2022-2023學年陜西省西安市第二炮兵工程學院附屬中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差數(shù)列，則x的值等于（）A．1 B．0或32 C．32 D．log25參考答案：D【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，可得lg2+lg（2x+3）=2lg（2x﹣1），由對數(shù)的運算性質(zhì)可得lg[2?（2x+3）]=lg（2x﹣1）2，解可得2x的值，由指數(shù)的運算性質(zhì)可得答案．【解答】解：若lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差數(shù)列，則lg2+lg（2x+3）=2lg（2x﹣1），由對數(shù)的運算性質(zhì)可得lg[2?（2x+3）]=lg（2x﹣1）2，解得2x=5或2x=﹣1（不符合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，舍去）則x=log25故選D．2.頂點在坐標原點，對稱軸為坐標軸且經(jīng)過點（﹣2，3）的拋物線方程是(

)A．y2=x B．x2=yC．y2=﹣x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=y參考答案：D【考點】拋物線的標準方程．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】對稱軸分為是x軸和y軸兩種情況，分別設出標準方程為y2=﹣2px和x2=2py，然后將M點坐標代入即可求出拋物線標準方程．【解答】解：（1）拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸是x軸，并且經(jīng)過點（﹣2，3），設它的標準方程為y2=﹣2px（p＞0）∴9=4p，解得p=，∴y2=﹣x．（2）拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸是y軸，并且經(jīng)過點（﹣2，3），設它的標準方程為x2=2py（p＞0）∴4=6p，解得：p=．∴x2=y∴拋物線方程是y2=﹣x或x2=y．故選：D．【點評】本題考查了拋物線的標準方程，解題過程中要注意對稱軸是x軸和y軸兩種情況作答，屬于基礎題．3.定義的運算分別對應下圖中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下圖中的(5)、(6)所對應的運算結果可能是

(

)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)A．

B．

C．

D．

參考答案：B略4.一個頻率分布表（樣本容量為30）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為0.8，則估計樣本在內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)可能是

A．9和10

B．7和6

C．6和9

D．8和9參考答案：C略5.如果曲線在點處的切線方程為，那么（

）不存在參考答案：B略6.某電視臺連續(xù)播放5個不同的廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的奧運宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告，且兩個奧運宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有（

） A．18種 B．36種 C．48種 D．120種

參考答案：B略7.若變量x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最大值為(

)A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃的應用．【專題】計算題；數(shù)形結合．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=x﹣2y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最小值即可．【解答】解：畫出可行域（如圖），z=x﹣2y?y=x﹣z，由圖可知，當直線l經(jīng)過點A（1，﹣1）時，z最大，且最大值為zmax=1﹣2×（﹣1）=3．故選：B．【點評】本小題主要考查線性規(guī)劃知識、作圖、識圖能力及計算能力，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．8.已知空間四邊形中，，對角線的中點分別為，則＝（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略9.如圖，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點C，再由點C沿著置于水平面的長方體的棱爬行至頂點B，則它可以爬行的不同的最短路徑有（）條．A．40 B．60 C．80 D．120參考答案：B【考點】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題．【分析】由題意，從A到C最短路徑有C53=10條，由點C沿著置于水平面的長方體的棱爬行至頂點B，最短路徑有C42=6條，即可求出它可以爬行的不同的最短路徑．【解答】解：由題意，從A到C最短路徑有C53=10條，由點C沿著置于水平面的長方體的棱爬行至頂點B，最短路徑有C42=6條，∴它可以爬行的不同的最短路徑有10×6=60條，故選B．10.下列給出的賦值語句中正確的是(

)A．4=M B．M=-M C．B=A=3 D．x+y=0參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線在點（1,1）處的切線方程為

.參考答案：12.我們在學習立體幾何推導球的體積公式時，用到了祖暅原理：即兩個等高的幾何體，

被等高的截面所截，若所截得的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．類比此方法：求雙曲線﹣=1（a>0，b>0），與x軸，直線y=h（h>0）及漸近線y=x所圍成的陰影部分（如下圖）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積

▲

．參考答案：a2hπ；13.一條與平面相交的線段，其長度為10cm，兩端點、到平面的距離分別是2cm，3cm，則這條線段與平面a所成的角是

.

參考答案：30°略14.已知函數(shù)f（x）=13﹣8x+x2，且f′（a）=4，則實數(shù)a的值．參考答案：3【考點】63：導數(shù)的運算．【分析】根據(jù)題意，對函數(shù)f（x）求導可得f′（x），又由f′（a）=4，可得2a﹣8=4，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=13﹣8x+x2，則其導函數(shù)f′（x）=2x﹣8，若f′（a）=4，則有2a﹣8=4，解可得a=3；故答案為：3．15.已知命題“不成立”是真命題,則實數(shù)的取值范圍是__________.參考答案：[－3,0]16.已知正四面體ABCD的棱長為9，點P是三角形ABC內(nèi)（含邊界）的一個動點滿足P到面DAB、面DBC、面DCA的距離成等差數(shù)列，則點P到面DCA的距離最大值為

．參考答案：2【考點】點、線、面間的距離計算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關系與距離．【分析】設動點P到面DAB、面DBC、面DCA的距離分別為h1，h2，h3，由正四面體ABCD的棱長為9，求出每個面面積S=，高h=3，由正四面體ABCD的體積得到h1+h2+h3=3，再由滿足P到面DAB、面DBC、面DCA的距離成等差數(shù)列，能求出點P到面DCA的距離最大值．【解答】解：設動點P到面DAB、面DBC、面DCA的距離分別為h1，h2，h3，∵正四面體ABCD的棱長為9，每個面面積為S==，取BC中點E，連結AE．過S作SO⊥面ABC，垂足為O，則AO==3，∴高h=SO==3，∴正四面體ABCD的體積V==S（h1+h2+h3），∴h1+h2+h3=3，∵滿足P到面DAB、面DBC、面DCA的距離成等差數(shù)列，∴h1+h2+h3=3h2=3，∴，h2+h3=2，∴點P到面DCA的距離最大值為2．故答案為：2．【點評】本題考查點到平面的距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、正四面體性質(zhì)等知識點的合理運用．17.已知函數(shù),且對任意的恒成立,則實數(shù)k的最大值為______.參考答案：1由題意可得對任意的恒成立,令,,易知存在，使，且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù),即函數(shù)的最小值為,又,,因此,所以，即實數(shù)的最大值為1.點睛：不等式恒成立問題的常用解法：（1）化不等式為，然后求的最小值，由這個最小值可得參數(shù)范圍．（2）利用參數(shù)分離法，化不等式為，一般化為（或）然后求得的最大值，解不等式，可得結論．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐，底面是邊長為的菱形，，且平面．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）若平面與平面的夾角為，試求線段的長．參考答案：（Ⅰ）證明：平面，

四邊形是菱形，又，

所以平面，又平面，所以平面平面．

（6分）（Ⅱ）取的中點，由題易證，分別以為軸，建立空間直角坐標系(如圖)，設．所以．

…………（7分）設平面的法向量為,根據(jù)，得，令，則．

…………（9分）平面的法向量可取， …………（10分）由題，，解得，所以線段的長為．

…………（12分）19.用秦九韶算法求多項式當時的值。寫出其算法,寫出相應的程序語句.參考答案：

20.設函數(shù)f（x）=ax2+bx+clnx，（其中a，b，c為實常數(shù)）（Ⅰ）當b=0，c=1時，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）曲線y=f（x）（其中a＞0）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x﹣3，（?。┤艉瘮?shù)f（x）無極值點且f′（x）存在零點，求a，b，c的值；（ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個極值點，證明f（x）的極小值小于﹣．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）分類討論求解：當a≥0時，f′（x）＞0恒成立，此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間，當a＜0時，令f′（x）＞0，解得0；令f′（x）＜0時，（2）根據(jù)函數(shù)的切線的性質(zhì)求解，列方程即可．（3）根據(jù)函數(shù)極值的判斷，多次求導判斷，根據(jù)單調(diào)性，切點極值點，來解決．【解答】解：（1當b=0，c=1時，f（x）=x2+lnx，定義域是（0，+∞），當a≥0時，f′（x）＞0恒成立，此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間，當a＜0時，令f′（x）＞0，解得0；令f′（x）＜0時，解得x，∴f（x）的單調(diào)的遞增區(qū)間是（0，），單調(diào)遞減區(qū)間（，+∞），綜上當a≥0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；當a＜0時，f（x）的單調(diào)的遞增區(qū)間是（0，），單調(diào)遞減區(qū)間（，+∞），（2）（i）曲線y=f（x）（其中a＞0）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x﹣3，f′（x）=2ax+b+，斜率k═f′（1）=2a+b+c=3，由點（1，f（1））在y=3x﹣3上，∴f（1）=3﹣3=0，∴f（1）=a+b+cln1=a+b=0，即b=﹣a，c=3﹣a，則f（x）=ax2﹣ax+（3﹣a）lnx，f′（x）=當F（x）無極值點且f′（x）存在零點時，則方程f′（x）==0，即關于的方程2ax2﹣ax+3﹣a=0有兩個相等的實數(shù)根，（a＞0），∴△=a2﹣8a（3﹣a）=0，解得a=，b=﹣a=﹣，c=3﹣a=，即a=，b=﹣，c=，（ii）由f′（x）=（x＞0）要使函數(shù)f（x）有兩個極值點，只要方程2ax2﹣ax+3﹣a=0有兩個不相等的實數(shù)根，

時兩正根為x1，x2，x1＜x2，∴△=a2﹣8a（3﹣a）＞0，（a＞0），解得：a，∴x1=＞0，x2=，∴＜a＜3，∴0，＜x2＜，∴當＜x＜x2時，f′（x）＜0時，當x2＜x時，f′（x）＞0時，∴當x=x2時，有極小值f（x2），由2ax﹣ax2+3=0，得：a=，∴f（x2）=ax22﹣ax2+（3﹣a）lnx2=a（x﹣ax2﹣lnx2）+3lnx2=3lnx2﹣，＜x2＜，而f′（x）=，即g（x）=x2﹣x﹣lnx，（＜x≤1），有g′（x）=2x﹣1=對于x∈（，1]恒成立，又g（1）=0，故對x∈（，），恒有g（x）＞g（1），即g（x）＞0，∴f′（x）＞0，對于＜x2，恒成立．即f（x2）在（，）上單調(diào)遞增∴f（x2）21.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在線段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中點，四面體P﹣BCG的體積為．（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一點F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．參考答案：解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD內(nèi)，過C點作CH∥EG交AD于H，連結PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角．在△PCH中，CH=，PC=，PH=，由余弦定理得，cos∠PCH=．（2）在平面ABCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結MF，又因為DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM，由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD?cos45°=，∵，∴由DF⊥GC，可得．考點：直線與平面垂直的性質(zhì)；異面直線及其所成的角．專題：證明題；數(shù)形結合；數(shù)形結合法；空間位置關系與距離；空間角．分析：（1）由已知考查PG，在平面ABCD內(nèi)，過C點作CH∥EG交AD于H，連結PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理即可求得cos∠PCH的值．（2）在平面ABCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結MF，可證FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD?cos45°=，由DF⊥GC，即可求得的值．解答：解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD內(nèi)，過C點作CH∥EG交AD于H，連結PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角．在△P