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文檔簡(jiǎn)介
專題9.1向量概念知識(shí)點(diǎn)1向量的概念及表示1.定義:既有大小又有方向的量叫做向量.2.表示:(1)有向線段:具有方向的線段叫做有向線段.它包含三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.(2)向量的表示:①幾何表示:用有向線段表示,記作向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度(或稱模),記作.②字母表示:書寫時(shí)用表示,還可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示,如以為起點(diǎn),以為終點(diǎn)的向量記作.3.兩個(gè)特殊向量:(1)零向量與非零向量:長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量.印刷時(shí)用加粗的阿拉伯?dāng)?shù)字零表示,即0;書寫時(shí),寫為,長(zhǎng)度不為0的向量稱為非零向量.(2)單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫做單位向量.知識(shí)點(diǎn)2向量間的關(guān)系1.平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,記作.規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對(duì)于任意向量,都有.2.相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量與相等,記作.重難點(diǎn)1向量的有關(guān)概念【例1】下列量中是向量的為(
)A.頻率 B.拉力 C.體積 D.距離【答案】B【分析】根據(jù)向量與數(shù)量的意義直接判斷即可.【詳解】顯然頻率、體積、距離,它們只有大小,不是向量,而拉力既有大小,又有方向,所以拉力是向量.故選:B【例2】下列說法正確的是(
)A.單位向量都相等B.若,則C.若,則D.若,(),則與是平行向量【答案】D【分析】根據(jù)相等向量,共線向量的定義判斷可得;【詳解】解:對(duì)于,單位向量的模長(zhǎng)相等,但方向不一定相同,所以錯(cuò)誤;對(duì)于,當(dāng)時(shí),其模長(zhǎng)與可能相等或,或,所以錯(cuò)誤;對(duì)于,當(dāng)時(shí),不一定有,因?yàn)橐遗c同向,所以錯(cuò)誤;對(duì)于,,(),則與是平行向量,正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本概念應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.【變式11】下列四個(gè)命題正確的是(
)A.兩個(gè)單位向量一定相等 B.若與不共線,則與都是非零向量C.共線的單位向量必相等 D.兩個(gè)相等的向量起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度必須都相同【答案】B【解析】由相等向量、共線向量的概念逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案.【詳解】解:兩個(gè)單位向量一定相等錯(cuò)誤,可能方向不同;若與不共線,則與都是非零向量正確,原因是零向量與任意向量共線;共線的單位向量必相等錯(cuò)誤,可能是相反向量;兩個(gè)相等的向量的起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度必須相同錯(cuò)誤,原因是向量可以平移.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與運(yùn)用,考查了平行向量、向量相等的概念,屬于基礎(chǔ)題.【變式12】(多選)下列說法中正確的有(
)A.向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等B.有向線段就是向量,向量就是有向線段C.兩向量的大小與其方向有關(guān)D.向量的??梢员容^大小【答案】AD【分析】利用向量的有關(guān)概念判斷選項(xiàng).【詳解】向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度都等于線段AB的長(zhǎng)度,故A選項(xiàng)正確;有向線段是向量的幾何表示,兩個(gè)并不相同,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;向量不能比較大小,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;向量的模就是有向線段的長(zhǎng)度,可以比較大小,故D選項(xiàng)正確.故選:AD【變式13】對(duì)下列命題:(1)若向量與同向,且,則;(2)若向量,則與的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反;(3)對(duì)于任意向量,若與的方向相同,則;(4)由于方向不確定,故不與任意向量平行;(5)向量與平行,則向量與方向相同或相反.其中正確的命題的個(gè)數(shù)為【答案】1【分析】根據(jù)向量的定義以及相關(guān)概念,對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】(1)向量不可比較大小,故(1)錯(cuò)誤;(2)向量的模長(zhǎng)相等,不能確定方向的關(guān)系,故(2)錯(cuò)誤;(3)當(dāng)向量模長(zhǎng)相等,且方向相同時(shí),則向量相等,故(3)正確;(4)與任意向量平行,故(4)錯(cuò)誤;(5)若與有一個(gè)向量是零向量,則方向不確定,故(5)錯(cuò)誤.故正確的命題個(gè)數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的定義、性質(zhì)和相關(guān)概念,屬基礎(chǔ)題.解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長(zhǎng)度,只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題.解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長(zhǎng)度,只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題.重難點(diǎn)2向量的表示【例3】已知向量如下圖所示,下列說法不正確的是(
)A.向量可以用表示 B.向量的方向由指向C.向量的起點(diǎn)是 D.向量的終點(diǎn)是【答案】D【分析】根據(jù)向量的幾何表示逐個(gè)選項(xiàng)分析可得答案.【詳解】由圖可知,向量可以用表示,故A正確;向量的方向由指向,故B正確;向量的起點(diǎn)是,故C正確;向量的終點(diǎn)是,故D不正確.故選:D【例4】在如圖的方格紙中,畫出下列向量.(1),點(diǎn)在點(diǎn)的正西方向;(2),點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向;(3)求出的值.【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析;(3)3【分析】(1)根據(jù)向量的大小和方向,作向量,(2)根據(jù)向量的大小和方向,作向量,(3)根據(jù)向量的模的定義求.【詳解】(1)因?yàn)椋c(diǎn)在點(diǎn)的正西方向,故向量的圖示如下:(2)因?yàn)?,點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向,故向量的圖示如下:(3)
.【變式21】在平面直角坐標(biāo)系中,已知,與x軸的正方向所成的角為30°,與y軸的正方向所成的角為120°,試作出.【答案】答案見解析【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,再根據(jù)題意作圖即可.【詳解】如圖,根據(jù)方位角及長(zhǎng)度來確定.【變式22】如圖,某人從點(diǎn)A出發(fā),向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點(diǎn),最后又改變方向,向東走了200m到達(dá)D點(diǎn),發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方.(1)作出、、(圖中1個(gè)單位長(zhǎng)度表示100m);(2)求的模.【答案】(1)作圖見解析(2)【分析】(1)根據(jù)行走方向和單位長(zhǎng)度即可確定各點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置,即可做出所有向量;(2)由題意可知,四邊形是平行四邊形,則可求得的模.【詳解】(1)根據(jù)題意可知,B點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為,又因?yàn)镈點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方,所以,又,所以,即D、C兩點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為,;即可作出、、如下圖所示.(2)如圖,作出向量,由題意可知,且,所以四邊形是平行四邊形,則,所以的模為【變式23】如圖,以方格紙中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有非零向量中,有多少種大小不同的模?有多少種不同的方向?【答案】答案見解析【分析】分類討論從正方形、矩形的邊、對(duì)角線中計(jì)算模的個(gè)數(shù)及方向的個(gè)數(shù).【詳解】模為的向量;模為的向量;模為的向量;模為的向量;模為的向量;模為的向量共有個(gè)模,下面對(duì)方向分析,正方形的邊對(duì)應(yīng)的向量共有個(gè)方向,邊長(zhǎng)為的正方形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量共個(gè)方向;的矩形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量共個(gè)方向;的矩形對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量共有個(gè)方向,所以共有個(gè)方向向量的兩種表示方法向量的兩種表示方法:(1)幾何表示法:先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn).(2)字母表示法:為了便于運(yùn)算,可用字母表示,為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì),可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示向量,如等.重難點(diǎn)3相等向量與共線向量【例5】如圖,在正六邊形中,點(diǎn)為其中點(diǎn),則下列判斷錯(cuò)誤的是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A,由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形,故,故A正確.對(duì)于B,因?yàn)?,故,故B正確.對(duì)于C,由正六邊形的性質(zhì)可得,故,故C正確.對(duì)于D,因?yàn)榻挥?,故不成立,故D錯(cuò)誤,故選:D.【例6】在圖中的方格紙中有一個(gè)向量,分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量,其中與相等的向量有多少個(gè)?與長(zhǎng)度相等的共線向量有多少個(gè)(除外)?【答案】7個(gè),個(gè).【分析】根據(jù)給定條件,利用相等向量的定義,確定給定圖形中的向量起點(diǎn)即可判斷作答.【詳解】當(dāng)向量的起點(diǎn)C是圖中所圈的格點(diǎn)時(shí),可以作出與相等的向量,這樣的格點(diǎn)共有8個(gè),除去點(diǎn)A外,還有7個(gè),所以共有7個(gè)向量與相等;與長(zhǎng)度相等的共線向量(除外),有與相等的向量,還有與方向相反且長(zhǎng)度相等的向量,所以與長(zhǎng)度相等的共線向量共有(個(gè)).【變式31】設(shè)點(diǎn)O是正三角形ABC的中心,則向量,,是(
)A.相同的向量 B.模相等的向量C.共線向量 D.共起點(diǎn)的向量【答案】B【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,得到這三個(gè)向量的模長(zhǎng)相等,即可判斷得解【詳解】是正的中心,向量分別是以三角形的中心和頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量,到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,但向量,,不是相同向量,也不是共線向量,也不是起點(diǎn)相同的向量.故選:B【變式32】如圖,已知向量,和點(diǎn)P,以點(diǎn)P為起點(diǎn),分別畫有向線段表示下列向量:(1)的相等向量;(2)的相反向量.【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析【分析】(1)根據(jù)相等向量的定義畫圖即可;(2)根據(jù)相反向量的定義畫圖即可.【詳解】(1)如圖,作有向線段,使與同向且長(zhǎng)度相等,則即為的相等向量.(2)如圖,作有向線段,使與反向且長(zhǎng)度相等,則即為的相反向量.【變式33】已知O為正六邊形的中心,在圖所標(biāo)出的向量中:(1)試找出與共線的向量;(2)確定與相等的向量;(3)與相等嗎?【答案】(1)和;(2);(3)不相等.【分析】(1)(2)(3)根據(jù)給定條件,利用正六邊形的性質(zhì),結(jié)合共線向量、相等向量的意義判斷作答.【詳解】(1)由O為正六邊形的中心,得與共線的向量有和.(2)由于與長(zhǎng)度相等且方向相同,所以.(3)顯然,且,但與的方向相反,所以這兩個(gè)向量不相等.(1)(1)尋找共線向量:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向或反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn),起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.(2)尋找相等向量:先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量,再確定哪些是與已知向量方向相同的向量.重難點(diǎn)4相等(共線)向量的證明題【例7】如圖所示,在平行四邊形中,,分別是,的中點(diǎn).(1)寫出與向量共線的向量;(2)求證:.【答案】(1),,;(2)證明見解析.【分析】根據(jù)條件,可得四邊形為平行四邊形,即可寫出與向量共線的向量;根據(jù)題意可得出四邊形是平行四邊形,從而得出,,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】(1)解:因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?,,分別是,的中點(diǎn),,,所以四邊形為平行四邊形,所以.所以與向量共線的向量為:,,.(2)證明:在平行四邊形中,,.因?yàn)?,分別是,的中點(diǎn),所以且,所以四邊形是平行四邊形,所以,,故.【例8】在平行四邊形中,,分別為邊、的中點(diǎn),如圖.(1)寫出與向量共線的向量;(2)求證:.【答案】(1),(2)證明見解析【分析】(1)由題意直接寫出與向量共線的向量即可;(2)證明四邊形是平行四邊形即可證明.【詳解】(1)據(jù)題意,與向量共線的向量為:,;(2)證明:是平行四邊形,且,分別為邊,的中點(diǎn),,且,四邊形是平行四邊形,,且,.【變式41】已知點(diǎn),,,分別是平面四邊形的邊,,,的中點(diǎn),求證:.【答案】證明見解析【分析】連接AC,易得,分別為和的中位線,進(jìn)而可得,且,又向量與方向相同,從而得證.【詳解】證明:如圖,連接AC,因?yàn)?,分別是,的中點(diǎn),所以為的中位線,所以,且,同理,因?yàn)?,分別是,的中點(diǎn),所以,且,所以,且,因?yàn)橄蛄颗c方向相同,所以.【變式42】如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,且,.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.【答案】答案見解析【分析】由,可得AC、BD互相平分,利用平行四邊形的判定定理即可證明.【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,且,.所以四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相平分,所以四邊形ABCD是平行四邊形.即證.【變式43】如圖,已知四邊形中,,分別是,的中點(diǎn),且,求證:.【答案】見解析【解析】根據(jù)平行四邊形及向量相等的定理即可證明;【詳解】解:因?yàn)椋郧?,所以四邊形是平行四邊形,所以?又與的方向相同,所以.同理可證,四邊形是平行四邊形,所以.因?yàn)?,,所以,又與的方向相同,所以【點(diǎn)睛】本題考查向量相等的定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.1.設(shè)點(diǎn)是正三角形的中心,則向量,,是(
)A.共起點(diǎn)的向量 B.模相等的向量 C.共線向量 D.相等向量【答案】B【分析】利用平面向量的相關(guān)概念判斷.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是正三角形的中心,所以,,是模相等的向量;向量只有大小與方向兩個(gè)要素,沒有起點(diǎn)之說;這三個(gè)向量方向不同,不是共線向量;這三個(gè)向量方向不同,不是相等向量.故選:B2.已知向量如圖所示,下列說法不正確的是(
)A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起點(diǎn)是M D.終點(diǎn)是M【答案】D【詳解】由向量的幾何表示知,A、B、C正確,D不正確.故選D.3.下列命題正確的是(
)A.零向量沒有方向 B.若,則C.若,,則 D.若,,則【答案】C【分析】A選項(xiàng),由零向量的定義進(jìn)行判斷;B選項(xiàng),根據(jù)向量的模及相等向量判斷;C選項(xiàng),根據(jù)向量的性質(zhì)判斷,D選項(xiàng),根據(jù)共線向量的定義判斷;【詳解】對(duì)于A項(xiàng):零向量的方向是任意的并不是沒有方向,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B項(xiàng):因?yàn)橄蛄康哪O嗟?,但向量不一定相等,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C項(xiàng):因?yàn)?,,所以可得:,故C項(xiàng)正確;對(duì)于D項(xiàng):若,則不共線的,也有,,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:C.4.下列命題:①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線向量;②長(zhǎng)度相等、方向相同的向量是相等向量;③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量;④若,則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的相關(guān)概念,逐項(xiàng)判斷,即可得到本題答案.【詳解】對(duì)于①,由共線向量的定義可知:方向相反的兩個(gè)向量也是共線向量,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,長(zhǎng)度相等,方向相同的向量是相等向量,故②正確;對(duì)于③,平行向量的方向相同或相反,不一定方向相同,所以不一定相等,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,若,可能只是方向不相同,但模長(zhǎng)相等,故④錯(cuò)誤.故選:A5.(多選)下列命題中正確的是(
)A.單位向量的模都相等B.長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量C.方向相同的兩個(gè)向量,向量的模越大,則向量越大D.兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量,其終點(diǎn)必相同【答案】AD【分析】利用向量的基本概念,判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確,從而得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)單位向量的概念可知,單位向量的模都相等且為1,故A正確;根據(jù)共線向量的概念可知,長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量是共線向量,故B錯(cuò)誤;向量不能夠比較大小,故C錯(cuò)誤;根據(jù)相等的向量的概念可知,兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量,其終點(diǎn)必相同,故D正確.故選:AD.6.(多選)已知平面向量、、,下列四個(gè)命題不正確的是(
)A.若,則 B.單位向量都相等C.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線 D.若,滿足,且與同向,則【答案】BD【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì),逐項(xiàng)判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A,若,則,故A正確;對(duì)于B,單位向量的模為,但是方向不一定相同,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,方向相同或相反的兩個(gè)非零向量為共線向量,故C正確;對(duì)于D,向量之間不能比較大小,只能比較向量的模,故D錯(cuò)誤;故選:BD7.已知,若,則.【答案】【分析】直接由勾股定理求值即可.【詳解】由勾股定理可知,,即.故答案為:.8.如圖,在中,點(diǎn)D?E?F分別是邊BC?CA?AB的中點(diǎn),在以A?B?C?D?E?F為端點(diǎn)的向量中,與向量的模相等的向量的個(gè)數(shù)是.【答案】5【分析】由向量的概念,結(jié)合幾何圖形寫出與模相等的向量,即知個(gè)數(shù).【詳解】由圖知:與向量的模相等的向量有,∴共有5個(gè).故答案為:5.9.下列命題是真命題的是.(填序號(hào))①若A,B,C,D在一條直線上,則與是共線向量;②若A,B,C,D不在一條直線上,則與不是共線向量;③向量與是共線向量,則A,B,C,D四點(diǎn)必在一條直線上;④向量與是共線向量,則A,B,C三點(diǎn)必在一條直線上.【答案】①④【分析】向量為自由向量,共線向量所在的直線不一定重合,也可能平行.【詳解】①為真命題,A,B,C,D在一條直線上,向量的方向相同或相反,因此與是共線向量;②為假命題,A,B,C,D不在一條直線上,則的方向不確定,不能判斷與是否為共線向量;③為假命題,因?yàn)閮蓚€(gè)向量所在的直線可能沒有公共點(diǎn),所以四點(diǎn)不一定在一條直線上;④為真命題,因?yàn)閮?/p>
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