5.1導(dǎo)數(shù)的概念及意義（作業(yè)）一、單選題1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)），在處切線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出再結(jié)合直線的點斜式公式，即可求解．【詳解】由已知，，令，∴＝，解，∴在處切線方程為，即．故選：B．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題2．（2022·上?！らh行中學(xué)高二期末）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于______．【答案】6【分析】由平均變化率的定義計算．【詳解】所求平均變化率為．故答案為：6．3．（2022·上海·閔行中學(xué)高二期末）已知函數(shù)，則______．【答案】－1【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算．【詳解】．故答案為：．4．（2022·上?！?fù)旦附中高二期末）已知，將函數(shù),的圖像繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線C.若對于每一個.曲線C都是一個函數(shù)的圖像，則的最大值為___________.【答案】π4##45°【分析】利用運(yùn)動是相對的，函數(shù),的圖像繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，可以看作直線繞坐標(biāo)原點順時針方向旋轉(zhuǎn)，再根據(jù)函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】解：利用運(yùn)動是相對的，函數(shù),的圖像繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)（左圖），可以看作直線繞坐標(biāo)原點順時針方向旋轉(zhuǎn)（右圖），根據(jù)函數(shù)的定義，對于定義域內(nèi)的每一個自變量x，都有唯一確定的與之對應(yīng)，即直線繞坐標(biāo)原點順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，只能與的圖像有且只有一個交點，故只需求函數(shù)在原點處的切線方程，，此時切線方程為，故直線最多繞坐標(biāo)原點順時針方向旋轉(zhuǎn)，則函數(shù),的圖像只能繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，故的最大值為，故答案為：5．（2022·上海師范大學(xué)附屬嘉定高級中學(xué)高三期中）曲線在點處的切線方程為___________.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以得出切線方程的斜率，進(jìn)而利用點斜式方程即得．【詳解】由可得，切線的斜率為，所以切線方程為，即.故答案為：.6．（2022·上海師大附中高三階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是_________【答案】【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需函數(shù)與直線相交即可.【詳解】若關(guān)于的方程有解，即與的圖像有交點，因為與互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對稱，如圖所示：設(shè)函數(shù)與直線相切，切點為，，則有，解得：，由圖像可知，當(dāng)時，曲線與直線有交點，即與的圖像有交點，即方程有解.故答案為：7．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知，則曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求得即為切線斜率，由原函數(shù)求得，由直線點斜式方程整理得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，故所求切線方程為，即.故答案為：.8．（2022·上海市金山中學(xué)高三期中）曲線在點處的切線方程為______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程.【詳解】解：由可得，曲線在點處的切線斜率為，所以所求切線方程為即，故答案為：9．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高三期中）已知為可導(dǎo)函數(shù)，且，則_______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的定義及極限的運(yùn)算即可求解.【詳解】解：因為.故答案為：.10．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線l對稱，若P，Q分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為______．【答案】【分析】整體代換求解直線的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)的圖象上到直線距離最短的點，即為點，即可求解兩點間的最短距離.【詳解】解：令，則，，．因為與關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以P，Q兩點之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍，函數(shù)在點處的切線斜率為，令得，，，所以點P到直線距離的最小值為，所以這兩點之間距離的最小值為．故答案為：.三、解答題11．（2022·上海市實驗學(xué)校高二期末）設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當(dāng)x＝2時，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點，由f′(x)＝1＋知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0，交點坐標(biāo)為(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標(biāo)為(