eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘)1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，則a·b＝ ()．A．5 B．4C．－2 D．－1解析a·b＝1×2＋(－1)×3＝－1.答案D2．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，x)，a⊥b，則x＝ ()．A．－1 B．1C．－2 D．2解析a⊥b?a·b＝0?－2＋x＝0?x＝2.答案D3．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為 ()．A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析a·b＝3＋2＝5，|a|＝eq\r(10)，|b|＝eq\r(5)，設(shè)夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,\r(5)×\r(10))＝eq\f(\r(2),2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,4).答案B4．已知A(－3,2)，B(0，－2)，則|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝________.解析∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝(3，－4)．∴|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝eq\r(32＋－42)＝5.答案55．在△ABC中，∠C＝90°，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(k,1)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(2,3)，則k的值為________．解析eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．∵∠C＝90°，即eq\o(AC,\s\up12(→))⊥eq\o(BC,\s\up12(→))，∴2(2－k)＋3×2＝0，k＝5.答案56．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角α為鈍角，求λ的取值范圍．解∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(1＋λ2)，a·b＝λ－1.∵a，b的夾角α為鈍角．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－1<0，,1≠－λ，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ≠－1.))∴λ<1且λ≠－1，∴λ的取值范圍是(－∞，－1)∪(－1,1)．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)25分鐘)7．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為 ()．A.eq\f(\r(65),5) B.eq\r(65)C.eq\f(\r(13),5) D.eq\r(13)解析設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－4×2＋3×7,\r(4＋9)×\r(16＋49))＝eq\f(\r(5),5)，∴a在b方向上的投影為|a|cosθ＝eq\r(13)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(65),5).答案A8．以下選項(xiàng)中，不一定是單位向量的有 ()．①a＝(cosθ，－sinθ)；②b＝(eq\r(lg2)，eq\r(lg5))；③c＝(2x,2－x)；④d＝(1－x，x)．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析因?yàn)閨a|＝1，|b|＝1，|c|＝eq\r(2x2＋2－x2)≥eq\r(2)≠1，|d|＝eq\r(1－x2＋x2)＝eq\r(2x2－2x＋1)＝eq\r(2x－\f(1,2)2＋\f(1,2))≥eq\f(\r(2),2).故選B.答案B9．已知向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up12(→))＝(－k,10)，且A、B、C三點(diǎn)共線，則k＝________.答案－eq\f(2,3)10．已知點(diǎn)A(2,3)，若把向量eq\o(OA,\s\up12(→))繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到向量eq\o(OB,\s\up12(→))，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)閑q\o(OA,\s\up12(→))⊥eq\o(OB,\s\up12(→))，|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(OB,\s\up12(→))|，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝0，,x2＋y2＝13，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－2))(舍去)．故B點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3,2)．答案(－3,2)11．已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a與b的夾角θ的余弦值；(2)若向量a－λb與2a＋b垂直，求λ解(1)|a|＝eq\r(42＋32)＝5，|b|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5).a·b＝－1×4＋3×2＝2，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2,5×\r(5))＝eq\f(2\r(5),25).(2)a－λb＝(4,3)－(－λ，2λ)＝(4＋λ，3－2λ)．2a＋b若(a－λb)⊥(2a＋b)，則7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(52,9).12．(創(chuàng)新拓展)已知點(diǎn)A(1,2)和B(4，－1)，問能否在y軸上找到一點(diǎn)C，使∠ACB＝90°，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．解假設(shè)存在點(diǎn)C(0，y)使∠ACB＝90°，則eq\o(AC,\s\up12(→))⊥eq\o(BC,\s\up12(→)).∵eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－1，y－2)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－4，y＋1)，eq\o(AC,\s\up