheoldprojectionplanesuchthattheproblemcanbesolvedbythenewprojectionoftheobject解決方法：更換投影面。Solutions:AuxiliaryprojectionplaneXX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社VHABa

b

ab二、新投影面的選擇原則Auxiliaryprojectionplanesetting1.新投影面必須對空間物體處于最有利的解題位置。Thenewprojectionplanemustbeplacedpurposelyinordertosolvetheproblem平行于新的投影面Paralleltothenewprojectionplane垂直于新的投影面Perpendiculartothenewprojectionplane2.新投影面必須垂直于某一保留的原投影面，以構(gòu)成一個相互垂直的兩投影面的新體系。Thenewprojectionplanemustbeperpendiculartooneoldprojectionplanewhichiskeptsothattheycanconstituteanewperpendicularprojectionsystem.Pa1b1XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社VHAa

a

axX

⒈更換一次投影面Firstprojectiontransformation舊投影體系Oldsystem

X—VH新投影體系NewsystemP1HX1—A點(diǎn)的兩個投影：a，a

TwoprojectionsofpointA:a，a

A點(diǎn)的兩個投影：a，a1TwoprojectionsofpointA:a，a1⑴新投影體系的建立

Theconstructionofnewprojectionsystem三、點(diǎn)的投影變換規(guī)律TheruleofpointprojectiontransformationX1P1a1ax1

VHXP1HX1a

aa1

axax1.XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社ax1

VHXP1HX1a

aa1VHA

a

axXX1P1a1ax1

⑵新舊投影之間的關(guān)系Therelationshipofoldandnewprojections

aa1

X1

a1ax1=a

ax

點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。axa

一般規(guī)律：

點(diǎn)的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直于新投影軸。.XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社

XVHaa

ax更換H面replacingH⑶求新投影的作圖方法Drawingofnewprojection

VHXP1HX1由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。Drawlineperpendiculartonewaxisfromtheunchangedprojection,extendthelinesamedistanceasfromthereplacedprojectiontotheoldaxisaa

X1P1H

a1axax1ax1更換V面replacingV●a1作圖規(guī)律：

..XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社VHABa

b

ab四、直線的換面Projectiontransformationofline把一般位置直線變換成投影面平行線Turningobliquelineintolineparalleltoaprojectionplane用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。ReplacingVwithP1,AB//P1X1HP1P1a1b1空間分析：

換H面行嗎？DoesreplacingHwork?不行！No!作圖：例：求直線AB的實(shí)長及與H面的夾角。Eg.FindthetruelengthandofABa

b

abXVH新投影軸的位置？Thepositionofnewaxis?a1●b1●與ab平行Paralleltoab

.XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社把面平行線變換成投射線TurningparallellineintoperpendiculartoaprojectionplaneXX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社可以通過投影面變換換將一般位置直線轉(zhuǎn)化為面平行線，將面平行線轉(zhuǎn)換為投射線.Now,obliquelinecanbeturnedintoparallellineandparallellinecanbeturnedintoperpendiculartoprojectionplane.問：是否可將一般位置直線轉(zhuǎn)換為投射線？Question:Canobliquelinebeturnedintoperpendiculartoprojectionplane?答:用一次換面不可以.(為什么?)Answer:Onlyonetransformationcannotmakeit.(Why?)可用二次換面實(shí)現(xiàn).WithsecondauxiliaryprojectionplaneXX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社二次換面SecondaryauxiliaryviewXX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社3.更換兩次投影面Secondauxiliaryprojectionplane先把V面換成平面P1，P1H，得到中間新投影體系:FirstlyV->P1andletP1H，sogetthefirstnewprojectionsystem:P1HX1—再把H面換成平面P2，P2

P1，得到新投影體系:ThenH->P2andletP2

P1,getthesecondnewprojectionsystem:X2—P1P2⑴新投影體系的建立Constructionofnewprojectionsystem按次序更換TransforminginsequenceAaVHa

axXX1P1a1ax1

P2X2

ax2a2

XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社ax2

a

aXVH

⑵求新投影的作圖方法Stepsofdrawing

a2X1HP1X2P1P2

作圖規(guī)律

a2a1X2軸a2ax2=aax1a1

axax1

..XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社把一般位置平面變換成投影面垂直面Transformingobliqueplaneintoplaneperpendiculartoprojectionplane如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。Ifalineinoneplanecanbetransformedintoalineperpendiculartonewprojectionplane,thatplanethenhasbeentransformedintoplaneperpendiculartonewprojectionplane.空間分析Spatialanalysis：兩平面垂直需滿足什么條件？Whenaretwoplanesperpendiculartoeachother?五、平面的換面ProjectiontransformationofplaneXX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？Howmanytransformationsshouldbeneededtoturnoneobliquelineintooneperpendiculartoprojectionplane?

a

b

c

abcdVHABCDX

d

P1X1c1b1a1

d1在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。ConstructonehorizontallineintheplaneandturnitintooneperpendiculartothenewVerticalplaneafteronetransformation,andtheplanebeperpendiculartothenewVerticalplane.能否只進(jìn)行一次變換？Coulditbedonebyonlyonetransformation?思考：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？WhatkindoflineshouldbedrawnintheplaneifonenewHorizontalplaneneeded?正平線！Frontalline!XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社αa

b

c

acbXVH例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。TurnthetriangleABCintoplaneperpendiculartoprojectionplaneHP1X1★在平面內(nèi)取一條水平線AD。DrawahorizontallineADinABCd

d★將AD變換成新投影面的垂直線。TurnADintolineperpendiculartonewprojectionplaneb1●a1d1●c1●

α反映平面對哪個投影面的夾角？αistheanglebetweenABCandwhichplane?.XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社2、將投射面換為面平行面TurnperpendicularplaneintoparalleltoprojectionplaneXX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社能否將一般位置平面換為面平行面？Canweturnanobliqueplaneintooneparalleltoaprojectionplane?b

a

c

abcb1

c1

a1

ABC真形例：把三角形ABC變換成投影面平行面。TurningTriangleABCintoplaneparalleltoaprojectionplaneXVHXX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社a1

b1●一次換面,把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；Firsttransformationofprojectionplaneturnstheobliqueplaneintoperpendicularone.二次換面，再變換成新投影面的平行面。Secondtransformationofprojectionplaneturnstheperpendicularplaneintoparallelone.X2P1P23.把一般位置平面變換成投影面平行面Turnanobliqueplaneintooneparalleltoprojectionplaneaba

c

b

XVHc作圖Procedure：AB是水平線AB∥Ha2●c2●b2●c1●X2軸的位置？PositionofaxisX2?

平面的實(shí)形Trueshapeoftheplane.X1HP1.與其平行ParalleltothisXX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社b1′

距離Distancedd1′X1HV1X2V1H2c2

d

例1：求點(diǎn)C到直線AB的距離，并求垂足D。FindthedistanceoffrompointCtolineABandindicatetheperpendicularfootDcc

b

a

abXVH

如下圖：當(dāng)直線AB垂直于投影面時，CD平行于投影面，其投影反映實(shí)長。Asthefigurebelowshows:IfAB⊥P,thenCD∥P,anditsprojectionofPisthetruelength.APBDCca

b

d求C點(diǎn)到直線AB的距離，就是求垂線CD的實(shí)長。TherequireddistanceisthetruelengthofperpendicularlineCDc1′

a1′

a2

b2

d2

過作線平行于x2軸。Drawlineparalleltox2throughc1′...如何確定d1′點(diǎn)的位置？Howtodeterminethepositionofpointd1′?六、換面法的應(yīng)用ApplicationoftransformationofprojectionplaneXX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社b

a

abcd●c

例2：已知兩交叉直線AB和CD的公垂線的長度為MN，且AB為水平線，求CD及MN的投影。Given:ThelengthofcommonperpendicularofskewlinesABandCDisMN,AB∥HReq’d:CompletetheprojectionsofCDandMNMN●m

●d

●a1′b1′m1′●n1′●c1′●d1′●nVHXHV1X1圓半徑=MNTheradiusofcircle=MN●n

●m當(dāng)直線AB垂直于投影面時，MN平行于投影面，這時它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B請注意各點(diǎn)的投影如何返回？求m點(diǎn)是難點(diǎn)。..XX秋季第9講換面機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社AB與CD都平行于投影面時，其投影的夾角才反映真形（60°），因此需將AB與C點(diǎn)所確定的平面變換成投影面平行面。Theangleistruesize(60°)whenbothABandCDareparalleltoprojection