平行線分線段成比例27.2.1相似三角形的判定|27.2.1相似三角形的判定

新知探究活動(dòng)一：

1.下列兩個(gè)三角形滿足什么條件是相似三角形？2.類比全等三角形的判定相關(guān)知識(shí)你想到了什么？ABCA′B′C′活動(dòng)二：

如圖，任意畫兩條直線l1，l2，再畫三條與l1，l2都相交的平行線l3，l4，l5.分別度量在l1上截得的兩條線段AB，BC和在l2上截得的兩條線段DE，EF的長(zhǎng)度.(1)計(jì)算的值，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？(2)用自己的語(yǔ)言總結(jié)一下你的發(fā)現(xiàn)？ACEBDFl4l5l1l2l3兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.平行線分線段成比例定理ABCDEFl4l5l3l2l1∵

l3∥l4∥l5，∴

活動(dòng)三：已知

l1∥l2∥l3，圖中對(duì)應(yīng)成比例線段成立嗎？請(qǐng)總結(jié)你的發(fā)現(xiàn)？ABCDEFl4l5l3l2l1ABCDEl4l5l3l2l1ABCDEl4l5l3l2l1平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.平行線分線段成比例定理推論∵DE∥BC，針對(duì)練習(xí)如圖，在△ABC中，DE∥BC，若則等于(

)A.B.C.D.C如圖，DE∥BC，，則

；若

FG∥BC，

，則

.ABCEDFG典例講解例2

如圖，在

△ABC中，已知DE∥BC.求證：△ABC∽△AEDBCADE證明：在△ADE與△ABC

中，∠A

=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE

=∠B，∠AED

=∠C.如圖，過(guò)點(diǎn)

E

作

EF∥AB，交

BC于點(diǎn)

F.CABDEF∵DE∥BC，EF∥AB，∴且四邊形

DEFB

為平行四邊形．∴DE=BF.∴△ADE∽△ABC.∴平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.判定三角形相似的定理∵DE∥BC，ABCDE∴△ADE∽△ABC.“A

”型

“X

”型DEABC例2如圖，在△ABC中，EF∥BC.(1)如果

E、F

分別是AB和AC上的點(diǎn)，AE=BE

=

7，F(xiàn)C=4，那么AF的長(zhǎng)是多少？(2)若

AB=10，AE

=

6，AF=5，則FC的長(zhǎng)是多少？ABCEF(1)解：∵EF∥BC，∴

∴解得AF=4.(2)若

AB=10，AE

=

6，AF=5，則FC的長(zhǎng)是多少？解：∵EF∥BC，∴∴解得AC=.∴FC=AC－AF=ABCEF例3

如圖，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，則∠C等于(

)A．40°

B．60°

C．80°

D．100°C例3

如圖，F(xiàn)是

ABCD的邊CD上一點(diǎn)，連接BF，并延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，AD∥BC.

（平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例）.同理可得

課堂小結(jié)定義相似三角形相似三角形平行線分線段成比例判定相似比各角分別相等、各邊成比例定理判定兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例ABCDEFl4l5l3l2l1ABCDEl4l5l3l2l1ABCDEl4l5l3l2l1∵

l3∥l4∥l5，∴

“A”型

“X”型DEABCABCDE平行線分線段成比例定理課堂練習(xí)1.如圖，△ABC∽△DEF，相似比為

1

:

2，若BC

=

1，則EF的長(zhǎng)為(

)A.1B.2C.3D.4BCAEFDB2.如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE

=

2cm，BE

=

6cm，BC=4cm，則

EF的長(zhǎng)為

()AABCEFA.1cmB.cm

C.2

cmD.3cm如圖，AB∥CD∥EF，則圖中相似三角形有(

)A．0對(duì)B．1對(duì)C．2對(duì)D．3對(duì)D如圖，在□

ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3,

EF=4，求CD的長(zhǎng)．解：∵EF∥AB，DE:EA=2:3，DACBEF∴

即∴△DEF∽△DAB.解得AB=10.又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=10.如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點(diǎn)E，H分別在AB，AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm.(1)求證：△AEH∽△ABC；(2)求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與面積．(1)證明：∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥BC.∴△AEH∽△ABC.

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.判定三角形相似的定理∵DE∥BC，ABCDE∴△ADE∽△ABC.“A

”型

“X

”型DEABC新知探究活動(dòng)一：任意畫一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A′B′C′，使它的各邊長(zhǎng)都是原來(lái)△ABC的各邊長(zhǎng)的

k倍1.猜想這兩個(gè)三角形的角相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由？2.你從中得出什么結(jié)論？ABCA’C’B’如圖，在△ABC和△A'B'C'中，求證：△ABC∽△A'B'C'.

ABCA’C’B’DE證明：在線段A′B′（或它的延長(zhǎng)線）上截取A′D=AB，過(guò)點(diǎn)D作DE//B′C′，交A′C′于點(diǎn)E.根據(jù)前面的定理，可得△A′DE∽△A'B'C'.∴DE=BC，A′E=AC.∴

△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A'B'C'.三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.三角形相似的判定定理(一)∵，∴△ABC∽△A′B′C′.ABCA’C’B’典例講解例1已知△ABC和△DEF，根據(jù)下列條件判斷它們是否相似.(2)AB＝

4，BC＝8，

AC＝10，DE＝

20，

EF＝16，DF＝8.(1)AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE＝

6，EF＝

8，DF＝

9；∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE．∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°．∴△ABC∽△ADE(三邊成比例的兩個(gè)三角形相似).例2

如圖，在△ABC和△ADE中，

∠BAD=20°，求∠CAE的度數(shù).ABCDE解：∵例3

圖1，圖2中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖2中的哪一個(gè)三角形(陰影部分)與圖1中的△ABC相似？圖1圖2例3要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形框架的三邊長(zhǎng)分別為4cm，5cm和6cm，另一個(gè)三角形框架的一邊長(zhǎng)為2cm，它的另外兩條邊長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)是多少？你有幾種制作方案？

課堂小結(jié)預(yù)備定理相似三角形判定(一)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例三邊成比例的兩個(gè)三角形相似課堂練習(xí)圖中的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？解：相似.理由如下：∵∴

兩個(gè)三角形的三邊成比例．∴

這兩個(gè)三角形相似．152025273645

B如圖，4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是(

)D

如圖，，求證：∠BAD＝∠CAE.證明：

∵∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.

如圖，四邊形ABCD，CDEF，EFGH都是相同的正方形．(1)△ACF與△GCA相似嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由．(2)求∠1＋∠2的度數(shù)．(1)解：△ACF∽△GCA.理由：可設(shè)正方形ABCD，CDEF，EFGH的邊長(zhǎng)為a，則△ACF的三邊長(zhǎng)分別為：AC＝，CF＝a，AF＝

，△ACG的三邊長(zhǎng)分別為：AC＝

，CG＝2a，AG＝.∴∴∴

△ACF與△GCA相似．∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF，∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.(2)解：

如圖所示，在正方形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP.證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a.∵Q是CD的中點(diǎn)，∴DQ＝CQ＝

a.∵BP＝3PC，∴PC＝

a，∴AQ＝

PQ＝

∴∴△ADQ∽△QCP.知識(shí)回顧預(yù)備定理相似三角形判定(一)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例三邊成比例的兩個(gè)三角形相似新知探究ABCA’C’B’活動(dòng)一：利用刻度尺和量角器畫△ABC

和△A′B′C′，使∠A

=∠A′，1.猜想這兩個(gè)三角形的角相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由？2.你從中得出什么結(jié)論？DE兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.三角形相似的判定定理(二)∴△ABC∽△A′B′C′.ABCA’C’B’∵∠A=∠A′，活動(dòng)二：判定二得兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.

思考夾角相等改成任意一角相等，成立嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由？B″ABCA’C’B’典例講解例1在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，

BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△DEF∽△ABC.ACBFED證明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，又∵∠C=∠F=70°，∴∴△DEF∽△ABC.例2不能判定△ABC和△A′B′C′相似的條件是(

)A.B.

，且∠A＝∠A′C.

，且∠B＝∠A′D.

，且∠B＝∠C′D例3

如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求證：△ABC∽△ADE.證明：∵△ABC與△ADE都是等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC．∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．∴△ABC∽△ADE．ABCDE例4如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的長(zhǎng).又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．解：∵AE=1.5，AC=2，

ACBED∴∴∴知識(shí)小結(jié)相似三角形的判定A′B′C′ACBDEDE//BC∠A=∠A′△ABC∽△A′B′C′.課堂練習(xí)1.判斷對(duì)錯(cuò)：(1)兩個(gè)等邊三角形相似．()(2)兩個(gè)直角三角形相似．()(3)兩個(gè)等腰直角三角形相似．()(4)有一個(gè)角是

50°

的兩個(gè)等腰三角形相似．()×√√×如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且將這個(gè)四邊形分成①②③④四個(gè)三角形．若OA:OC＝OB:OD，則下列結(jié)論中一定正確的是

(

)A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似B如圖，D是△ABC一邊BC上一點(diǎn)，連接AD，使△ABC∽△DBA

的條件是

(

)A.AC:BC

=

AD:BD

B.AC:BC

=

AB:AD

C.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCDABCD如圖，∠DAB=∠CAE，且AB·AD=AE·AC，求證：△ABC∽△AED.

ABCDE證明：∵AB·AD=AE·AC，

∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE

=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．∴△ABC∽△AED.

證明：∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°.

∴△ADC∽△CDB.∴∠ACD=∠B.∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD