3.1.3空間兩點(diǎn)間的距離公式新授課1.了解推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式的過(guò)程.2.會(huì)用空間兩點(diǎn)間的距離公式求空間中兩點(diǎn)間的距離.距離是幾何中的基本度量，幾何問(wèn)題和一些實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常涉及距離.兩點(diǎn)間的距離也就是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度.思考：在空間直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離與兩點(diǎn)的坐標(biāo)有何關(guān)系知識(shí)點(diǎn)：空間兩點(diǎn)間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中，給定P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)兩點(diǎn).特殊情況：若其中一點(diǎn)為原點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)Q為原點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)P分別作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面，則被各坐標(biāo)平面所截可得長(zhǎng)方體A1P1C1O-APCB(如圖1)，且長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)滿(mǎn)足|OA1|=|x1|，|OC1|=|y1|，|OB|=|z1|.圖1由圖1可知，P，O兩點(diǎn)間的距離就是長(zhǎng)方體A1P1C1O-APCB的對(duì)角線PO的長(zhǎng)度.根據(jù)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)與各棱長(zhǎng)的關(guān)系，得|PO|2=|OA1|2+|OC1|2+|OB|2,即由上述方法得到啟發(fā)：空間中兩點(diǎn)間的距離可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)度.圖1一般情況：對(duì)于空間任意P,Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面，過(guò)點(diǎn)Q也分別作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面(如圖2)，當(dāng)這六個(gè)平面均不重合時(shí)，它們圍成一個(gè)長(zhǎng)方體PCBA-EFQD，且長(zhǎng)方體的各棱所在的直線均與某條坐標(biāo)軸平行或重合.由圖易知，C，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y2,z1)，(x2,y2,z1)，∵CB平行于x軸，∴|CB|=|x2-x1|.同理有|PC|=|y2-y1|，|BQ|=|z2-z1|.圖2圖2∴|PQ|2=|CB|2+|PC|2+|BQ|2，即當(dāng)這六個(gè)平面中至少有兩個(gè)平面重合時(shí)，不妨設(shè)垂直于軸的兩個(gè)平面重合(z1=z2)，作出其余四個(gè)平面與xOy平面的交線(如圖3).易證明：四邊形PQQ1P1為矩形或線段PQ與P1Q1重合，∴|PQ|=|P1Q1|.圖3圖3由圖3易知，P1，Q1兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1,0)，(x2,y2,0)，再根據(jù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式，有于是仍有概念講解已知空間中P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)兩點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式.思考交流：方程x2+y2+z2=1表示什么圖形？解：∵x2+y2+z2=1，∴方程x2+y2+z2=1表示以原點(diǎn)O為球心，以1為半徑的球面.例1:給定空間直角坐標(biāo)系，在x軸上找一點(diǎn)P，使它與點(diǎn)P0(4,1,2)的距離為解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,0,0)，由題意，得|P0P|=∴(x-4)2=25，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9,0,0)或(-1,0,0).即解得x=9或x=-1.練一練1.設(shè)點(diǎn)P在x軸上，它到P1的距離是到點(diǎn)P2(0,1,-1)的距離的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：∵P在x軸上，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0,0)，∴x