廣東省廣州市南國(guó)學(xué)校中學(xué)部高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓與雙曲線(xiàn)C2的公共焦點(diǎn)，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形為矩形，則C2的離心率是（

）A. B. C. D.參考答案：D【詳解】試題分析：由橢圓與雙曲線(xiàn)的定義可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a為雙曲線(xiàn)的長(zhǎng)軸長(zhǎng))，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四邊形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)．2.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0),

(1,0)，條件甲：點(diǎn)C滿(mǎn)足；條件乙：點(diǎn)C的坐標(biāo)是方程+=1(y10)的解.

則甲是乙的（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件Ｃ.充要條件

D．既不是充分條件也不是必要條件參考答案：B3.用0,1,2,3,4排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)相鄰，奇數(shù)也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是

（

）

A、20

B、24

C、30

D、36參考答案：A略4.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程為=x+中的前兩組數(shù)據(jù)（1，0）和（2，2）求得的直線(xiàn)方程為y=b′x+a′，則以下結(jié)論正確的是（）A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′參考答案：C【考點(diǎn)】線(xiàn)性回歸方程．【分析】由表格總的數(shù)據(jù)可得n，，，進(jìn)而可得，和，代入可得，進(jìn)而可得，再由直線(xiàn)方程的求法可得b′和a′，比較可得答案．【解答】解：由題意可知n=6，===，==，故=91﹣6×=22，=58﹣6××=，故可得==，==﹣×=，而由直線(xiàn)方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，比較可得＜b′，＞a′，故選C5.某社區(qū)現(xiàn)有480個(gè)住戶(hù)，其中中等收入家庭200戶(hù)、低收入家庭160戶(hù)，其他為高收入家庭.在建設(shè)幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中，高收入家庭被抽取了6戶(hù)，則在此次分層抽樣調(diào)查中，被抽取的總戶(hù)數(shù)為

（

）A．20

B．24

C．36

D．30參考答案：B6.在中，若，則A等于（

）A．或

B．或

C．或

D．或參考答案：D7.若圓的方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)的方程為（t為參數(shù)），則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是（

）。A

相交過(guò)圓心

B相交而不過(guò)圓心

C

相切

D

相離參考答案：D略8.下列有關(guān)命題的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）

A．若為假命題，則、均為假命題.B．“”是“”的充分不必要條件.C．命題“若則”的逆否命題為：“若則”.D．對(duì)于命題使得＜0，則，使.參考答案：D9.在300米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（

）

A.200米

B.米

C.200米

D.米參考答案：A10.已知集合，，則A∩B=（

）A.{－1,0,1} B.{－1,0} C.{0,1} D.{－1,1}參考答案：B【分析】先求集合，然后求.【詳解】因?yàn)?，所以，選B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量則的坐標(biāo)是

.

參考答案：（-7，-1）略12.從5名學(xué)生中任選4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科競(jìng)賽，且每科競(jìng)賽只有1人參加。若甲參加，但不參加生物競(jìng)賽，則不同的選擇方案共有

種。參考答案：13.已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________.參考答案：或【分析】由曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)化為，然后求出表示以為圓心，1為半徑的圓，將，化為直角坐標(biāo)方程為，然后，由題意可知，然后求解即可【詳解】曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，化為直角坐標(biāo)方程為，即，表示以為圓心，1為半徑的圓，又由直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是，即，化為直角坐標(biāo)方程為，由直線(xiàn)與曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，，解得或，所以，答案為或【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是___________________________。參考答案：15.如圖，將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五塊區(qū)域染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰區(qū)域（有公共邊）的顏色不同，則不同的染色方法有

種．參考答案：3016.函數(shù)的遞減區(qū)間是__________．參考答案：（0,2）17.已知雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且兩曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則雙曲線(xiàn)方程為

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足

(Ⅰ)求；(Ⅱ)若F(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，且x＞0時(shí)，F(xiàn)(x)=f(x)，求F(x)的解析式.參考答案：解(Ⅰ)設(shè)，則

……………3分

故，

解得，

∴

……………6分(Ⅱ)∵F(x)為奇函數(shù)，∴F(-x)=-F(x)

…………………8分

當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)(-0)=-F(0)，即F(0)=0………………10分

當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0

F(x)=-F(-x)=-[2(-x)+7]=2x-7，…………………13分

故，F(xiàn)(x)=.

………14分19.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=，公比q=的等比數(shù)列，設(shè)（n∈N*），cn=anbn（n∈N*）（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】（1）由題意知本題an=，（n∈N*），再根據(jù)bn+2=3logan（n∈N*），求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．先根據(jù)cn=anbn（n∈N*）求出數(shù)列{cn}通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（1）由題意知，an=，（n∈N*），又bn=3logan﹣2，故bn=3n﹣2，（n∈N*），（2）由（1）知，an=，bn=3n﹣2，（n∈N*），∴cn=（3n﹣2）×，（n∈N*），∴Sn=1×+4×+7×+…+（3n﹣5）×+（3n﹣2）×，∴Sn=1×+4×+7×+…+（3n﹣8）×+（3n﹣5）×+（3n﹣2）×，兩式相減，得Sn=+3﹣（3n﹣2）×=﹣（3n+2）×∴Sn=﹣，（n∈N*）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差與等比數(shù)列的綜合，主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和的技巧錯(cuò)位相減法，如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)乘積組成，即可用錯(cuò)位相減法求和．本題易因錯(cuò)位相減時(shí)規(guī)則不熟悉出錯(cuò)，要好好研究．20.已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=x2﹣2x+2（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若?x1∈（0，+∞），均?x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為f（x）max＜g（x）max，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出f（x）的最大值和g（x）的最大值，求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ），①當(dāng)a≥0時(shí)，∵x＞0，∴f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），②當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）＞0，得，令f'（x）＜0，得，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），單調(diào)減區(qū)間為（，+∞）；（Ⅱ）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為f（x）max＜g（x）max，已知g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2，由（Ⅰ）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）單調(diào)遞減，故f（x）max=f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得：a＜﹣e﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．21.如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，點(diǎn)E、F、G分別為線(xiàn)段PA、PD和CD的中點(diǎn).（1）求異面直線(xiàn)EG與BD所成角的大??；（2）在線(xiàn)段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離恰為？若存在，求出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：（1）；（2）線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)度為.【分析】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖示，寫(xiě)出點(diǎn)E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量，的坐標(biāo)，利用異面直線(xiàn)EG與BD所成角公式求出異面直線(xiàn)EG與BD所成角大小即可；（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即先假設(shè)在線(xiàn)段CD上存在一點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件，設(shè)點(diǎn)Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量為，再點(diǎn)A到平面EFQ的距離，求出x0，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．【詳解】解：（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，點(diǎn)E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），則，．設(shè)異面直線(xiàn)EG與BD所成角為θ，所以異面直線(xiàn)EG與BD所成角大小為．（2）假設(shè)在線(xiàn)段CD上存在一點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件，設(shè)點(diǎn)Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量為，則有得到y(tǒng)＝0，z＝xx0，取x＝1，所以，則，又x0＞0，解得，所以點(diǎn)即，則．所以在線(xiàn)段CD上存在一點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件，且線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)睛】：考查空間向量的應(yīng)用，向量的夾角公式，解本題關(guān)鍵在于對(duì)空間向量和線(xiàn)線(xiàn)角的結(jié)合原理要熟悉.屬于基礎(chǔ)題.22.已知圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿(mǎn)足.

（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（2，0）作直線(xiàn)，與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)

是否存在這樣的直線(xiàn)，使四邊形OASB的對(duì)角線(xiàn)相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.參考答案：解析;（1）Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN

GQ為PN的中垂線(xiàn)|PG|=|GN|

∴|GN|