北師版七年級(jí)下第11招等腰三角形“三線合一”解題的六種技巧等腰三角形中的“頂角平分線”“底邊上的高”“底邊上的

中線”，只要知道其中“一線”，就可以說明這條線同時(shí)也

是其他“兩線”.運(yùn)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)說明角

相等、線段相等或垂直，可減少說明全等的次數(shù)，簡(jiǎn)化解題

過程.

等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是說明線段或角的倍分關(guān)系、相等關(guān)系常用的性質(zhì)之一，如解答含等腰三角形的題型時(shí)，常常要考慮構(gòu)造等腰三角形“三線合一”的基本圖形來進(jìn)行解答.本例通過作垂線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)說明角的倍分關(guān)系.

利用“三線合一”求角的度數(shù)1.[2023·南昌二中期中]如圖，在△ABC中，CA＝CB，D是

AB的中點(diǎn)，∠B＝50°，求∠ACD的度數(shù).

利用“三線合一”求線段長(zhǎng)2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于點(diǎn)E.

若BC＝10，且△BDC的周長(zhǎng)為24，求AE的長(zhǎng).

利用“三線合一”說明角(線段)相等

試說明：∠ACE＝∠B.【解】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.

因?yàn)镃E⊥AE于點(diǎn)E，所以∠AEC＝90°.

所以△ACD≌△ACE(AAS).所以∠ACD＝∠ACE.又因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠ACD.所以∠ACE＝∠B.4.[新考法

探究法]已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝

AC，D為BC的中點(diǎn).(1)如圖①，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝AF，試

判斷△DEF的形狀，并說明理由.【解】(1)△DEF為等腰直角三角形.理由：連接AD，易說明△BDE≌△ADF，所以DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.因?yàn)锳B＝AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.所以∠ADB＝90°.所以∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.所以△DEF為等腰直角三角形.(2)如圖②，若E，F(xiàn)分別為AB，CA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且仍

有BE＝AF，請(qǐng)判斷△DEF是否仍是(1)中的形狀(不必說明理由).【解】△DEF仍是等腰直角三角形.

利用“三線合一”說明線段的垂直關(guān)系5.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，

AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中點(diǎn).試說

明：DG⊥EF.

利用“三線合一”說明線段的倍分關(guān)系6.[新考法

構(gòu)造三線法]如圖，已知在等腰直角三角形ABC

中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交

BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.試說明：BF＝2CD.【解】如圖，延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)E.因?yàn)锽F平分∠ABC，CD⊥BD，所以∠EBD＝∠CBD，∠BDE＝∠BDC＝90°.又因?yàn)锽D＝BD，所以△BDE≌△BDC(ASA).所以BE＝BC.又因?yàn)锽D⊥CE，所以CE＝2CD.因?yàn)椤螧AC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，所以∠ABF＝∠ACE.又因?yàn)锳B＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，所以△ABF≌△ACE(ASA).所以BF＝CE.所以BF＝2CD.

利用“三線合一”說明線段的和差關(guān)系7.[2023·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中]如圖，在△ABC中，AB＝

AC，過點(diǎn)A在△ABC的外部作直線l，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M，連接AM，BM，線段BM交直線l于點(diǎn)N.(1)依題意補(bǔ)全圖形；【解】補(bǔ)全圖形如圖所示.(2)連接CN，試說明：∠ACN＝∠ABM；

所以△AMN≌△ACN(SSS).所以∠AMN＝∠ACN.因?yàn)锳B＝AC，所以AB＝AM.所以∠ABM＝∠AMB.所以∠ACN＝∠ABM.(3)過點(diǎn)A作AH⊥BM于點(diǎn)H，用等式表示線段BN，2NH，

MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【解】如圖所示.BN＝2NH＋MN